Oversikt

Fordelinger er kjernen i sannsynlighetsdelen av ECON2130, og opptrer i praksis på hvert eneste oppgavesett. De fordelingene som faktisk testes er binomisk, Poisson, hypergeometrisk, geometrisk, uniform og normalfordelingen. Poisson-fordelingen har vært særlig prominent i nyere sett (arbeidsulykker, fisketurer, mål i fotballkamper), og binomialfordelingen dukker nesten alltid opp i forbindelse med andeler.

Diskrete variabler generelt

For en diskret variabel med sannsynlighetsfordeling \(P(X=x)\) er

\[ E(X)=\sum_x x\,P(X=x),\qquad E(X^{2})=\sum_x x^{2}P(X=x),\qquad \mathrm{Var}(X)=E(X^{2})-[E(X)]^{2}. \]

Gjennomregnet eksempel. En kommune koder svar om korrupsjonsnivå som 1 (lite), 2 (middels) og 3 (mye), med sannsynligheter 0,39, 0,23 og 0,38.

\[ E(X)=1\cdot 0{,}39+2\cdot 0{,}23+3\cdot 0{,}38=0{,}39+0{,}46+1{,}14=1{,}99. \] \[ E(X^{2})=1\cdot 0{,}39+4\cdot 0{,}23+9\cdot 0{,}38=0{,}39+0{,}92+3{,}42=4{,}73. \] \[ \mathrm{Var}(X)=4{,}73-1{,}99^{2}=4{,}73-3{,}9601=0{,}7699,\qquad SD(X)=0{,}8775. \]

Legg merke til at \(\mathrm{Var}(X)=E(X^{2})-[E(X)]^{2}\) nesten alltid er raskere enn å regne \(\sum (x-\mu)^{2}P(X=x)\) direkte.

Binomialfordelingen

\(X\sim\mathrm{bin}(n,p)\) teller antall suksesser i \(n\) uavhengige forsøk med samme suksessannsynlighet \(p\):

\[ P(X=k)=\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k},\qquad E(X)=np,\qquad \mathrm{Var}(X)=np(1-p). \]

De tre forutsetningene som eksamen spør etter er: fast antall forsøk, uavhengige forsøk, og samme \(p\) i alle forsøk. Bryter én av dem — for eksempel fordi man trekker uten tilbakelegging, eller fordi respondentene påvirker hverandre — er modellen ikke binomisk.

Eksempel. Ruter kontrollerer \(n=500\) reisende, og andelen uten billett er \(p\). Da er antall personer uten billett \(X\sim\mathrm{bin}(500,p)\), forutsatt at de kontrollerte er et tilfeldig utvalg og at de ikke varsler hverandre.

Med \(n=10\) og \(p=0{,}5\): \(P(X\ge 6)=1-P(X\le 5)=1-0{,}6230=0{,}3770\). I R: 1 - pbinom(5, 10, 0.5). Merk at grensen er 5 og ikke 6 — for diskrete variabler må du være nøye med hvilken side ulikheten går.

Poisson-fordelingen

\(X\sim\mathrm{Poisson}(\lambda)\) teller antall hendelser i et gitt intervall:

\[ P(X=k)=\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!},\qquad E(X)=\mathrm{Var}(X)=\lambda. \]

At forventning og varians er like er en sterk restriksjon, og et av de første tegnene på at modellen ikke passer hvis dataene viser noe annet.

Forutsetningene — som eksamen ofte ber deg drøfte — er at hendelsene inntreffer uavhengig av hverandre, med en rate som er konstant over intervallet, og at to hendelser ikke inntreffer i samme øyeblikk. For mål i en fotballkamp er det siste rimelig, mens «konstant rate» er tvilsomt: det scores mer mot slutten av kamper. For arbeidsulykker kan uavhengighet svikte hvis én ulykke stanser produksjonen.

Skalering med tid. Parameteren er rate ganger tid. Er \(\lambda=3\) per 8-timers arbeidsdag, er raten \(3/8\) per time, og for en 9-timersdag blir \(\lambda=(3/8)\cdot 9=3{,}375\). Da faller \(P(X\le 2)\) fra

\[ e^{-3}\left(1+3+\tfrac{9}{2}\right)=0{,}049787\cdot 8{,}5=0{,}4232 \]

til \(e^{-3{,}375}(1+3{,}375+5{,}6953)=0{,}034218\cdot 10{,}0703=0{,}3446\).

Sum av Poisson. Er \(X_A\sim\mathrm{Poisson}(3)\) og \(X_B\sim\mathrm{Poisson}(4)\) uavhengige, er \(X_A+X_B\sim\mathrm{Poisson}(7)\). Dette brukes ofte til å gå fra én kamp til en hel sesong, eller fra én fabrikk til to.

Hypergeometrisk og geometrisk fordeling

Hypergeometrisk gjelder trekking uten tilbakelegging: \(n\) trekninger fra en populasjon på \(N\) der \(M\) har egenskapen vi teller:

\[ P(X=k)=\frac{\binom{M}{k}\binom{N-M}{n-k}}{\binom{N}{n}},\qquad E(X)=n\frac{M}{N}. \]

Trekker du fem kort fra en kortstokk, er antall spar hypergeometrisk med \(N=52\), \(M=13\), \(n=5\). Sannsynligheten for fem spar er \(\binom{13}{5}/\binom{52}{5}=1287/2\,598\,960=0{,}000495\).

Geometrisk teller antall forsøk til første suksess: \(P(X=k)=(1-p)^{k-1}p\) med \(E(X)=1/p\). Den dukker opp når oppgaven spør «hvor lenge må vi vente til...».

Normalfordelingen

\(X\sim N(\mu,\sigma^{2})\) er den viktigste kontinuerlige fordelingen, både fordi mange størrelser er tilnærmet normalfordelte og fordi sentralgrenseteoremet gjør gjennomsnitt normalfordelte. Alt regnes via standardisering:

\[ Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1),\qquad P(X\le x)=\Phi\!\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right). \]

Gjennomregnet eksempel. En aksjeportefølje har verdi \(X_W\sim N(100,2)\) om tre måneder. Hva er sannsynligheten for at verdien overstiger 104?

Her er variansen 2, så \(\sigma=\sqrt{2}=1{,}4142\):

\[ P(X_W>104)=P\!\left(Z>\frac{104-100}{1{,}4142}\right)=P(Z>2{,}83)=1-0{,}9977=0{,}0023. \]

I R: 1 - pnorm(104, mean = 100, sd = sqrt(2)).

Blandingsfordelinger

En oppgavetype som har gått igjen: en aksje er verdiløs med sannsynlighet 0,30 (konkurs), og hvis selskapet overlever er verdien \(N(10,2)\). Hva er \(P(X_C>9)\)? Bruk loven om total sannsynlighet:

\[ P(X_C>9)=P(X_C>9\mid\text{overlever})\cdot 0{,}70+P(X_C>9\mid\text{konkurs})\cdot 0{,}30. \]

Det siste leddet er 0 (verdien er 0 ved konkurs). Det første er \(P(Z>(9-10)/1{,}4142)=P(Z>-0{,}707)=0{,}7602\). Dermed

\[ P(X_C>9)=0{,}7602\cdot 0{,}70=0{,}5321. \]

Simulert i R gjør man dette ved først å trekke en 0/1-variabel for konkurs, deretter en normalfordelt verdi for dem som overlever, og til slutt regne andelen over 9.

Tabell eller R?

Fram til og med 2019 var eksamen basert på vedlagte normal- og Poisson-tabeller og en godkjent lommekalkulator. Fra og med 2021 er R kalkulatoren, og personlige kalkulatorer er ikke tillatt. I praksis betyr det at du bør kunne begge veier: lese av \(\Phi(z)\) i tabell, og oppgi pnorm, pbinom, ppois, dbinom med riktige argumenter. Flere oppgaver sier eksplisitt at alle framgangsmåter som gir riktig svar gir uttelling.

Studieguide: Fordelinger

Studieguide: Fordelinger