Oversikt

Sannsynlighetsregning er det temaet som alltid dukker opp pa ECON2130-eksamen. Gjennom eksamenene V2022-V2025 ser vi at en hel oppgave (typisk 20-25%) er viet grunnleggende sannsynlighetsregning. Oppgavene er satt i praktiske kontekster: OL-trekninger (V2022), kortstokker (V2023), aksjer og konkurssannsynlighet (V2024), og sannsynlighetsberegninger med gitte sannsynligheter (V2025). Noen oppgaver krever at du bruker R til simulering.

Grunnleggende regler

Betinget sannsynlighet er definert som:

$$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$

Fra denne definisjonen folger multiplikasjonsregelen:

$$P(A \cap B) = P(A \mid B) \cdot P(B)$$

Addisjonsloven (inklusjon-eksklusjon):

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$

Loven om total sannsynlighet:

$$P(A) = P(A \mid B) \cdot P(B) + P(A \mid B^c) \cdot P(B^c)$$

Denne er saerlig nyttig nar du har betingede sannsynligheter og trenger den ubetingede.

Uavhengighet

To hendelser A og B er uavhengige dersom:

$$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$$

Ekvivalent: $P(A \mid B) = P(A)$. Poenget er at informasjon om B ikke endrer sannsynligheten for A. Pa eksamen V2025 ble studenter bedt om a forklare hva uavhengighet betyr og deretter sjekke om to hendelser er uavhengige ved a sammenligne $P(A \cap B)$ med $P(A) \cdot P(B)$. Pa V2024 ble man bedt om a vise at 'kvinne' og 'realfag' ikke er uavhengige.

Kombinatorikk og trekking uten tilbakelegging

Eksamen V2022 handlet om trekking av langrennslopere til dopingtest, og V2023 om korttrekking. Formelen for hypergeometrisk sannsynlighet er:

$$P(X = k) = \frac{\binom{K}{k}\binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}$$

Denne brukes nar vi trekker uten tilbakelegging fra en populasjon med to typer (f.eks. norske/utenlandske lopere, spar/andre kort).

Simulering i R

Et saerpreg ved ECON2130 er at du kan bli bedt om a beskrive en simuleringsalgoritme i stedet for a regne analytisk. Pa V2022 skulle man simulere sannsynligheten for at norske kvinner trekkes i posisjon 1, 3, 5 og 7. Prinsippet er: (1) bruk sample() for a trekke tilfeldig, (2) sjekk om betingelsen er oppfylt, (3) repeter mange ganger, (4) del antall suksesser pa antall repetisjoner.

Eksempel 1: Sannsynlighetsberegning med gitte sannsynligheter (V2025)

Oppgave: A og B er hendelser med $P(B) = 0.25$, $P(A|B) = 0.4$, $P(A \cap B^c) = 0.6$. Finn $P(A \cap B)$, $P(A)$, sjekk uavhengighet, og finn $P(A \cup B)$ og $P(B|A)$.

Losning:

(a) $P(A \cap B) = P(A|B) \cdot P(B) = 0.4 \cdot 0.25 = 0.1$

(b) $P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap B^c) = 0.1 + 0.6 = 0.7$

(c) Uavhengighet krever $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$. Vi har $0.1 \neq 0.7 \cdot 0.25 = 0.175$, sa A og B er ikke uavhengige.

(d) $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0.7 + 0.25 - 0.1 = 0.85$. $P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{0.1}{0.7} \approx 0.143$.

Eksempel 2: Kvinner og realfag (V2024)

Oppgave: 60% kvinner i studentmassen, 20% kvinner blant realfagsstudenter, 30% studerer realfag. Finn $P(K|R)$, $P(K \cup R)$, $P(K \cap R)$, $P(R|K)$. Vis at K og R ikke er uavhengige.

Losning:

$P(K|R) = 0.20$ (oppgitt). $P(K \cap R) = P(K|R) \cdot P(R) = 0.20 \cdot 0.30 = 0.06$. $P(K \cup R) = 0.60 + 0.30 - 0.06 = 0.84$. $P(R|K) = \frac{0.06}{0.60} = 0.10$.

Uavhengighetssjekk: $P(K \cap R) = 0.06 \neq P(K) \cdot P(R) = 0.60 \cdot 0.30 = 0.18$. Hendelsene er ikke uavhengige -- a vaere kvinne reduserer sannsynligheten for a studere realfag.

Studieguide: Sannsynlighetsregning

Studieguide: Sannsynlighetsregning