ECON2130

Cheat Sheet

Formler, begreper og oppsummering

Statistikk 1

eksamenssett.no

Formler

Sannsynlighetsregning

• $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ (Betinget sannsynlighet)
• $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ (Addisjonsloven)
• $P(A) = P(A|B)P(B) + P(A|B^c)P(B^c)$ (Total sannsynlighet)
•Uavhengighet: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$

Diskrete fordelinger

•Binomisk: $P(X=k) = \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$ , $E(X)=np$ , $V(X)=np(1-p)$
•Poisson: $P(X=k) = \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}$ , $E(X)=V(X)=\lambda$
•Hypergeometrisk: $P(X=k) = \frac{\binom{K}{k}\binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}$

Kontinuerlige fordelinger

•Normal: $f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$
•Standardisering: $Z = \frac{X-\mu}{\sigma} \sim N(0,1)$

Estimering og SGT

•SGT: $\bar{X} \approx N(\mu, \sigma^2/n)$ for store $n$
•Andel: $\hat{p} = X/n \approx N(p, p(1-p)/n)$
•Forventningsretthet: $E(\hat{\theta}) = \theta$

Konfidensintervaller

• $\bar{X} \pm z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ (kjent varians)
• $\bar{X} \pm t_{\alpha/2,n-1} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}$ (ukjent varians)
• $\hat{p} \pm z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$ (andel)
• $z_{0.025}=1.96$ , $z_{0.005}=2.576$ , $z_{0.05}=1.645$

Hypotesetesting

•z-test: $z = \frac{\bar{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}$
•t-test: $t = \frac{\bar{X}-\mu_0}{s/\sqrt{n}} \sim t_{n-1}$
•Pooled: $s_p^2 = \frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}$
•To-utvalg: $t = \frac{\bar{X}_1-\bar{X}_2}{s_p\sqrt{1/n_1+1/n_2}} \sim t_{n_1+n_2-2}$

Korrelasjon og regresjon

• $r = \frac{\sum(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sqrt{\sum(x_i-\bar{x})^2\sum(y_i-\bar{y})^2}}$
• $\hat{\beta}_1 = \frac{\sum(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum(x_i-\bar{x})^2}$ , $\hat{\beta}_0 = \bar{y}-\hat{\beta}_1\bar{x}$
• $R^2 = r^2$ (forklart varians)

Viktige R-funksjoner

•pbinom(k,n,p), pnorm(x,mean,sd), ppois(k,lambda) (kumulative sannsynligheter)
•qnorm(p), qt(p,df) (kvantiler/kritiske verdier)
•t.test(x, mu=...), t.test(x, y, var.equal=TRUE)
•sample(n, size, replace=FALSE), replicate(N, expr) (simulering)

Nøkkelformler per tema

Sannsynlighetsregning

• $P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ (Betinget sannsynlighet)

Fordelinger

• $X \sim \text{Bin}(n,p)$ : $P(X=k) = \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$ , $E(X)=np$ , $V(X)=np(1-p)$
• $X \sim \text{Pois}(\lambda)$ : $P(X=k) = \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}$ , $E(X) = V(X) = \lambda$
• $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ : standardisering $Z = \frac{X-\mu}{\sigma} \sim N(0,1)$
•Normaltilnaerming: $\hat{p} \approx N(p, p(1-p)/n)$ for store $n$

Sentralgrenseteoremet og estimering

•Andel: $\hat{p} \approx N(p, p(1-p)/n)$
•Varians til lineaer funksjon: $V(aX + b) = a^2 V(X)$

Konfidensintervaller

•KI for $\mu$ (kjent $\sigma$): $\bar{X} \pm z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$
•KI for $\mu$ (ukjent $\sigma$): $\bar{X} \pm t_{\alpha/2, n-1} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}$
•KI for andel: $\hat{p} \pm z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$
•Vanlige z-verdier: $z_{0.025} = 1.96$ , $z_{0.005} = 2.576$ , $z_{0.05} = 1.645$

Hypotesetesting

•z-test: $z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}$
•t-test: $t = \frac{\bar{X} - \mu_0}{s/\sqrt{n}} \sim t_{n-1}$
•To-utvalgs t-test: $t = \frac{\bar{X}_1 - \bar{X}_2}{s_p\sqrt{1/n_1 + 1/n_2}}$ med $s_p^2 = \frac{(n_1-1)s_1^2 + (n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}$
•Type I-feil: $P(\text{forkaste } H_0 | H_0 \text{ sann}) = \alpha$

Deskriptiv statistikk og R-programmering

•Gjennomsnitt: $\bar{x} = \frac{1}{n}\sum x_i$
•Utvalgsvarians: $s^2 = \frac{1}{n-1}\sum(x_i - \bar{x})^2$
•Korrelasjon: $r = \frac{\sum(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sqrt{\sum(x_i-\bar{x})^2 \sum(y_i-\bar{y})^2}}$
•P90/P10-forholdstall for ulikhet

Hypotesetesting for to grupper

•Pooled varians: $s_p^2 = \frac{(n_1-1)s_1^2 + (n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}$
•To-utvalgs t-test: $t = \frac{\bar{X}_1-\bar{X}_2}{s_p\sqrt{1/n_1+1/n_2}} \sim t_{n_1+n_2-2}$
•I R: t.test(y ~ group, var.equal=TRUE)
•Frihetsgrader: $df = n_1 + n_2 - 2$

Korrelasjon og enkel regresjon

• $r = \frac{\sum(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sqrt{\sum(x_i-\bar{x})^2 \sum(y_i-\bar{y})^2}}$ (Korrelasjonskoeffisient)
• $\hat{\beta}_1 = \frac{\sum(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum(x_i-\bar{x})^2}$ , $\hat{\beta}_0 = \bar{y} - \hat{\beta}_1\bar{x}$ (OLS-estimater)
• $\hat{\beta}_1 = r \cdot \frac{s_Y}{s_X}$ (Sammenheng korrelasjon-regresjon)
• $R^2 = r^2$ (Bestemmelseskoeffisient i enkel regresjon)

Vanlige feil å unngå

Sannsynlighetsregning

•Forveksle P(A|B) og P(B|A). Disse er generelt ulike -- bruk definisjonen noye.
•Glemme a trekke fra P(A \cap B) i addisjonsloven, slik at du dobbeltteller.
•Konkludere med uavhengighet uten a sjekke tallverdiene eksplisitt. Vis alltid at P(A \cap B) = P(A)*P(B) eller ikke.
•Ved trekking uten tilbakelegging: bruke binomisk fordeling i stedet for hypergeometrisk.

Fordelinger

•Forveksle varians og standardavvik i normalfordelingen. N(100, 2) betyr varians 2, sa standardavvik er sqrt(2).
•Bruke normaltilnaerming nar n er for liten. Tommelregel: np > 5 og n(1-p) > 5.
•Glemme Poisson-forutsetningene nar oppgaven ber deg 'diskutere'. De vil ha en kritisk vurdering.
•Ved beregning av P(X >= k): glemme at P(X >= k) = 1 - P(X <= k-1), IKKE 1 - P(X <= k).

Sentralgrenseteoremet og estimering

•Glemme a nevne sentralgrenseteoremet som begrunnelse for normaltilnaermingen. Eksamen gir poeng for dette.
•Forveksle V(X) med V(X-bar). Variansen til gjennomsnittet er sigma^2/n, ikke sigma^2.
•Bruke feil standardavvik i z-skaren: bruk sqrt(p(1-p)/n) for andeler, ikke sqrt(p(1-p)).
•Ved utvalgsstorrelse-oppgaver: glemme a runde OPP til naermeste heltall.

Konfidensintervaller

•Bruke z-verdier nar du burde bruke t-verdier. Nar sigma er ukjent og n er liten, ma du bruke t-fordelingen.
•Feil tolkning: si at 'det er 95% sannsynlighet for at mu ligger i intervallet'. Riktig: 95% av slike intervaller dekker mu.
•Glemme a ta kvadratroten av variansen for a fa standardavviket.
•Ved KI for andel: bruke p (ukjent) i stedet for hat{p} (estimert) i standardfeilen.

Hypotesetesting

•Bruke hat{p} i stedet for p_0 i testobservatoren for andelstest. Under H_0 kjenner vi p_0.
•Forveksle ensidig og tosidig test. Ensidig: kritisk verdi pa en side. Tosidig: kritisk verdi pa begge sider (bruk alpha/2).
•Si 'vi aksepterer H_0' i stedet for 'vi kan ikke forkaste H_0'. Disse er ikke det samme!
•Glemme a oppgi antakelsene (normalfordelte data, uavhengig utvalg, felles varians ved to-utvalgstest).

Deskriptiv statistikk og R-programmering

•Forveksle utvalgsvarians (deler pa n-1) og populasjonsvarians (deler pa n). R bruker n-1.
•Tolke korrelasjon som kausalitet. Skriv alltid at korrelasjon ikke beviser arsakssammenheng.
•Glemme a kommentere symmetri/skjevhet nar du tolker summary()-utskrift. Sammenlign mean og median.
•Ved simulering: bruke for fa repetisjoner. Bruk minst 10000 for noenlunde presist resultat.

Hypotesetesting for to grupper

•Glemme a beregne pooled varians og i stedet bruke s1 eller s2 direkte.
•Bruke feil frihetsgrader. For pooled t-test: df = n1+n2-2, IKKE n1-1 eller n2-1.
•Ikke oppgi forutsetningene (normalitet, uavhengighet, felles varians). Sensor trekker for dette.
•Bruke ensidig test nar oppgaven sier 'signifikant ulik' (som betyr tosidig).

Korrelasjon og enkel regresjon

•Tolke korrelasjon som kausalitet. Dette er den vanligste feilen -- og eksamen tester det eksplisitt.
•Glemme a kommentere monsteret i spredningsdiagrammet. Si noe om trend, form, spredning og utliggere.
•Forveksle r (korrelasjon) med R^2 (forklart varians). r = 0.5 betyr R^2 = 0.25, altsa bare 25% forklart.
•Tolke beta_0 bokstavelig nar X = 0 ikke gir mening (f.eks. 0 ars skolegang).

Eksamenstips

Sannsynlighetsregning

•Sannsynlighetsoppgaven er den enkleste pa eksamen. Prioriter a lose denne ferdig forst.
•Definer alltid hendelsene med tydelige symboler for du begynner a regne.
•Nar oppgaven ber deg 'forklar hva uavhengighet betyr', gi bade den matematiske definisjonen OG en tolkning med ord.
•Simuleringsoppgaver: beskriv sample(), en sjekk-betingelse, en for-lokke med mange repetisjoner, og mean() til slutt.

Fordelinger

•Binomisk fordeling er den desidert vanligste pa ECON2130 -- den dukker opp nesten hvert ar.
•Nar oppgaven gir R-output, bruk det! Du trenger ikke regne ut sannsynligheter for hand nar R-utskriften er gitt.
•Forvent at eksamen ber deg diskutere forutsetninger for Poisson (V2023) eller binomisk fordeling. Ha et svar klart.
•Total sannsynlighet + normalfordeling er en favorittkombinasjon (V2024 aksje C). Tren pa denne typen oppgave.

Sentralgrenseteoremet og estimering

•Nar oppgaven sier 'forklar kort hvorfor ... er normalfordelt', er svaret ALLTID sentralgrenseteoremet.
•Nar du skal vise forventningsretthet, vis E(estimator) steg for steg. Ikke hopp over ledd.
•Husk at variansen til hat{p} bruker den sanne p, ikke den estimerte -- med mindre du konstruerer KI.
•Utvalgsstorrelse-oppgaver krever at du losser ulikheten for n. Vis mellomregningene tydelig.

Konfidensintervaller

•Eksamen oppgir gjerne z- eller t-verdier i R-utskrift. Les dem noye og bruk riktig verdi.
•Skriv alltid opp formelen, sett inn tall, og vis utregningen. Ikke hopp rett til svaret.
•Nar du skal tolke KI, bruk formuleringen 'med X% konfidens ligger den sanne verdien mellom ... og ...'
•Sjekk alltid om 0 (eller en annen spesiell verdi) ligger i KI -- det gir ofte grunnlag for videre diskusjon.

Hypotesetesting

•Skriv ALLTID opp H_0 og H_1 eksplisitt. Eksamen gir poeng for korrekt oppsett av hypoteser.
•Nar oppgaven gir R-utskrift med p-verdier eller kritiske verdier, bruk dem -- ikke regn ut pa nytt.
•Diskusjonsoppgaver om Type I/II-feil: knytt svaret til konteksten. Hva er konsekvensen av a forkaste feilaktig?
•Simulering av teststyrke (V2023): generer data under H_1, gjennomfor test, tell andel forkastninger.

Deskriptiv statistikk og R-programmering

•Nar oppgaven ber om R-kode, skriv tydelig og korrekt syntaks. Du trenger ikke kommentarer, men koden ma vaere kjorbar.
•Tolkning av deskriptiv statistikk: nevn sentraltendens (mean/median), spredning (sd/var), form (symmetri/skjevhet) og utliggere.
•Korrelasjon+kausalitet-sporsmalet er naermest garantert. Ha formuleringen 'korrelasjon er ikke kausalitet' klar.
•Nar du skriver simuleringsalgoritme, forklar hvert steg. Sensor gir delpoeng for riktig tankegang selv om syntaksen ikke er perfekt.

Hypotesetesting for to grupper

•Nar oppgaven sier 'variansen er den samme', bruk pooled t-test. Nar det ikke er oppgitt, bruk Welch t-test.
•For R-kode: t.test(x, y, var.equal=TRUE) er nok -- du trenger ikke beregne for hand med mindre oppgaven krever det.
•Husk a konkludere i kontekst: 'Vi finner ikke statistisk signifikant forskjell i testresultater mellom de to arene.'
•Pa V2025 ble dummy-variabelen ifelse(educ >= 13, 1, 0) bedt om eksplisitt. Vis at du kan lage kategoriske variabler i R.

Korrelasjon og enkel regresjon

•Ha kausalitetsargumentet klart: nevn utelatte variabler, omvendt kausalitet og seleksjonsskjevhet.
•Nar du kommenterer spredningsdiagram: bruk ordene 'positiv/negativ trend', 'lineaer/ikke-lineaer', 'spredning/varians'.
•R-kode for plot: plot(x, y, xlab='...', ylab='...') er tilstrekkelig. Ikke overtenk det.
•Forvent at regresjon/korrelasjon kombineres med hypotesetesting eller kausalitetsdiskusjon. Ha begge deler klart.

ECON2130

Cheat Sheet

Formler, begreper og oppsummering

Statistikk 1

eksamenssett.no

Formler

Sannsynlighetsregning

• $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ (Betinget sannsynlighet)
• $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ (Addisjonsloven)
• $P(A) = P(A|B)P(B) + P(A|B^c)P(B^c)$ (Total sannsynlighet)
•Uavhengighet: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$

Diskrete fordelinger

•Binomisk: $P(X=k) = \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$ , $E(X)=np$ , $V(X)=np(1-p)$
•Poisson: $P(X=k) = \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}$ , $E(X)=V(X)=\lambda$
•Hypergeometrisk: $P(X=k) = \frac{\binom{K}{k}\binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}$

Kontinuerlige fordelinger

•Normal: $f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$
•Standardisering: $Z = \frac{X-\mu}{\sigma} \sim N(0,1)$

Estimering og SGT

•SGT: $\bar{X} \approx N(\mu, \sigma^2/n)$ for store $n$
•Andel: $\hat{p} = X/n \approx N(p, p(1-p)/n)$
•Forventningsretthet: $E(\hat{\theta}) = \theta$

Konfidensintervaller

• $\bar{X} \pm z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ (kjent varians)
• $\bar{X} \pm t_{\alpha/2,n-1} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}$ (ukjent varians)
• $\hat{p} \pm z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$ (andel)
• $z_{0.025}=1.96$ , $z_{0.005}=2.576$ , $z_{0.05}=1.645$

Hypotesetesting

•z-test: $z = \frac{\bar{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}$
•t-test: $t = \frac{\bar{X}-\mu_0}{s/\sqrt{n}} \sim t_{n-1}$
•Pooled: $s_p^2 = \frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}$
•To-utvalg: $t = \frac{\bar{X}_1-\bar{X}_2}{s_p\sqrt{1/n_1+1/n_2}} \sim t_{n_1+n_2-2}$

Korrelasjon og regresjon

• $r = \frac{\sum(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sqrt{\sum(x_i-\bar{x})^2\sum(y_i-\bar{y})^2}}$
• $\hat{\beta}_1 = \frac{\sum(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum(x_i-\bar{x})^2}$ , $\hat{\beta}_0 = \bar{y}-\hat{\beta}_1\bar{x}$
• $R^2 = r^2$ (forklart varians)

Viktige R-funksjoner

•pbinom(k,n,p), pnorm(x,mean,sd), ppois(k,lambda) (kumulative sannsynligheter)
•qnorm(p), qt(p,df) (kvantiler/kritiske verdier)
•t.test(x, mu=...), t.test(x, y, var.equal=TRUE)
•sample(n, size, replace=FALSE), replicate(N, expr) (simulering)

Nøkkelformler per tema

Sannsynlighetsregning

• $P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ (Betinget sannsynlighet)

Fordelinger

• $X \sim \text{Bin}(n,p)$ : $P(X=k) = \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$ , $E(X)=np$ , $V(X)=np(1-p)$
• $X \sim \text{Pois}(\lambda)$ : $P(X=k) = \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}$ , $E(X) = V(X) = \lambda$
• $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ : standardisering $Z = \frac{X-\mu}{\sigma} \sim N(0,1)$
•Normaltilnaerming: $\hat{p} \approx N(p, p(1-p)/n)$ for store $n$

Sentralgrenseteoremet og estimering

•Andel: $\hat{p} \approx N(p, p(1-p)/n)$
•Varians til lineaer funksjon: $V(aX + b) = a^2 V(X)$

Konfidensintervaller

•KI for $\mu$ (kjent $\sigma$): $\bar{X} \pm z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$
•KI for $\mu$ (ukjent $\sigma$): $\bar{X} \pm t_{\alpha/2, n-1} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}$
•KI for andel: $\hat{p} \pm z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$
•Vanlige z-verdier: $z_{0.025} = 1.96$ , $z_{0.005} = 2.576$ , $z_{0.05} = 1.645$

Hypotesetesting

•z-test: $z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}$
•t-test: $t = \frac{\bar{X} - \mu_0}{s/\sqrt{n}} \sim t_{n-1}$
•To-utvalgs t-test: $t = \frac{\bar{X}_1 - \bar{X}_2}{s_p\sqrt{1/n_1 + 1/n_2}}$ med $s_p^2 = \frac{(n_1-1)s_1^2 + (n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}$
•Type I-feil: $P(\text{forkaste } H_0 | H_0 \text{ sann}) = \alpha$

Deskriptiv statistikk og R-programmering

•Gjennomsnitt: $\bar{x} = \frac{1}{n}\sum x_i$
•Utvalgsvarians: $s^2 = \frac{1}{n-1}\sum(x_i - \bar{x})^2$
•Korrelasjon: $r = \frac{\sum(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sqrt{\sum(x_i-\bar{x})^2 \sum(y_i-\bar{y})^2}}$
•P90/P10-forholdstall for ulikhet

Hypotesetesting for to grupper

•Pooled varians: $s_p^2 = \frac{(n_1-1)s_1^2 + (n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}$
•To-utvalgs t-test: $t = \frac{\bar{X}_1-\bar{X}_2}{s_p\sqrt{1/n_1+1/n_2}} \sim t_{n_1+n_2-2}$
•I R: t.test(y ~ group, var.equal=TRUE)
•Frihetsgrader: $df = n_1 + n_2 - 2$

Korrelasjon og enkel regresjon

• $r = \frac{\sum(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sqrt{\sum(x_i-\bar{x})^2 \sum(y_i-\bar{y})^2}}$ (Korrelasjonskoeffisient)
• $\hat{\beta}_1 = \frac{\sum(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum(x_i-\bar{x})^2}$ , $\hat{\beta}_0 = \bar{y} - \hat{\beta}_1\bar{x}$ (OLS-estimater)
• $\hat{\beta}_1 = r \cdot \frac{s_Y}{s_X}$ (Sammenheng korrelasjon-regresjon)
• $R^2 = r^2$ (Bestemmelseskoeffisient i enkel regresjon)

Vanlige feil å unngå

Sannsynlighetsregning

•Forveksle P(A|B) og P(B|A). Disse er generelt ulike -- bruk definisjonen noye.
•Glemme a trekke fra P(A \cap B) i addisjonsloven, slik at du dobbeltteller.
•Konkludere med uavhengighet uten a sjekke tallverdiene eksplisitt. Vis alltid at P(A \cap B) = P(A)*P(B) eller ikke.
•Ved trekking uten tilbakelegging: bruke binomisk fordeling i stedet for hypergeometrisk.

Fordelinger

•Forveksle varians og standardavvik i normalfordelingen. N(100, 2) betyr varians 2, sa standardavvik er sqrt(2).
•Bruke normaltilnaerming nar n er for liten. Tommelregel: np > 5 og n(1-p) > 5.
•Glemme Poisson-forutsetningene nar oppgaven ber deg 'diskutere'. De vil ha en kritisk vurdering.
•Ved beregning av P(X >= k): glemme at P(X >= k) = 1 - P(X <= k-1), IKKE 1 - P(X <= k).

Sentralgrenseteoremet og estimering

•Glemme a nevne sentralgrenseteoremet som begrunnelse for normaltilnaermingen. Eksamen gir poeng for dette.
•Forveksle V(X) med V(X-bar). Variansen til gjennomsnittet er sigma^2/n, ikke sigma^2.
•Bruke feil standardavvik i z-skaren: bruk sqrt(p(1-p)/n) for andeler, ikke sqrt(p(1-p)).
•Ved utvalgsstorrelse-oppgaver: glemme a runde OPP til naermeste heltall.

Konfidensintervaller

•Bruke z-verdier nar du burde bruke t-verdier. Nar sigma er ukjent og n er liten, ma du bruke t-fordelingen.
•Feil tolkning: si at 'det er 95% sannsynlighet for at mu ligger i intervallet'. Riktig: 95% av slike intervaller dekker mu.
•Glemme a ta kvadratroten av variansen for a fa standardavviket.
•Ved KI for andel: bruke p (ukjent) i stedet for hat{p} (estimert) i standardfeilen.

Hypotesetesting

•Bruke hat{p} i stedet for p_0 i testobservatoren for andelstest. Under H_0 kjenner vi p_0.
•Forveksle ensidig og tosidig test. Ensidig: kritisk verdi pa en side. Tosidig: kritisk verdi pa begge sider (bruk alpha/2).
•Si 'vi aksepterer H_0' i stedet for 'vi kan ikke forkaste H_0'. Disse er ikke det samme!
•Glemme a oppgi antakelsene (normalfordelte data, uavhengig utvalg, felles varians ved to-utvalgstest).

Deskriptiv statistikk og R-programmering

•Forveksle utvalgsvarians (deler pa n-1) og populasjonsvarians (deler pa n). R bruker n-1.
•Tolke korrelasjon som kausalitet. Skriv alltid at korrelasjon ikke beviser arsakssammenheng.
•Glemme a kommentere symmetri/skjevhet nar du tolker summary()-utskrift. Sammenlign mean og median.
•Ved simulering: bruke for fa repetisjoner. Bruk minst 10000 for noenlunde presist resultat.

Hypotesetesting for to grupper

•Glemme a beregne pooled varians og i stedet bruke s1 eller s2 direkte.
•Bruke feil frihetsgrader. For pooled t-test: df = n1+n2-2, IKKE n1-1 eller n2-1.
•Ikke oppgi forutsetningene (normalitet, uavhengighet, felles varians). Sensor trekker for dette.
•Bruke ensidig test nar oppgaven sier 'signifikant ulik' (som betyr tosidig).

Korrelasjon og enkel regresjon

•Tolke korrelasjon som kausalitet. Dette er den vanligste feilen -- og eksamen tester det eksplisitt.
•Glemme a kommentere monsteret i spredningsdiagrammet. Si noe om trend, form, spredning og utliggere.
•Forveksle r (korrelasjon) med R^2 (forklart varians). r = 0.5 betyr R^2 = 0.25, altsa bare 25% forklart.
•Tolke beta_0 bokstavelig nar X = 0 ikke gir mening (f.eks. 0 ars skolegang).

Eksamenstips

Sannsynlighetsregning

•Sannsynlighetsoppgaven er den enkleste pa eksamen. Prioriter a lose denne ferdig forst.
•Definer alltid hendelsene med tydelige symboler for du begynner a regne.
•Nar oppgaven ber deg 'forklar hva uavhengighet betyr', gi bade den matematiske definisjonen OG en tolkning med ord.
•Simuleringsoppgaver: beskriv sample(), en sjekk-betingelse, en for-lokke med mange repetisjoner, og mean() til slutt.

Fordelinger

•Binomisk fordeling er den desidert vanligste pa ECON2130 -- den dukker opp nesten hvert ar.
•Nar oppgaven gir R-output, bruk det! Du trenger ikke regne ut sannsynligheter for hand nar R-utskriften er gitt.
•Forvent at eksamen ber deg diskutere forutsetninger for Poisson (V2023) eller binomisk fordeling. Ha et svar klart.
•Total sannsynlighet + normalfordeling er en favorittkombinasjon (V2024 aksje C). Tren pa denne typen oppgave.

Sentralgrenseteoremet og estimering

•Nar oppgaven sier 'forklar kort hvorfor ... er normalfordelt', er svaret ALLTID sentralgrenseteoremet.
•Nar du skal vise forventningsretthet, vis E(estimator) steg for steg. Ikke hopp over ledd.
•Husk at variansen til hat{p} bruker den sanne p, ikke den estimerte -- med mindre du konstruerer KI.
•Utvalgsstorrelse-oppgaver krever at du losser ulikheten for n. Vis mellomregningene tydelig.

Konfidensintervaller

•Eksamen oppgir gjerne z- eller t-verdier i R-utskrift. Les dem noye og bruk riktig verdi.
•Skriv alltid opp formelen, sett inn tall, og vis utregningen. Ikke hopp rett til svaret.
•Nar du skal tolke KI, bruk formuleringen 'med X% konfidens ligger den sanne verdien mellom ... og ...'
•Sjekk alltid om 0 (eller en annen spesiell verdi) ligger i KI -- det gir ofte grunnlag for videre diskusjon.

Hypotesetesting

•Skriv ALLTID opp H_0 og H_1 eksplisitt. Eksamen gir poeng for korrekt oppsett av hypoteser.
•Nar oppgaven gir R-utskrift med p-verdier eller kritiske verdier, bruk dem -- ikke regn ut pa nytt.
•Diskusjonsoppgaver om Type I/II-feil: knytt svaret til konteksten. Hva er konsekvensen av a forkaste feilaktig?
•Simulering av teststyrke (V2023): generer data under H_1, gjennomfor test, tell andel forkastninger.

Deskriptiv statistikk og R-programmering

•Nar oppgaven ber om R-kode, skriv tydelig og korrekt syntaks. Du trenger ikke kommentarer, men koden ma vaere kjorbar.
•Tolkning av deskriptiv statistikk: nevn sentraltendens (mean/median), spredning (sd/var), form (symmetri/skjevhet) og utliggere.
•Korrelasjon+kausalitet-sporsmalet er naermest garantert. Ha formuleringen 'korrelasjon er ikke kausalitet' klar.
•Nar du skriver simuleringsalgoritme, forklar hvert steg. Sensor gir delpoeng for riktig tankegang selv om syntaksen ikke er perfekt.

Hypotesetesting for to grupper

•Nar oppgaven sier 'variansen er den samme', bruk pooled t-test. Nar det ikke er oppgitt, bruk Welch t-test.
•For R-kode: t.test(x, y, var.equal=TRUE) er nok -- du trenger ikke beregne for hand med mindre oppgaven krever det.
•Husk a konkludere i kontekst: 'Vi finner ikke statistisk signifikant forskjell i testresultater mellom de to arene.'
•Pa V2025 ble dummy-variabelen ifelse(educ >= 13, 1, 0) bedt om eksplisitt. Vis at du kan lage kategoriske variabler i R.

Korrelasjon og enkel regresjon

•Ha kausalitetsargumentet klart: nevn utelatte variabler, omvendt kausalitet og seleksjonsskjevhet.
•Nar du kommenterer spredningsdiagram: bruk ordene 'positiv/negativ trend', 'lineaer/ikke-lineaer', 'spredning/varians'.
•R-kode for plot: plot(x, y, xlab='...', ylab='...') er tilstrekkelig. Ikke overtenk det.
•Forvent at regresjon/korrelasjon kombineres med hypotesetesting eller kausalitetsdiskusjon. Ha begge deler klart.