Oversikt

Sammenligning av to grupper er den enkeltoppgaven du med størst sikkerhet vil møte på ECON2130-eksamen. Den forekommer i 11 av 14 oppgavesett fra 2018 til 2026, og i mange av dem som den tyngste delen: demokratier mot ikke-demokratier, OECD-land mot resten, studenter med og uten bibliotekkort, testresultater to år på rad, behandlingsgruppe mot kontrollgruppe, samfunnsøkonomistudenter mot statsvitenskapsstudenter.

Grunnstrukturen

La \(\delta=\mu_1-\mu_2\) være parameteren vi vil si noe om. Estimatoren er \(\hat\delta=\bar X_1-\bar X_2\), som alltid er forventningsrett:

\[ E(\hat\delta)=\mu_1-\mu_2=\delta. \]

Er utvalgene uavhengige, er \(\mathrm{Cov}(\bar X_1,\bar X_2)=0\), og

\[ \mathrm{Var}(\hat\delta)=\frac{\sigma_1^{2}}{n_1}+\frac{\sigma_2^{2}}{n_2}. \]

Variansene adderes selv om vi ser på en differanse. Det følger av \(\mathrm{Var}(X-Y)=\mathrm{Var}(X)+\mathrm{Var}(Y)-2\mathrm{Cov}(X,Y)\) med null kovarians. Begge gjennomsnittene bidrar med usikkerhet.

Tilfelle 1: store utvalg (z-test)

Gjennomregnet eksempel. Kontor A: \(n_A=80\), \(\bar x_A=52{,}4\), \(s_A=12{,}0\). Kontor B: \(n_B=100\), \(\bar x_B=48{,}9\), \(s_B=10{,}0\).

\[ \hat\delta=52{,}4-48{,}9=3{,}5,\qquad SE=\sqrt{\frac{144}{80}+\frac{100}{100}}=\sqrt{2{,}8}=1{,}6733. \] \[ Z=\frac{3{,}5}{1{,}6733}=2{,}092,\qquad p=2\big(1-\Phi(2{,}092)\big)=0{,}0365. \]

Med kritiske verdier \(\pm 1{,}96\) forkastes \(H_0\) på 5 % nivå. 95 % konfidensintervall:

\[ 3{,}5\pm 1{,}96\cdot 1{,}6733=[0{,}22;\ 6{,}78]. \]

99 %-intervallet er \(3{,}5\pm 2{,}576\cdot 1{,}6733=[-0{,}81;\ 7{,}81]\), som inneholder 0 — i tråd med at \(p=0{,}0365>0{,}01\).

Forutsetninger: tilfeldige, uavhengige utvalg; sentralgrenseteoremet gjør begge gjennomsnittene tilnærmet normalfordelte ved \(n=80\) og \(n=100\). Vi trenger ikke anta at behandlingstidene selv er normalfordelte, og med så store utvalg er det forsvarlig å sette \(s\) inn for \(\sigma\).

Tilfelle 2: små utvalg med felles varians (poolet t-test)

Når utvalgene er små og \(\sigma\) ukjent, må vi anta at dataene selv er normalfordelte, og vi antar i tillegg lik varians i de to gruppene. Da pooles variansestimatene:

\[ s_p^{2}=\frac{(n_1-1)s_1^{2}+(n_2-1)s_2^{2}}{n_1+n_2-2},\qquad SE=s_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}},\qquad \nu=n_1+n_2-2. \]

Gjennomregnet eksempel. Gruppe 1: \(n_1=15\), \(\bar x_1=41{,}2\), \(s_1=5{,}4\). Gruppe 2: \(n_2=18\), \(\bar x_2=37{,}5\), \(s_2=4{,}8\).

\[ s_p^{2}=\frac{14\cdot 29{,}16+17\cdot 23{,}04}{31}=\frac{408{,}24+391{,}68}{31}=25{,}804,\qquad s_p=5{,}0798. \] \[ SE=5{,}0798\sqrt{\tfrac{1}{15}+\tfrac{1}{18}}=5{,}0798\cdot 0{,}34960=1{,}7759, \] \[ t=\frac{3{,}7}{1{,}7759}=2{,}083,\qquad \nu=31. \]

Kritisk verdi tosidig 5 %: \(t_{0{,}025;31}=2{,}040\). Siden \(2{,}083>2{,}040\), forkastes \(H_0\) — men såvidt. Tosidig p-verdi er 0,0455. På 1 % nivå er kritisk verdi \(t_{0{,}005;31}=2{,}744\), og \(H_0\) beholdes.

Poenget med å poole er at antakelsen om felles varians lar oss bruke all informasjon om spredningen, slik at vi får \(n_1+n_2-2\) frihetsgrader i stedet for færre.

I R: t.test(gruppe1, gruppe2, var.equal = TRUE).

Tilfelle 3: to andeler

Test av \(H_0:p_1=p_2\). Under \(H_0\) er andelene like, så det beste anslaget for den felles andelen bruker alle observasjonene:

\[ \hat p=\frac{x_1+x_2}{n_1+n_2},\qquad SE_0=\sqrt{\hat p(1-\hat p)\left(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}\right)}. \]

Gjennomregnet eksempel. \(x_1=72\) av \(n_1=200\) (\(\hat p_1=0{,}36\)) og \(x_2=54\) av \(n_2=180\) (\(\hat p_2=0{,}30\)).

\[ \hat p=\frac{126}{380}=0{,}33158,\qquad SE_0=\sqrt{0{,}33158\cdot 0{,}66842\cdot 0{,}0105556}=0{,}048368, \] \[ Z=\frac{0{,}06}{0{,}048368}=1{,}240,\qquad p=2\big(1-\Phi(1{,}240)\big)=0{,}215. \]

\(H_0\) beholdes: en forskjell på 6 prosentpoeng er ikke signifikant med disse utvalgsstørrelsene.

Konfidensintervallet bruker en annen standardfeil, fordi vi der ikke antar at andelene er like:

\[ \widehat{SE}=\sqrt{\frac{0{,}36\cdot 0{,}64}{200}+\frac{0{,}30\cdot 0{,}70}{180}}=0{,}048153, \] \[ 0{,}06\pm 1{,}96\cdot 0{,}048153=[-0{,}034;\ 0{,}154]. \]

Intervallet inneholder 0, konsistent med testkonklusjonen. Dette skillet — pool i testen, ikke i intervallet — er den enkeltfeilen som går igjen oftest i denne oppgavetypen.

Test av en generell lineær hypotese

Ikke alle tougruppetester har formen «er de like». Et eksamensspørsmål har testet \(H_0:\mu_m=0{,}90\mu_k\) (menn bruker 90 % av kvinners tid på et skirenn). Da er parameteren \(\mu_m-0{,}90\mu_k\), estimatoren \(\bar X_m-0{,}90\bar X_k\), og

\[ \mathrm{Var}(\bar X_m-0{,}90\bar X_k)=\frac{\sigma_m^{2}}{n_m}+0{,}90^{2}\frac{\sigma_k^{2}}{n_k}. \]

Koeffisienten kvadreres i variansen. Ellers er prosedyren identisk.

Teststyrke og dimensjonering

Med \(n\) i hver gruppe og felles \(\sigma\) er \(SE(\hat\delta)=\sigma\sqrt{2/n}\). For en ensidig test på nivå \(\alpha\) er den kritiske grensen \(z_\alpha SE\), og styrken ved sann effekt \(\delta\) er

\[ \text{Styrke}=1-\Phi\!\left(\frac{z_\alpha SE-\delta}{SE}\right). \]

Eksempel. \(\sigma=0{,}72\), \(n=250\) per gruppe, \(\alpha=0{,}05\) ensidig. Da er \(SE=0{,}72\sqrt{2/250}=0{,}064399\) og kritisk grense \(1{,}645\cdot 0{,}064399=0{,}10594\). Ved sann \(\delta=0{,}10\):

\[ z=\frac{0{,}10594-0{,}10}{0{,}064399}=0{,}092,\qquad \text{Styrke}=1-\Phi(0{,}092)=0{,}463. \]

Testen oppdager en reell effekt på 0,10 i under halvparten av tilfellene — den er underdimensjonert. Ved \(\delta=0{,}20\) blir styrken 0,928.

Hvor stort må utvalget være? Kravet \(SE(z_\alpha+z_\beta)=\delta\) gir

\[ n=\frac{2\sigma^{2}(z_\alpha+z_\beta)^{2}}{\delta^{2}}=\frac{2\cdot 0{,}72^{2}(1{,}645+0{,}842)^{2}}{0{,}10^{2}}=641{,}0, \]

altså 642 per gruppe, i alt 1284 deltakere for 80 % styrke.

Kausal tolkning

Nesten alle tougruppeoppgaver ender med et kausalt spørsmål: «er det riktig å konkludere at BNP per innbygger i Afghanistan vil gå opp hvis landet blir mer demokratisk?», «kan vi tolke forskjellen mellom sørstatene og resten kausalt?».

Svaret er nei med mindre tildelingen er randomisert. Ved randomisering er gruppetilhørighet uavhengig av alle egenskaper ved enhetene, og kontrollgruppa blir en gyldig kontrafaktisk sammenligning:

\[ E[Y\mid D=1]-E[Y\mid D=0]=E[Y(1)]-E[Y(0)]=E[\tau]. \]

Er gruppene selvvalgte eller naturlig gitt (land, kjønn, studieretning), måler differansen behandlingseffekt pluss seleksjonseffekt, og de kan ikke skilles. Vi observerer ikke hva demokratiene ville hatt i BNP hvis de ikke hadde vært demokratiske.

Praktisk versus statistisk signifikans. Med stort nok \(n\) blir enhver forskjell som ikke er eksakt null, statistisk signifikant. Firedobler vi utvalgene i eksempelet over, halveres \(SE\) til 0,8367, \(z\) dobles til 4,18, og \(p\) faller til 0,00003 — med samme observerte forskjell på 3,5. Derfor må effektens størrelse med konfidensintervall alltid rapporteres, ikke bare om \(H_0\) ble forkastet.

Studieguide: Hypotesetesting for to grupper