ECON2130

Cheat Sheet

Formler, begreper og oppsummering

Statistikk for økonomer

eksamenssett.no

Formler

Sannsynlighetsregning

• $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ (Betinget sannsynlighet)
• $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ (Addisjonsloven)
• $P(A) = P(A|B)P(B) + P(A|B^c)P(B^c)$ (Total sannsynlighet)
• $P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B|A)P(A)+P(B|A^c)P(A^c)}$ (Bayes)
•Uavhengighet: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$

Diskrete fordelinger

•Binomisk: $P(X=k) = \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$ , $E(X)=np$ , $V(X)=np(1-p)$
•Poisson: $P(X=k) = \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}$ , $E(X)=V(X)=\lambda$
•Hypergeometrisk: $P(X=k) = \frac{\binom{K}{k}\binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}$

Kontinuerlige fordelinger

•Normal: $f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$
•Standardisering: $Z = \frac{X-\mu}{\sigma} \sim N(0,1)$

Regneregler for E og V

• $E(aX+b) = aE(X)+b$ , $V(aX+b) = a^2V(X)$
• $E(X+Y) = E(X)+E(Y)$ (alltid)
• $V(X+Y) = V(X)+V(Y)$ (kun ved uavhengighet)
•Sum av uavhengige Poisson: $\sum X_i \sim \text{Pois}(\sum \lambda_i)$

Estimering og SGT

•SGT: $\bar{X} \approx N(\mu, \sigma^2/n)$ for store $n$
•Andel: $\hat{p} = X/n \approx N(p, p(1-p)/n)$
•Forventningsretthet: $E(\hat{\theta}) = \theta$

Konfidensintervaller

• $\bar{X} \pm z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ (kjent varians)
• $\bar{X} \pm t_{\alpha/2,n-1} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}$ (ukjent varians)
• $\hat{p} \pm z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$ (andel)
• $z_{0.025}=1.96$ , $z_{0.005}=2.576$ , $z_{0.05}=1.645$

Hypotesetesting

•z-test: $z = \frac{\bar{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}$
•t-test: $t = \frac{\bar{X}-\mu_0}{s/\sqrt{n}} \sim t_{n-1}$
•Pooled: $s_p^2 = \frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}$
•To-utvalg: $t = \frac{\bar{X}_1-\bar{X}_2}{s_p\sqrt{1/n_1+1/n_2}} \sim t_{n_1+n_2-2}$

Korrelasjon og regresjon

• $r = \frac{\sum(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sqrt{\sum(x_i-\bar{x})^2\sum(y_i-\bar{y})^2}}$
• $\hat{\beta}_1 = \frac{\sum(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum(x_i-\bar{x})^2}$ , $\hat{\beta}_0 = \bar{y}-\hat{\beta}_1\bar{x}$
• $R^2 = r^2$ (forklart varians)

Viktige R-funksjoner

•pbinom(k,n,p), pnorm(x,mean,sd), ppois(k,lambda) (kumulative sannsynligheter)
•qnorm(p), qt(p,df) (kvantiler/kritiske verdier)
•t.test(x, mu=...), t.test(x, y, var.equal=TRUE)
•sample(n, size, replace=FALSE), replicate(N, expr) (simulering)

Nøkkelformler per tema

Sannsynlighetsregning

•$P(A\mid B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$ — betinget sannsynlighet
•$P(A\cap B)=P(A\mid B)P(B)$ — multiplikasjonsregelen
•$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ — addisjonsloven
•$P(A)=P(A\mid B)P(B)+P(A\mid B^{c})P(B^{c})$ — loven om total sannsynlighet
•$P(B\mid A)=\dfrac{P(A\mid B)P(B)}{P(A)}$ — Bayes formel
•$A,B$ uavhengige $\Longleftrightarrow$ $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ $\Longleftrightarrow$ $P(A\mid B)=P(A)$
•$\binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}$ — antall måter å velge $k$ av $n$ uten rekkefølge

Fordelinger

•Binomisk: $P(X=k)=\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}$, $E(X)=np$, $\mathrm{Var}(X)=np(1-p)$
•Poisson: $P(X=k)=\dfrac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!}$, $E(X)=\mathrm{Var}(X)=\lambda$
•Hypergeometrisk: $P(X=k)=\dfrac{\binom{M}{k}\binom{N-M}{n-k}}{\binom{N}{n}}$, $E(X)=n\dfrac{M}{N}$
•Geometrisk: $P(X=k)=(1-p)^{k-1}p$, $E(X)=1/p$
•Normalfordeling: $X\sim N(\mu,\sigma^{2})\Rightarrow Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1)$
•Diskret variabel: $E(X)=\sum_x x\,P(X=x)$, $\mathrm{Var}(X)=E(X^{2})-[E(X)]^{2}$

Konfidensintervaller

•$\bar x \pm z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}$ — kjent $\sigma$ eller stort utvalg
•$\bar x \pm t_{\alpha/2,\,n-1}\dfrac{s}{\sqrt n}$ — ukjent $\sigma$, lite utvalg
•$\hat p \pm z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}$ — andel
•$\hat\delta \pm z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{s_1^{2}}{n_1}+\dfrac{s_2^{2}}{n_2}}$ — differanse, store utvalg
•$z_{0{,}025}=1{,}96$, $z_{0{,}05}=1{,}645$, $z_{0{,}005}=2{,}576$, $z_{0{,}075}=1{,}4395$
•Nødvendig $n$ for feilmargin $m$: $n\ge\left(\dfrac{z_{\alpha/2}\sigma}{m}\right)^{2}$

Hypotesetesting

•$Z=\dfrac{\bar x-\mu_0}{\sigma/\sqrt n}$ — kjent $\sigma$
•$T=\dfrac{\bar x-\mu_0}{s/\sqrt n}\sim t_{n-1}$ — ukjent $\sigma$
•$Z=\dfrac{\hat p-p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}}$ — andel (bruk $p_0$, ikke $\hat p$, i nevneren)
•Tosidig p-verdi: $p=2\big(1-\Phi(|z_{obs}|)\big)$
•Kritisk grense, ensidig: $\bar x_{krit}=\mu_0+z_{\alpha}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}$
•Styrke $=1-\beta=P(\text{forkaste } H_0\mid H_1)$

Deskriptiv statistikk og R

•$IQR=Q_3-Q_1$ — kvartilbredde
•$\text{Mean}>\text{Median}\Rightarrow$ høyreskjev fordeling
•$s=\sqrt{\text{var}(x)}$, $\widehat{SE}(\bar X)=s/\sqrt n$
•$r=\dfrac{\mathrm{cov}(x,y)}{s_x s_y}$
•Vektet totalgjennomsnitt: $\bar x=\dfrac{\sum n_i\bar x_i}{\sum n_i}$
•Simuleringsusikkerhet for en andel: $SE=\sqrt{p(1-p)/M}$

Hypotesetesting for to grupper

•$SE(\bar X_1-\bar X_2)=\sqrt{\dfrac{\sigma_1^{2}}{n_1}+\dfrac{\sigma_2^{2}}{n_2}}$
•$s_p^{2}=\dfrac{(n_1-1)s_1^{2}+(n_2-1)s_2^{2}}{n_1+n_2-2}$, $SE=s_p\sqrt{\dfrac{1}{n_1}+\dfrac{1}{n_2}}$, $\nu=n_1+n_2-2$
•Test av $p_1=p_2$: $\hat p=\dfrac{x_1+x_2}{n_1+n_2}$, $SE_0=\sqrt{\hat p(1-\hat p)\left(\dfrac{1}{n_1}+\dfrac{1}{n_2}\right)}$
•KI for $p_1-p_2$: bruk $\sqrt{\dfrac{\hat p_1(1-\hat p_1)}{n_1}+\dfrac{\hat p_2(1-\hat p_2)}{n_2}}$ (ikke poolet)
•Nødvendig $n$ per gruppe: $n=\dfrac{2\sigma^{2}(z_\alpha+z_\beta)^{2}}{\delta^{2}}$

Regneregler for stokastiske variabler

•$E(aX+b)=aE(X)+b$, $\mathrm{Var}(aX+b)=a^{2}\mathrm{Var}(X)$
•$E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)$ — gjelder alltid
•$\mathrm{Var}(aX+bY)=a^{2}\mathrm{Var}(X)+b^{2}\mathrm{Var}(Y)+2ab\,\mathrm{Cov}(X,Y)$
•$\mathrm{Var}(\bar X)=\sigma^{2}/n$ for uavhengige observasjoner
•$\mathrm{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)$, $\rho=\dfrac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{SD(X)SD(Y)}$
•Sum av uavhengige Poisson: $\mathrm{Poisson}(\lambda_1)+\mathrm{Poisson}(\lambda_2)=\mathrm{Poisson}(\lambda_1+\lambda_2)$
•Optimal vekt ved to uavhengige andelsestimater: $a^{*}=\dfrac{n_A}{n_A+n_B}$

Sentralgrenseteoremet

•$\bar X \approx N\!\left(\mu,\ \dfrac{\sigma^{2}}{n}\right)$ for stor $n$ — sentralgrenseteoremet
•$\hat p \approx N\!\left(p,\ \dfrac{p(1-p)}{n}\right)$ for stor $n$
•$Z=\dfrac{\bar X-\mu}{\sigma/\sqrt n}\approx N(0,1)$
•$X\sim\mathrm{bin}(n,p)\Rightarrow X\approx N(np,\ np(1-p))$ når $np$ og $n(1-p)$ er store
•$\hat\lambda=\bar X$ for Poisson: $\hat\lambda\approx N(\lambda,\ \lambda/n)$

Estimering

•Forventningsrett: $E(\hat\theta)=\theta$ for alle $\theta$
•$\hat p=X/n$: $E(\hat p)=p$, $SE(\hat p)=\sqrt{p(1-p)/n}$
•$\bar X$: $E(\bar X)=\mu$, $SE(\bar X)=\sigma/\sqrt n$ (estimert: $s/\sqrt n$)
•$\mathrm{Var}(c\hat\theta)=c^{2}\mathrm{Var}(\hat\theta)$ for kjent konstant $c$
•Skjevhet: $\mathrm{bias}(\hat\theta)=E(\hat\theta)-\theta$
•$s^{2}=\dfrac{1}{n-1}\sum(X_i-\bar X)^{2}$ er forventningsrett for $\sigma^{2}$

Korrelasjon

•$\mathrm{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)$
•$\rho_{XY}=\dfrac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{SD(X)\,SD(Y)}\in[-1,1]$
•$r=\dfrac{\sum(x_i-\bar x)(y_i-\bar y)}{\sqrt{\sum(x_i-\bar x)^{2}\sum(y_i-\bar y)^{2}}}$
•$\mathrm{Var}(X\pm Y)=\mathrm{Var}(X)+\mathrm{Var}(Y)\pm 2\mathrm{Cov}(X,Y)$
•$\rho_{(aX+b),Y}=\rho_{XY}$ for $a>0$ — invariant under lineær omskalering
•Kausal effekt: $\tau_i=Y_i(1)-Y_i(0)$

Vanlige feil å unngå

Sannsynlighetsregning

•Å forveksle $P(A\mid B)$ og $P(B\mid A)$. Disse er generelt helt ulike. Bruk Bayes formel for å snu betingingen.
•Å glemme å trekke fra $P(A\cap B)$ i addisjonsloven, slik at du dobbelteller snittet.
•Å blande sammen «uavhengige» og «disjunkte». Disjunkte hendelser ($P(A\cap B)=0$) er tvert imot maksimalt avhengige: skjer den ene, kan ikke den andre skje.
•Å bruke $\binom{n}{k}$ når rekkefølgen betyr noe, eller å bruke trekking med tilbakelegging når oppgaven sier uten.
•Å tro at «lav sannsynlighet gitt at H er sann» betyr «lav sannsynlighet for at H er sann» — det er samme feilslutning som ved p-verdier.

Fordelinger

•Å bruke binomisk fordeling ved trekking uten tilbakelegging fra en liten populasjon. Da er modellen hypergeometrisk. Tilnærmingen er bare god når utvalget er lite i forhold til populasjonen.
•Å sette variansen i stedet for standardavviket i nevneren ved standardisering.
•Å glemme at Poisson-parameteren er rate ganger tid: går man fra 8 til 9 timer, blir $\lambda$ skalert med $9/8$.
•Å regne $P(X\ge k)$ som $1-P(X\le k)$ for en diskret variabel. Riktig er $1-P(X\le k-1)$.
•Å anta at summen av binomiske variabler er binomisk når gruppene har ulik $p$ — det er den ikke.

Konfidensintervaller

•Å si «det er 95 % sannsynlighet for at $\mu$ ligger i dette intervallet». Parameteren er fast; det er intervallet som er tilfeldig.
•Å bruke $z$ når $\sigma$ er ukjent og utvalget lite. Bruk $t$ med $n-1$ frihetsgrader.
•Å bruke $n$ i stedet for $n-1$ frihetsgrader.
•Å bruke $\sigma$ i stedet for $\sigma/\sqrt n$ i marginen — det gir et intervall som beskriver enkeltobservasjoner, ikke gjennomsnittet.
•Å poole andelene i et konfidensintervall for $p_1-p_2$. Pooling hører bare til hypotesetesten.

Hypotesetesting

•Å tolke p-verdien som sannsynligheten for at $H_0$ er sann. Den er sannsynligheten for data minst så ekstreme som observert, gitt $H_0$.
•Å bruke $\hat p$ i stedet for $p_0$ i nevneren ved test av en andel.
•Å glemme å dobble p-verdien i en tosidig test.
•Å bruke $z$ når $\sigma$ er ukjent og $n$ lite.
•Å standardisere med $\mu_0$ i stedet for den sanne $\mu$ når du regner teststyrke. Styrken beregnes under $H_1$.
•Å bytte til ensidig test etter at du har sett hvilken retning dataene peker.

Deskriptiv statistikk og R

•Å gi rnorm variansen i stedet for standardavviket.
•Å glemme set.seed, slik at resultatet ikke kan reproduseres.
•Å regne det uvektede snittet av to gruppegjennomsnitt når gruppene er ulike i størrelse.
•Å tolke kovariansen som et styrkemål. Den avhenger av måleenhetene; bruk korrelasjonen.
•Å konkludere om populasjonen fra deskriptiv statistikk alene, uten standardfeil.
•Å bruke boksplott til å vurdere formen på fordelingen. Boksplott skjuler antall topper — bruk histogram.

Hypotesetesting for to grupper

•Å legge sammen standardfeilene i stedet for variansene: $SE\neq SE_1+SE_2$.
•Å tro at $\mathrm{Var}(\bar X_1-\bar X_2)=\mathrm{Var}(\bar X_1)-\mathrm{Var}(\bar X_2)$. Variansene adderes.
•Å poole andelene i konfidensintervallet for $p_1-p_2$.
•Å bruke $n_1+n_2-1$ eller $n_1+n_2$ frihetsgrader i den poolede $t$-testen. Riktig er $n_1+n_2-2$.
•Å bruke en tougruppetest på parvise data (før/etter samme person). Da skal du teste differansene som ett utvalg.
•Å konkludere kausalt når gruppene er selvvalgte.

Regneregler for stokastiske variabler

•Å glemme å kvadrere koeffisienten: $\mathrm{Var}(2X)=4\mathrm{Var}(X)$, ikke $2\mathrm{Var}(X)$.
•Å ta med konstantleddet i variansen. $\mathrm{Var}(aX+b)$ inneholder ingen $b$.
•Å utelate kovariansleddet uten å ha uavhengighet. Ved positiv kovarians undervurderer du da variansen til summen.
•Å tro at $\mathrm{Var}(X-Y)=\mathrm{Var}(X)-\mathrm{Var}(Y)$. Variansene adderes også ved differanse; det er kovariansleddet som skifter fortegn.
•Å blande $SD$ og $\mathrm{Var}$ ved skalering: $SD(aX)=|a|SD(X)$, men $\mathrm{Var}(aX)=a^{2}\mathrm{Var}(X)$.

Sentralgrenseteoremet

•Å si at sentralgrenseteoremet gjør dataene normalfordelte. Det er utvalgsfordelingen til $\bar X$ som blir normal.
•Å bruke $\sigma$ i stedet for $\sigma/\sqrt n$ i nevneren når du standardiserer et gjennomsnitt.
•Å bruke normaltilnærming til binomialfordelingen når $np$ er liten (for eksempel $n=20$, $p=0{,}02$). Da er Poisson en bedre tilnærming.
•Å glemme at tilnærmingen krever uavhengige observasjoner. Ved gruppert data holder den ikke.
•Å bruke $\sigma/\sqrt n$ uten kommentar når $\sigma$ faktisk er ukjent og erstattet av $s$ — med små utvalg skal det gi $t$-fordeling.

Estimering

•Å blande sammen $\sigma$ (spredning mellom enheter) og $SE$ (usikkerhet i estimatet).
•Å tro at forventningsretthet betyr at estimatet er riktig i det utvalget du har. Det gjelder i gjennomsnitt over utvalg.
•Å glemme å kvadrere konstanten: $\mathrm{Var}(3\hat\theta)=9\mathrm{Var}(\hat\theta)$.
•Å anta at $E(g(\hat\theta))=g(E(\hat\theta))$ for ikke-lineære $g$. $\exp(\bar X)$ er ikke forventningsrett for $\exp(\mu)$.
•Å sette $n$ i stedet for $n-1$ i utvalgsvariansen. Med $n$ blir estimatoren skjev nedover.

Korrelasjon

•Å tolke $\rho=0$ som uavhengighet. Korrelasjonen fanger bare lineær samvariasjon.
•Å tolke kovariansen som et styrkemål. Den avhenger av måleenhetene; bare korrelasjonen er sammenlignbar.
•Å tro at høy $r$ betyr god prediksjon i et lite utvalg. Med $n=8$ er $r$ svært usikkert.
•Å sammenligne «avkastning» mellom grupper ved å sammenligne $r$. $r$ måler tetthet rundt en linje, ikke linjens bratthet.
•Å tolke en høy korrelasjon mellom to tidsserier som en sammenheng. Felles trend gir høy $r$ mellom vilkårlige serier.

Eksamenstips

Sannsynlighetsregning

•Definer hendelsene med tydelige symboler før du regner. Halvparten av feilene på denne oppgavetypen skyldes at man mister oversikten over hva som er betinget på hva.
•Sett opp en 2x2-tabell (eller 2x3) med simultansannsynligheter når oppgaven gir deg betingede sannsynligheter. Da leser du av alle marginaler og snitt direkte.
•Sannsynlighetsoppgaven er som regel den mest overkommelige på settet, og teller typisk 20–25 %. Gjør den ferdig først.
•Når oppgaven ber deg «vise at hendelsene ikke er uavhengige», er det nok å finne én celle der $P(A\cap B)\neq P(A)P(B)$.
•Nyere eksamener ber ofte om at du beskriver en simulering i R i stedet for å regne analytisk. Da skal du forklare hvert steg i algoritmen — koden trenger ikke være perfekt.

Fordelinger

•Første spørsmål på fordelingsoppgaven er nesten alltid «hvilken fordeling har X?». Svar med navn OG parametre, og nevn kort hvilke forutsetninger som ligger bak.
•Oppgaven «diskuter kort hva det innebærer å forutsette at X er Poisson-fordelt» går igjen. Svar: hendelser inntreffer uavhengig av hverandre, med konstant rate over tid, og to hendelser kan ikke skje samtidig.
•Merk deg at N(mu, sigma^2) oppgir variansen. Standardiser med kvadratroten.
•Er utvalget stort og p liten, kan binomisk tilnærmes med Poisson; er np og n(1-p) store, kan den tilnærmes med normalfordelingen. Eksamen gir ofte valget mellom tabell og R.
•Både normaltabell og Poisson-tabell har vært vedlagt oppgavesettene. Fra 2021 er R kalkulatoren, og pbinom/ppois/pnorm gir eksakte svar — oppgi gjerne begge veier.

Konfidensintervaller

•Oppgaveteksten sier nesten alltid «vær klar på hvilke forutsetninger du gjør». Nevn eksplisitt: tilfeldig utvalg, uavhengige observasjoner, og hvorfor estimatoren er tilnærmet normalfordelt (sentralgrenseteoremet eller normalitetsantakelse).
•Oppgi ALLTID en tolkning av intervallet. Riktig formulering: prosedyren dekker den sanne parameteren i (1-alfa) av gjentatte utvalg.
•Merk deg uvanlige konfidensnivåer. Eksamen har brukt 85 % og 90 % — da må du finne riktig kvantil, ikke bruke 1,96 automatisk.
•Når oppgaven gir deg en R-utskrift med qnorm og qt for flere nivåer, er det en peker på hvilken fordeling og hvilket nivå du skal bruke. Velg bevisst og begrunn.
•Sjekk sammenhengen med testen: et 95 %-intervall som utelukker nullverdien svarer til p<0,05.

Hypotesetesting

•Følg alltid de fem stegene eksplisitt: (1) hypoteser med notasjon forklart, (2) forutsetninger, (3) testobservator med tall, (4) kritisk verdi eller p-verdi, (5) konklusjon i ord knyttet til konteksten.
•Signifikansnivået varierer mellom oppgaver: 1 %, 5 % og 10 % er alle brukt, og noen oppgaver sier «velg selv». Velger du selv, si hvorfor.
•Spørsmålet «er p-verdien en stokastisk variabel?» har kommet flere ganger. Svar: ja, den er en funksjon av dataene, og under H0 er den uniformt fordelt på intervallet fra 0 til 1.
•Simulering av teststyrke i R har kommet flere ganger. Husk at kritisk grense beregnes under H0, mens dataene trekkes under den sanne verdien.
•Når du tester en andel, bruk p0 i nevneren av testobservatoren (testen betinger på H0), men p-hat i konfidensintervallet.

Deskriptiv statistikk og R

•R er kalkulatoren på eksamen fra og med 2021 — personlige kalkulatorer er ikke tillatt. I 13 av de 14 settene fra 2018 til 2026 finnes R-kode eller R-utskrift.
•Når du blir bedt om å «oppgi R-kode», teller en presis algoritme i pseudokode nesten like mye. Forklar hvert steg.
•Oppgaver om figurer sier ofte «det vil ikke være mulig å lime figuren inn i Inspera». Da skal du beskrive hva figuren viser med ord, ikke bare oppgi koden.
•summary()- og quantile()-utskrifter gis ofte som utgangspunkt for en test. Trekk ut det du trenger (mean, var, n) og gå videre til SE.
•Husk at rnorm tar standardavvik, ikke varians, og bruk alltid set.seed.

Hypotesetesting for to grupper

•Dette er den mest sannsynlige oppgavetypen på hele settet: i 11 av 14 sett fra 2018 til 2026 finnes en tougruppesammenligning.
•Avgjør først om utvalgene er store (bruk z) eller små med ukjent varians (bruk poolet t). Begrunn valget eksplisitt — det er selve poenget med spørsmålet.
•Test og konfidensintervall bruker ULIK standardfeil for to andeler. Testen pooler, intervallet gjør det ikke.
•Oppgaven ber ofte om kausal drøfting til slutt: «kan vi konkludere at X forårsaker Y?» Svar nei med mindre tildelingen er randomisert, og pek på seleksjon som alternativ forklaring.
•Fra 2021 kan du bruke R direkte: t.test(x, y, var.equal = TRUE) for poolet test. Oppgi gjerne både kommandoen og den manuelle regningen.

Regneregler for stokastiske variabler

•Denne oppgavetypen har vært en hel oppgave verdt 20–40 % flere ganger (Z=aX+bY i 2021, C=2A+B i 2023, vektet andelsestimator i 2024, differanseestimator i 2025 og 2026).
•Framgangsmåten er alltid tredelt: (1) sett opp E og krev at den er lik parameteren — det gir én ligning mellom vektene; (2) sett opp Var; (3) sett inn bindingen og deriver med hensyn på den frie vekten.
•Skriv alltid eksplisitt om du bruker uavhengighet. Får du bruk for at kovariansleddet er null, må du si hvorfor.
•Sjekk svaret ditt med et grensetilfelle: setter du alle vekter på én kilde, skal formelen redusere til den enkle variansen for den kilden.
•Oppgaven sier ofte «du kan ta for gitt at uttrykket er konvekst». Da slipper du å sjekke andrederiverten, men si at du bruker premisset.

Sentralgrenseteoremet

•Den vanligste formuleringen er «forklar kort hvorfor du kan bruke tilnærmingen». Svar: estimatoren er et gjennomsnitt (eller en sum) av mange uavhengige variabler med endelig varians, og sentralgrenseteoremet gir da tilnærmet normalfordeling.
•Merk hva som skal være normalfordelt: fordelingen til ESTIMATOREN, ikke til dataene. Data kan være svært skjeve.
•Med små utvalg må du derimot anta at dataene selv er normalfordelte. Eksamen tester ofte grensen: «en venn sier at med n=60 trenger du ikke anta normalfordeling — stemmer det?»
•Oppgi alltid både forventning og varians i tilnærmingen, ikke bare «tilnærmet normalfordelt».
•For andeler bruker du at p-hat er et gjennomsnitt av n uavhengige 0/1-variabler. Da følger normaltilnærmingen av samme argument.

Estimering

•Spørsmålet «vis at estimatoren er forventningsrett og forklar hva det betyr» går igjen på nesten hvert sett. Vis regningen OG gi tolkningen med ord: i gjennomsnitt over gjentatte utvalg treffer estimatoren parameteren.
•Standardfeilen skal nesten alltid oppgis sammen med estimatet. Forklar også hva den er: standardavviket til estimatoren, altså hvor mye estimatet typisk varierer fra utvalg til utvalg.
•Når oppgaven gir deg en modell (for eksempel forventet profitt som funksjon av p) og ber deg estimere en avledet størrelse, er oppskriften: løs modellen for parameteren, sett inn den forventningsrette estimatoren, og bruk regnereglene for E og Var.
•Har du to forventningsrette kandidater, er variansen kriteriet. Har du én skjev og én forventningsrett, må du drøfte avveiningen.
•Maksimum likelihood, momentmetoden og Cramér-Rao er IKKE testet på noe ECON2130-sett i arkivet. Prioriter regnereglene i stedet.

Korrelasjon

•Korrelasjon er et mindre tema målt i vekt (4 av 14 sett fra 2018), men det er eksplisitt nevnt i emnets læringsutbytte: å kunne skille korrelasjon fra kausalitet.
•Den formen som faktisk testes er (a) cor() i R med tolkning, og (b) drøfting av om en sammenheng kan tolkes kausalt. Ren korrelasjonsteori er mindre viktig.
•Ved kausale spørsmål: nevn konkret hvilken bakenforliggende variabel eller seleksjonsmekanisme som kan forklare sammenhengen. Generelle formuleringer gir lite uttelling.
•Bruk gjerne kontrafaktisk språk: «vi observerer ikke hva de som valgte X ville oppnådd uten X».
•Enkel og multippel regresjon er IKKE testet på noe ECON2130-sett siden 2014. Regresjon hører til ECON3150/Statistikk 2 — bruk ikke tid på det her.

ECON2130

Cheat Sheet

Formler, begreper og oppsummering

Statistikk for økonomer

eksamenssett.no

Formler

Sannsynlighetsregning

• $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ (Betinget sannsynlighet)
• $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ (Addisjonsloven)
• $P(A) = P(A|B)P(B) + P(A|B^c)P(B^c)$ (Total sannsynlighet)
• $P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B|A)P(A)+P(B|A^c)P(A^c)}$ (Bayes)
•Uavhengighet: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$

Diskrete fordelinger

•Binomisk: $P(X=k) = \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$ , $E(X)=np$ , $V(X)=np(1-p)$
•Poisson: $P(X=k) = \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}$ , $E(X)=V(X)=\lambda$
•Hypergeometrisk: $P(X=k) = \frac{\binom{K}{k}\binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}$

Kontinuerlige fordelinger

•Normal: $f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$
•Standardisering: $Z = \frac{X-\mu}{\sigma} \sim N(0,1)$

Regneregler for E og V

• $E(aX+b) = aE(X)+b$ , $V(aX+b) = a^2V(X)$
• $E(X+Y) = E(X)+E(Y)$ (alltid)
• $V(X+Y) = V(X)+V(Y)$ (kun ved uavhengighet)
•Sum av uavhengige Poisson: $\sum X_i \sim \text{Pois}(\sum \lambda_i)$

Estimering og SGT

•SGT: $\bar{X} \approx N(\mu, \sigma^2/n)$ for store $n$
•Andel: $\hat{p} = X/n \approx N(p, p(1-p)/n)$
•Forventningsretthet: $E(\hat{\theta}) = \theta$

Konfidensintervaller

• $\bar{X} \pm z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ (kjent varians)
• $\bar{X} \pm t_{\alpha/2,n-1} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}$ (ukjent varians)
• $\hat{p} \pm z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$ (andel)
• $z_{0.025}=1.96$ , $z_{0.005}=2.576$ , $z_{0.05}=1.645$

Hypotesetesting

•z-test: $z = \frac{\bar{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}$
•t-test: $t = \frac{\bar{X}-\mu_0}{s/\sqrt{n}} \sim t_{n-1}$
•Pooled: $s_p^2 = \frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}$
•To-utvalg: $t = \frac{\bar{X}_1-\bar{X}_2}{s_p\sqrt{1/n_1+1/n_2}} \sim t_{n_1+n_2-2}$

Korrelasjon og regresjon

• $r = \frac{\sum(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sqrt{\sum(x_i-\bar{x})^2\sum(y_i-\bar{y})^2}}$
• $\hat{\beta}_1 = \frac{\sum(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum(x_i-\bar{x})^2}$ , $\hat{\beta}_0 = \bar{y}-\hat{\beta}_1\bar{x}$
• $R^2 = r^2$ (forklart varians)

Viktige R-funksjoner

•pbinom(k,n,p), pnorm(x,mean,sd), ppois(k,lambda) (kumulative sannsynligheter)
•qnorm(p), qt(p,df) (kvantiler/kritiske verdier)
•t.test(x, mu=...), t.test(x, y, var.equal=TRUE)
•sample(n, size, replace=FALSE), replicate(N, expr) (simulering)

Nøkkelformler per tema

Sannsynlighetsregning

•$P(A\mid B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$ — betinget sannsynlighet
•$P(A\cap B)=P(A\mid B)P(B)$ — multiplikasjonsregelen
•$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ — addisjonsloven
•$P(A)=P(A\mid B)P(B)+P(A\mid B^{c})P(B^{c})$ — loven om total sannsynlighet
•$P(B\mid A)=\dfrac{P(A\mid B)P(B)}{P(A)}$ — Bayes formel
•$A,B$ uavhengige $\Longleftrightarrow$ $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ $\Longleftrightarrow$ $P(A\mid B)=P(A)$
•$\binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}$ — antall måter å velge $k$ av $n$ uten rekkefølge

Fordelinger

•Binomisk: $P(X=k)=\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}$, $E(X)=np$, $\mathrm{Var}(X)=np(1-p)$
•Poisson: $P(X=k)=\dfrac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!}$, $E(X)=\mathrm{Var}(X)=\lambda$
•Hypergeometrisk: $P(X=k)=\dfrac{\binom{M}{k}\binom{N-M}{n-k}}{\binom{N}{n}}$, $E(X)=n\dfrac{M}{N}$
•Geometrisk: $P(X=k)=(1-p)^{k-1}p$, $E(X)=1/p$
•Normalfordeling: $X\sim N(\mu,\sigma^{2})\Rightarrow Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1)$
•Diskret variabel: $E(X)=\sum_x x\,P(X=x)$, $\mathrm{Var}(X)=E(X^{2})-[E(X)]^{2}$

Konfidensintervaller

•$\bar x \pm z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}$ — kjent $\sigma$ eller stort utvalg
•$\bar x \pm t_{\alpha/2,\,n-1}\dfrac{s}{\sqrt n}$ — ukjent $\sigma$, lite utvalg
•$\hat p \pm z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}$ — andel
•$\hat\delta \pm z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{s_1^{2}}{n_1}+\dfrac{s_2^{2}}{n_2}}$ — differanse, store utvalg
•$z_{0{,}025}=1{,}96$, $z_{0{,}05}=1{,}645$, $z_{0{,}005}=2{,}576$, $z_{0{,}075}=1{,}4395$
•Nødvendig $n$ for feilmargin $m$: $n\ge\left(\dfrac{z_{\alpha/2}\sigma}{m}\right)^{2}$

Hypotesetesting

•$Z=\dfrac{\bar x-\mu_0}{\sigma/\sqrt n}$ — kjent $\sigma$
•$T=\dfrac{\bar x-\mu_0}{s/\sqrt n}\sim t_{n-1}$ — ukjent $\sigma$
•$Z=\dfrac{\hat p-p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}}$ — andel (bruk $p_0$, ikke $\hat p$, i nevneren)
•Tosidig p-verdi: $p=2\big(1-\Phi(|z_{obs}|)\big)$
•Kritisk grense, ensidig: $\bar x_{krit}=\mu_0+z_{\alpha}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}$
•Styrke $=1-\beta=P(\text{forkaste } H_0\mid H_1)$

Deskriptiv statistikk og R

•$IQR=Q_3-Q_1$ — kvartilbredde
•$\text{Mean}>\text{Median}\Rightarrow$ høyreskjev fordeling
•$s=\sqrt{\text{var}(x)}$, $\widehat{SE}(\bar X)=s/\sqrt n$
•$r=\dfrac{\mathrm{cov}(x,y)}{s_x s_y}$
•Vektet totalgjennomsnitt: $\bar x=\dfrac{\sum n_i\bar x_i}{\sum n_i}$
•Simuleringsusikkerhet for en andel: $SE=\sqrt{p(1-p)/M}$

Hypotesetesting for to grupper

•$SE(\bar X_1-\bar X_2)=\sqrt{\dfrac{\sigma_1^{2}}{n_1}+\dfrac{\sigma_2^{2}}{n_2}}$
•$s_p^{2}=\dfrac{(n_1-1)s_1^{2}+(n_2-1)s_2^{2}}{n_1+n_2-2}$, $SE=s_p\sqrt{\dfrac{1}{n_1}+\dfrac{1}{n_2}}$, $\nu=n_1+n_2-2$
•Test av $p_1=p_2$: $\hat p=\dfrac{x_1+x_2}{n_1+n_2}$, $SE_0=\sqrt{\hat p(1-\hat p)\left(\dfrac{1}{n_1}+\dfrac{1}{n_2}\right)}$
•KI for $p_1-p_2$: bruk $\sqrt{\dfrac{\hat p_1(1-\hat p_1)}{n_1}+\dfrac{\hat p_2(1-\hat p_2)}{n_2}}$ (ikke poolet)
•Nødvendig $n$ per gruppe: $n=\dfrac{2\sigma^{2}(z_\alpha+z_\beta)^{2}}{\delta^{2}}$

Regneregler for stokastiske variabler

•$E(aX+b)=aE(X)+b$, $\mathrm{Var}(aX+b)=a^{2}\mathrm{Var}(X)$
•$E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)$ — gjelder alltid
•$\mathrm{Var}(aX+bY)=a^{2}\mathrm{Var}(X)+b^{2}\mathrm{Var}(Y)+2ab\,\mathrm{Cov}(X,Y)$
•$\mathrm{Var}(\bar X)=\sigma^{2}/n$ for uavhengige observasjoner
•$\mathrm{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)$, $\rho=\dfrac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{SD(X)SD(Y)}$
•Sum av uavhengige Poisson: $\mathrm{Poisson}(\lambda_1)+\mathrm{Poisson}(\lambda_2)=\mathrm{Poisson}(\lambda_1+\lambda_2)$
•Optimal vekt ved to uavhengige andelsestimater: $a^{*}=\dfrac{n_A}{n_A+n_B}$

Sentralgrenseteoremet

•$\bar X \approx N\!\left(\mu,\ \dfrac{\sigma^{2}}{n}\right)$ for stor $n$ — sentralgrenseteoremet
•$\hat p \approx N\!\left(p,\ \dfrac{p(1-p)}{n}\right)$ for stor $n$
•$Z=\dfrac{\bar X-\mu}{\sigma/\sqrt n}\approx N(0,1)$
•$X\sim\mathrm{bin}(n,p)\Rightarrow X\approx N(np,\ np(1-p))$ når $np$ og $n(1-p)$ er store
•$\hat\lambda=\bar X$ for Poisson: $\hat\lambda\approx N(\lambda,\ \lambda/n)$

Estimering

•Forventningsrett: $E(\hat\theta)=\theta$ for alle $\theta$
•$\hat p=X/n$: $E(\hat p)=p$, $SE(\hat p)=\sqrt{p(1-p)/n}$
•$\bar X$: $E(\bar X)=\mu$, $SE(\bar X)=\sigma/\sqrt n$ (estimert: $s/\sqrt n$)
•$\mathrm{Var}(c\hat\theta)=c^{2}\mathrm{Var}(\hat\theta)$ for kjent konstant $c$
•Skjevhet: $\mathrm{bias}(\hat\theta)=E(\hat\theta)-\theta$
•$s^{2}=\dfrac{1}{n-1}\sum(X_i-\bar X)^{2}$ er forventningsrett for $\sigma^{2}$

Korrelasjon

•$\mathrm{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)$
•$\rho_{XY}=\dfrac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{SD(X)\,SD(Y)}\in[-1,1]$
•$r=\dfrac{\sum(x_i-\bar x)(y_i-\bar y)}{\sqrt{\sum(x_i-\bar x)^{2}\sum(y_i-\bar y)^{2}}}$
•$\mathrm{Var}(X\pm Y)=\mathrm{Var}(X)+\mathrm{Var}(Y)\pm 2\mathrm{Cov}(X,Y)$
•$\rho_{(aX+b),Y}=\rho_{XY}$ for $a>0$ — invariant under lineær omskalering
•Kausal effekt: $\tau_i=Y_i(1)-Y_i(0)$

Vanlige feil å unngå

Sannsynlighetsregning

•Å forveksle $P(A\mid B)$ og $P(B\mid A)$. Disse er generelt helt ulike. Bruk Bayes formel for å snu betingingen.
•Å glemme å trekke fra $P(A\cap B)$ i addisjonsloven, slik at du dobbelteller snittet.
•Å blande sammen «uavhengige» og «disjunkte». Disjunkte hendelser ($P(A\cap B)=0$) er tvert imot maksimalt avhengige: skjer den ene, kan ikke den andre skje.
•Å bruke $\binom{n}{k}$ når rekkefølgen betyr noe, eller å bruke trekking med tilbakelegging når oppgaven sier uten.
•Å tro at «lav sannsynlighet gitt at H er sann» betyr «lav sannsynlighet for at H er sann» — det er samme feilslutning som ved p-verdier.

Fordelinger

•Å bruke binomisk fordeling ved trekking uten tilbakelegging fra en liten populasjon. Da er modellen hypergeometrisk. Tilnærmingen er bare god når utvalget er lite i forhold til populasjonen.
•Å sette variansen i stedet for standardavviket i nevneren ved standardisering.
•Å glemme at Poisson-parameteren er rate ganger tid: går man fra 8 til 9 timer, blir $\lambda$ skalert med $9/8$.
•Å regne $P(X\ge k)$ som $1-P(X\le k)$ for en diskret variabel. Riktig er $1-P(X\le k-1)$.
•Å anta at summen av binomiske variabler er binomisk når gruppene har ulik $p$ — det er den ikke.

Konfidensintervaller

•Å si «det er 95 % sannsynlighet for at $\mu$ ligger i dette intervallet». Parameteren er fast; det er intervallet som er tilfeldig.
•Å bruke $z$ når $\sigma$ er ukjent og utvalget lite. Bruk $t$ med $n-1$ frihetsgrader.
•Å bruke $n$ i stedet for $n-1$ frihetsgrader.
•Å bruke $\sigma$ i stedet for $\sigma/\sqrt n$ i marginen — det gir et intervall som beskriver enkeltobservasjoner, ikke gjennomsnittet.
•Å poole andelene i et konfidensintervall for $p_1-p_2$. Pooling hører bare til hypotesetesten.

Hypotesetesting

•Å tolke p-verdien som sannsynligheten for at $H_0$ er sann. Den er sannsynligheten for data minst så ekstreme som observert, gitt $H_0$.
•Å bruke $\hat p$ i stedet for $p_0$ i nevneren ved test av en andel.
•Å glemme å dobble p-verdien i en tosidig test.
•Å bruke $z$ når $\sigma$ er ukjent og $n$ lite.
•Å standardisere med $\mu_0$ i stedet for den sanne $\mu$ når du regner teststyrke. Styrken beregnes under $H_1$.
•Å bytte til ensidig test etter at du har sett hvilken retning dataene peker.

Deskriptiv statistikk og R

•Å gi rnorm variansen i stedet for standardavviket.
•Å glemme set.seed, slik at resultatet ikke kan reproduseres.
•Å regne det uvektede snittet av to gruppegjennomsnitt når gruppene er ulike i størrelse.
•Å tolke kovariansen som et styrkemål. Den avhenger av måleenhetene; bruk korrelasjonen.
•Å konkludere om populasjonen fra deskriptiv statistikk alene, uten standardfeil.
•Å bruke boksplott til å vurdere formen på fordelingen. Boksplott skjuler antall topper — bruk histogram.

Hypotesetesting for to grupper

•Å legge sammen standardfeilene i stedet for variansene: $SE\neq SE_1+SE_2$.
•Å tro at $\mathrm{Var}(\bar X_1-\bar X_2)=\mathrm{Var}(\bar X_1)-\mathrm{Var}(\bar X_2)$. Variansene adderes.
•Å poole andelene i konfidensintervallet for $p_1-p_2$.
•Å bruke $n_1+n_2-1$ eller $n_1+n_2$ frihetsgrader i den poolede $t$-testen. Riktig er $n_1+n_2-2$.
•Å bruke en tougruppetest på parvise data (før/etter samme person). Da skal du teste differansene som ett utvalg.
•Å konkludere kausalt når gruppene er selvvalgte.

Regneregler for stokastiske variabler

•Å glemme å kvadrere koeffisienten: $\mathrm{Var}(2X)=4\mathrm{Var}(X)$, ikke $2\mathrm{Var}(X)$.
•Å ta med konstantleddet i variansen. $\mathrm{Var}(aX+b)$ inneholder ingen $b$.
•Å utelate kovariansleddet uten å ha uavhengighet. Ved positiv kovarians undervurderer du da variansen til summen.
•Å tro at $\mathrm{Var}(X-Y)=\mathrm{Var}(X)-\mathrm{Var}(Y)$. Variansene adderes også ved differanse; det er kovariansleddet som skifter fortegn.
•Å blande $SD$ og $\mathrm{Var}$ ved skalering: $SD(aX)=|a|SD(X)$, men $\mathrm{Var}(aX)=a^{2}\mathrm{Var}(X)$.

Sentralgrenseteoremet

•Å si at sentralgrenseteoremet gjør dataene normalfordelte. Det er utvalgsfordelingen til $\bar X$ som blir normal.
•Å bruke $\sigma$ i stedet for $\sigma/\sqrt n$ i nevneren når du standardiserer et gjennomsnitt.
•Å bruke normaltilnærming til binomialfordelingen når $np$ er liten (for eksempel $n=20$, $p=0{,}02$). Da er Poisson en bedre tilnærming.
•Å glemme at tilnærmingen krever uavhengige observasjoner. Ved gruppert data holder den ikke.
•Å bruke $\sigma/\sqrt n$ uten kommentar når $\sigma$ faktisk er ukjent og erstattet av $s$ — med små utvalg skal det gi $t$-fordeling.

Estimering

•Å blande sammen $\sigma$ (spredning mellom enheter) og $SE$ (usikkerhet i estimatet).
•Å tro at forventningsretthet betyr at estimatet er riktig i det utvalget du har. Det gjelder i gjennomsnitt over utvalg.
•Å glemme å kvadrere konstanten: $\mathrm{Var}(3\hat\theta)=9\mathrm{Var}(\hat\theta)$.
•Å anta at $E(g(\hat\theta))=g(E(\hat\theta))$ for ikke-lineære $g$. $\exp(\bar X)$ er ikke forventningsrett for $\exp(\mu)$.
•Å sette $n$ i stedet for $n-1$ i utvalgsvariansen. Med $n$ blir estimatoren skjev nedover.

Korrelasjon

•Å tolke $\rho=0$ som uavhengighet. Korrelasjonen fanger bare lineær samvariasjon.
•Å tolke kovariansen som et styrkemål. Den avhenger av måleenhetene; bare korrelasjonen er sammenlignbar.
•Å tro at høy $r$ betyr god prediksjon i et lite utvalg. Med $n=8$ er $r$ svært usikkert.
•Å sammenligne «avkastning» mellom grupper ved å sammenligne $r$. $r$ måler tetthet rundt en linje, ikke linjens bratthet.
•Å tolke en høy korrelasjon mellom to tidsserier som en sammenheng. Felles trend gir høy $r$ mellom vilkårlige serier.

Eksamenstips

Sannsynlighetsregning

•Definer hendelsene med tydelige symboler før du regner. Halvparten av feilene på denne oppgavetypen skyldes at man mister oversikten over hva som er betinget på hva.
•Sett opp en 2x2-tabell (eller 2x3) med simultansannsynligheter når oppgaven gir deg betingede sannsynligheter. Da leser du av alle marginaler og snitt direkte.
•Sannsynlighetsoppgaven er som regel den mest overkommelige på settet, og teller typisk 20–25 %. Gjør den ferdig først.
•Når oppgaven ber deg «vise at hendelsene ikke er uavhengige», er det nok å finne én celle der $P(A\cap B)\neq P(A)P(B)$.
•Nyere eksamener ber ofte om at du beskriver en simulering i R i stedet for å regne analytisk. Da skal du forklare hvert steg i algoritmen — koden trenger ikke være perfekt.

Fordelinger

•Første spørsmål på fordelingsoppgaven er nesten alltid «hvilken fordeling har X?». Svar med navn OG parametre, og nevn kort hvilke forutsetninger som ligger bak.
•Oppgaven «diskuter kort hva det innebærer å forutsette at X er Poisson-fordelt» går igjen. Svar: hendelser inntreffer uavhengig av hverandre, med konstant rate over tid, og to hendelser kan ikke skje samtidig.
•Merk deg at N(mu, sigma^2) oppgir variansen. Standardiser med kvadratroten.
•Er utvalget stort og p liten, kan binomisk tilnærmes med Poisson; er np og n(1-p) store, kan den tilnærmes med normalfordelingen. Eksamen gir ofte valget mellom tabell og R.
•Både normaltabell og Poisson-tabell har vært vedlagt oppgavesettene. Fra 2021 er R kalkulatoren, og pbinom/ppois/pnorm gir eksakte svar — oppgi gjerne begge veier.

Konfidensintervaller

•Oppgaveteksten sier nesten alltid «vær klar på hvilke forutsetninger du gjør». Nevn eksplisitt: tilfeldig utvalg, uavhengige observasjoner, og hvorfor estimatoren er tilnærmet normalfordelt (sentralgrenseteoremet eller normalitetsantakelse).
•Oppgi ALLTID en tolkning av intervallet. Riktig formulering: prosedyren dekker den sanne parameteren i (1-alfa) av gjentatte utvalg.
•Merk deg uvanlige konfidensnivåer. Eksamen har brukt 85 % og 90 % — da må du finne riktig kvantil, ikke bruke 1,96 automatisk.
•Når oppgaven gir deg en R-utskrift med qnorm og qt for flere nivåer, er det en peker på hvilken fordeling og hvilket nivå du skal bruke. Velg bevisst og begrunn.
•Sjekk sammenhengen med testen: et 95 %-intervall som utelukker nullverdien svarer til p<0,05.

Hypotesetesting

•Følg alltid de fem stegene eksplisitt: (1) hypoteser med notasjon forklart, (2) forutsetninger, (3) testobservator med tall, (4) kritisk verdi eller p-verdi, (5) konklusjon i ord knyttet til konteksten.
•Signifikansnivået varierer mellom oppgaver: 1 %, 5 % og 10 % er alle brukt, og noen oppgaver sier «velg selv». Velger du selv, si hvorfor.
•Spørsmålet «er p-verdien en stokastisk variabel?» har kommet flere ganger. Svar: ja, den er en funksjon av dataene, og under H0 er den uniformt fordelt på intervallet fra 0 til 1.
•Simulering av teststyrke i R har kommet flere ganger. Husk at kritisk grense beregnes under H0, mens dataene trekkes under den sanne verdien.
•Når du tester en andel, bruk p0 i nevneren av testobservatoren (testen betinger på H0), men p-hat i konfidensintervallet.

Deskriptiv statistikk og R

•R er kalkulatoren på eksamen fra og med 2021 — personlige kalkulatorer er ikke tillatt. I 13 av de 14 settene fra 2018 til 2026 finnes R-kode eller R-utskrift.
•Når du blir bedt om å «oppgi R-kode», teller en presis algoritme i pseudokode nesten like mye. Forklar hvert steg.
•Oppgaver om figurer sier ofte «det vil ikke være mulig å lime figuren inn i Inspera». Da skal du beskrive hva figuren viser med ord, ikke bare oppgi koden.
•summary()- og quantile()-utskrifter gis ofte som utgangspunkt for en test. Trekk ut det du trenger (mean, var, n) og gå videre til SE.
•Husk at rnorm tar standardavvik, ikke varians, og bruk alltid set.seed.

Hypotesetesting for to grupper

•Dette er den mest sannsynlige oppgavetypen på hele settet: i 11 av 14 sett fra 2018 til 2026 finnes en tougruppesammenligning.
•Avgjør først om utvalgene er store (bruk z) eller små med ukjent varians (bruk poolet t). Begrunn valget eksplisitt — det er selve poenget med spørsmålet.
•Test og konfidensintervall bruker ULIK standardfeil for to andeler. Testen pooler, intervallet gjør det ikke.
•Oppgaven ber ofte om kausal drøfting til slutt: «kan vi konkludere at X forårsaker Y?» Svar nei med mindre tildelingen er randomisert, og pek på seleksjon som alternativ forklaring.
•Fra 2021 kan du bruke R direkte: t.test(x, y, var.equal = TRUE) for poolet test. Oppgi gjerne både kommandoen og den manuelle regningen.

Regneregler for stokastiske variabler

•Denne oppgavetypen har vært en hel oppgave verdt 20–40 % flere ganger (Z=aX+bY i 2021, C=2A+B i 2023, vektet andelsestimator i 2024, differanseestimator i 2025 og 2026).
•Framgangsmåten er alltid tredelt: (1) sett opp E og krev at den er lik parameteren — det gir én ligning mellom vektene; (2) sett opp Var; (3) sett inn bindingen og deriver med hensyn på den frie vekten.
•Skriv alltid eksplisitt om du bruker uavhengighet. Får du bruk for at kovariansleddet er null, må du si hvorfor.
•Sjekk svaret ditt med et grensetilfelle: setter du alle vekter på én kilde, skal formelen redusere til den enkle variansen for den kilden.
•Oppgaven sier ofte «du kan ta for gitt at uttrykket er konvekst». Da slipper du å sjekke andrederiverten, men si at du bruker premisset.

Sentralgrenseteoremet

•Den vanligste formuleringen er «forklar kort hvorfor du kan bruke tilnærmingen». Svar: estimatoren er et gjennomsnitt (eller en sum) av mange uavhengige variabler med endelig varians, og sentralgrenseteoremet gir da tilnærmet normalfordeling.
•Merk hva som skal være normalfordelt: fordelingen til ESTIMATOREN, ikke til dataene. Data kan være svært skjeve.
•Med små utvalg må du derimot anta at dataene selv er normalfordelte. Eksamen tester ofte grensen: «en venn sier at med n=60 trenger du ikke anta normalfordeling — stemmer det?»
•Oppgi alltid både forventning og varians i tilnærmingen, ikke bare «tilnærmet normalfordelt».
•For andeler bruker du at p-hat er et gjennomsnitt av n uavhengige 0/1-variabler. Da følger normaltilnærmingen av samme argument.

Estimering

•Spørsmålet «vis at estimatoren er forventningsrett og forklar hva det betyr» går igjen på nesten hvert sett. Vis regningen OG gi tolkningen med ord: i gjennomsnitt over gjentatte utvalg treffer estimatoren parameteren.
•Standardfeilen skal nesten alltid oppgis sammen med estimatet. Forklar også hva den er: standardavviket til estimatoren, altså hvor mye estimatet typisk varierer fra utvalg til utvalg.
•Når oppgaven gir deg en modell (for eksempel forventet profitt som funksjon av p) og ber deg estimere en avledet størrelse, er oppskriften: løs modellen for parameteren, sett inn den forventningsrette estimatoren, og bruk regnereglene for E og Var.
•Har du to forventningsrette kandidater, er variansen kriteriet. Har du én skjev og én forventningsrett, må du drøfte avveiningen.
•Maksimum likelihood, momentmetoden og Cramér-Rao er IKKE testet på noe ECON2130-sett i arkivet. Prioriter regnereglene i stedet.

Korrelasjon

•Korrelasjon er et mindre tema målt i vekt (4 av 14 sett fra 2018), men det er eksplisitt nevnt i emnets læringsutbytte: å kunne skille korrelasjon fra kausalitet.
•Den formen som faktisk testes er (a) cor() i R med tolkning, og (b) drøfting av om en sammenheng kan tolkes kausalt. Ren korrelasjonsteori er mindre viktig.
•Ved kausale spørsmål: nevn konkret hvilken bakenforliggende variabel eller seleksjonsmekanisme som kan forklare sammenhengen. Generelle formuleringer gir lite uttelling.
•Bruk gjerne kontrafaktisk språk: «vi observerer ikke hva de som valgte X ville oppnådd uten X».
•Enkel og multippel regresjon er IKKE testet på noe ECON2130-sett siden 2014. Regresjon hører til ECON3150/Statistikk 2 — bruk ikke tid på det her.