Oversikt

Hypotesetesting er det mest omfattende temaet pa ECON2130-eksamen. Pa V2022 utgjorde testoppgavene omtrent 50% av eksamen, pa V2023 var det en stor Ruter-oppgave og en medisinoppgave, pa V2024 en testresultat-oppgave og en sannsynlighetsoppgave med testing, og pa V2025 en kombinert binomisk/testing-oppgave. Du ma beherske hele prosedyren fra A til A.

Oppbygging av en test

Formuler hypoteser: $H_0$ (nullhypotesen, det vi tester) og $H_1$ (alternativhypotesen, det vi tror gjelder).
Velg testobservator: Standardiser estimatoren under $H_0$.
Bestem forkastningsregel: Basert pa signifikansniva $\alpha$.
Beregn og konkluder: Sammenlign testobservator med kritisk verdi, eller bruk p-verdi.

z-test for forventning/andel

Testobservator nar $\sigma$ er kjent eller $n$ er stor:

$$z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} \quad \text{eller} \quad z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}}$$

Merk: i testobservatoren bruker vi $p_0$ (verdien under $H_0$), ikke $\hat{p}$. Dette er en viktig forskjell fra konfidensintervaller!

t-test for forventning

Nar $\sigma$ er ukjent:

$$t = \frac{\bar{X} - \mu_0}{s/\sqrt{n}} \sim t_{n-1}$$

Pa V2024 ble dette brukt for a teste om forventet testresultat er 70: $t = \frac{67.65 - 70}{10.45/\sqrt{27}} \approx -1.17$.

Ensidig vs. tosidig test

Pa V2022 ble medisintesten satt opp ensidig: $H_0: \mu \geq 15$, $H_1: \mu < 15$ (ny medisin er bedre). Pa V2024 var testen ensidig: $H_0: \mu \geq 70$, $H_1: \mu < 70$. Men to-utvalgs-testen pa V2024 var tosidig: $H_0: \mu_1 = \mu_2$, $H_1: \mu_1 \neq \mu_2$.

To-utvalgs t-test med felles varians

Nar to grupper har samme (ukjente) varians:

$$s_p^2 = \frac{(n_1-1)s_1^2 + (n_2-1)s_2^2}{n_1 + n_2 - 2}$$

$$t = \frac{\bar{X}_1 - \bar{X}_2}{s_p\sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}} \sim t_{n_1+n_2-2}$$

Pa V2024 ble dette brukt for a sammenligne testresultater fra to ar (27 + 28 elever).

p-verdi

P-verdien er sannsynligheten for a observere en testobservator like ekstrem eller mer ekstrem enn den observerte, gitt at $H_0$ er sann. Pa V2022 ble studentene bedt om a tolke p-verdien og bruke den til a forkaste pa 5% og 10% niva.

Type I og Type II feil

Type I-feil: Forkaste $H_0$ nar $H_0$ er sann. Sannsynligheten er lik $\alpha$. Type II-feil: Ikke forkaste $H_0$ nar $H_0$ er gal. Sannsynligheten ($\beta$) avhenger av den sanne verdien og $\alpha$. Teststyrke = $1 - \beta$. Lavere $\alpha$ gir hoyere $\beta$ og lavere styrke. Pa V2022 og V2023 ble det eksplisitt spart om Type I/II-feil og konsekvensene i kontekst.

Eksempel 1: Ensidig t-test for testresultat (V2024)

Oppgave: $n = 27$, $\bar{x} = 67.65$, $s^2 = 109.15$. Kan vi forkaste $H_0: \mu \geq 70$ pa 5% signifikansniva?

Losning: $H_0: \mu \geq 70$, $H_1: \mu < 70$ (ensidig). $t = \frac{67.65 - 70}{\sqrt{109.15}/\sqrt{27}} = \frac{-2.35}{2.011} \approx -1.17$. Kritisk verdi: $t_{0.05, 26} \approx -1.706$. Siden $-1.17 > -1.706$, kan vi ikke forkaste $H_0$. Det er ikke tilstrekkelig bevis for at forventningen er under 70.

Eksempel 2: Medisintest med p-verdi (V2022)

Oppgave: Ny medisin: $n = 71$, $\bar{x} = 14.3$, $s = 3$. Gammel medisin: $\mu_0 = 15$. Test om ny medisin er bedre (kortere sykdomsforlop).

Losning: $H_0: \mu \geq 15$, $H_1: \mu < 15$. Testobservator: $z = \frac{14.3 - 15}{3/\sqrt{71}} = \frac{-0.7}{0.356} \approx -1.97$. P-verdi: $P(Z < -1.97) \approx 0.025$. Pa 5% niva: forkast ($0.025 < 0.05$). Pa 1% niva: ikke forkast ($0.025 > 0.01$). Tolkning: Det er moderat statistisk bevis for at den nye medisinen gir kortere sykdomsforlop.

Studieguide: Hypotesetesting

Studieguide: Hypotesetesting