Oversikt

Konfidensintervaller er et kjerneverktoy i ECON2130 og dukker opp pa nesten hver eksamen. Eksamen V2025 hadde et 95% KI for en andel, V2024 hadde et 99% KI for en forventning, V2023 hadde bade 99% og 90% KI. Du ma kunne bade konstruere et KI og tolke det korrekt.

KI for forventning med kjent varians

Nar $\sigma$ er kjent (eller $n$ er stor nok til a bruke SGT):

$$\bar{X} \pm z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$

der $z_{\alpha/2}$ er den kritiske verdien fra standard normalfordeling. Vanlige verdier: $z_{0.025} = 1.96$ (95%), $z_{0.005} = 2.576$ (99%), $z_{0.05} = 1.645$ (90%).

KI for forventning med ukjent varians (t-fordeling)

Nar $\sigma$ er ukjent og erstattes med utvalgsstandardavviket $s$, og dataene er normalfordelte:

$$\bar{X} \pm t_{\alpha/2, n-1} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}$$

Pa V2024 ble dette brukt med $n = 27$, $\bar{x} = 67.65$, $s^2 = 109.15$, og $t_{0.005, 26}$ for et 99% KI. Merk at t-fordelingen har tyngre haler enn normalfordelingen, sa intervallet blir bredere. For store $n$ naermer t-fordelingen seg normalfordelingen.

Nar bruke z vs. t?

Bruk z-verdier nar: (1) variansen er kjent, eller (2) utvalget er stort ($n > 30$) og du bruker normalapproksimering via SGT. Bruk t-verdier nar: variansen er ukjent OG utvalget er lite OG data forutsettes normalfordelte. Pa V2022 ble bade z- og t-kvantiler oppgitt i R-utskrift -- du matte velge riktig basert pa konteksten. Med $n = 1000$ er z og t tilnaermet like, men med $n = 10$ gir t-fordelingen merkbart bredere intervaller.

KI for andel

$$\hat{p} \pm z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$$

Pa V2025 med $\hat{p} = 0.55$, $n = 200$: $0.55 \pm 1.96 \cdot \sqrt{\frac{0.55 \cdot 0.45}{200}}$. Merk at vi her bruker $\hat{p}$ i stedet for $p$ i standardfeilen, fordi $p$ er ukjent.

KI for funksjoner av parametere

Pa V2023 (Ruter-oppgaven) ble man bedt om a lage et 99% KI for $n^* = p \cdot \frac{b}{2k}$. Siden $\hat{n}^*$ er tilnaermet normalfordelt via SGT:

$$\hat{n}^* \pm z_{0.005} \cdot \widehat{\text{SE}}(\hat{n}^*)$$

der standardfeilen estimeres ved a sette inn $\hat{p}$ for $p$ i variansformelen.

Tolkning av konfidensintervall

Et 95% konfidensintervall betyr: hvis vi gjentar prosedyren mange ganger, vil 95% av de konstruerte intervallene inneholde den sanne parameterverdien. Det betyr ikke at det er 95% sannsynlighet for at den sanne verdien ligger i akkurat dette intervallet. Denne tolkningen er en gjenganger pa eksamen -- V2022 ba eksplisitt om tolkning.

Eksempel 1: 95% KI for andel (V2025)

Oppgave: $n = 200$, $\hat{p}_{obs} = 0.55$. Lag et 95% konfidensintervall for $p$.

Losning: Standardfeil: $\text{SE} = \sqrt{\frac{0.55 \cdot 0.45}{200}} = \sqrt{\frac{0.2475}{200}} = \sqrt{0.001238} \approx 0.0352$. KI: $0.55 \pm 1.96 \cdot 0.0352 = 0.55 \pm 0.069 = [0.481, 0.619]$. Tolkning: Vi er 95% sikre pa at den sanne sannsynligheten for kron ligger mellom 0.481 og 0.619. Siden intervallet inneholder 0.5, kan vi ikke utelukke at mynten er rettferdig.

Eksempel 2: 99% KI med t-fordeling (V2024)

Oppgave: $n = 27$ elever, $\bar{x} = 67.65$, $s^2 = 109.15$. Testresultater er normalfordelte. Lag et 99% KI for forventet testresultat.

Losning: $s = \sqrt{109.15} \approx 10.45$. Standardfeil: $\frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{10.45}{\sqrt{27}} \approx 2.011$. Kritisk verdi: $t_{0.005, 26} \approx 2.779$ (fra R-utskrift eller tabell). KI: $67.65 \pm 2.779 \cdot 2.011 = 67.65 \pm 5.59 = [62.06, 73.24]$. Tolkning: Med 99% konfidens ligger forventet testresultat mellom 62.06 og 73.24 poeng.

Studieguide: Konfidensintervaller

Studieguide: Konfidensintervaller