Studieguide for ECON2130 Statistikk for økonomer

Oversikt

Sannsynlighetsregning er det temaet som alltid dukker opp på ECON2130-eksamen. I hvert av oppgavesettene fra 2018 til 2026 finner vi en hel oppgave viet grunnleggende sannsynlighetsregning, typisk med vekt 20–25 %. Oppgavene er nesten alltid satt i en konkret kontekst: trekking av deltakere til dopingtest, kortstokker, terningkast, sammenhengen mellom utdanning og sysselsetting, eller sannsynligheten for konkurs i et selskap. Formen veksler mellom ren utregning, kort forklaring med ord, og beskrivelse av en simulering i R.

Grunnleggende regneregler

Betinget sannsynlighet er definert som

$$P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)},\qquad P(B)>0.$$

Dette er selve arbeidshesten i temaet. Snur du på definisjonen, får du multiplikasjonsregelen:

$$P(A\cap B)=P(A\mid B)\cdot P(B)=P(B\mid A)\cdot P(A).$$

Addisjonsloven (inklusjon–eksklusjon) håndterer «eller»:

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).$$

Grunnen til at vi trekker fra snittet, er at utfallene som ligger i både $A$ og $B$ ellers blir talt to ganger. Er hendelsene disjunkte, er $P(A\cap B)=0$, og leddet forsvinner.

Komplementregelen er ofte den raskeste veien: $P(A^{c})=1-P(A)$. Skal du finne «minst én», er det nesten alltid enklere å regne ut «ingen» og trekke fra 1.

Loven om total sannsynlighet

Når du kjenner de betingede sannsynlighetene, men vil ha den ubetingede, deler du opp i tilfeller:

$$P(A)=P(A\mid B)P(B)+P(A\mid B^{c})P(B^{c}).$$

Gjennomregnet eksempel. I en gruppe har 40 % høyere utdanning. Blant dem med høyere utdanning er 90 % sysselsatt; blant dem uten er 60 % sysselsatt. Hvor stor andel av hele gruppen er sysselsatt?

La $U$ = «har høyere utdanning» og $S$ = «sysselsatt». Vi har $P(U)=0{,}40$, $P(U^{c})=0{,}60$, $P(S\mid U)=0{,}90$ og $P(S\mid U^{c})=0{,}60$. Da er

$$P(S)=0{,}90\cdot 0{,}40+0{,}60\cdot 0{,}60=0{,}36+0{,}36=0{,}72.$$

Altså 72 % av gruppen er sysselsatt.

Bayes formel

Bayes formel snur betingingen:

$$P(U\mid S)=\frac{P(S\mid U)P(U)}{P(S)}.$$

Vi fortsetter eksempelet over:

$$P(U\mid S)=\frac{0{,}90\cdot 0{,}40}{0{,}72}=\frac{0{,}36}{0{,}72}=0{,}50.$$

Tolkning med ord: blant de sysselsatte har halvparten høyere utdanning. Selv om bare 40 % av hele gruppen har høyere utdanning, er andelen høyere blant de sysselsatte — fordi sannsynligheten for å være sysselsatt er større for dem med utdanning. Eksamen ber nesten alltid om en slik tolkning i tillegg til tallet.

Simultantabellen. Det mest robuste grepet er å fylle ut alle fire kombinasjonene:

$$P(U\cap S)=0{,}90\cdot 0{,}40=0{,}36,\qquad P(U\cap S^{c})=0{,}10\cdot 0{,}40=0{,}04,$$ $$P(U^{c}\cap S)=0{,}60\cdot 0{,}60=0{,}36,\qquad P(U^{c}\cap S^{c})=0{,}40\cdot 0{,}60=0{,}24.$$

Summen er 1, og marginalene stemmer med utgangspunktet. Med tabellen på plass kan du lese av enhver betinget, marginal eller simultan sannsynlighet uten å regne på nytt.

Uavhengighet

To hendelser er uavhengige når kjennskap til den ene ikke endrer sannsynligheten for den andre. Alle tre formuleringene under er ekvivalente:

$$P(A\cap B)=P(A)P(B), \qquad P(A\mid B)=P(A), \qquad P(B\mid A)=P(B).$$

Eksempel. Et land har 60 % kvinner blant studentene, men bare 20 % kvinner blant realfagstudentene, og 30 % av studentmassen studerer realfag. Er «kvinne» og «realfag» uavhengige? Vi har $P(\text{kvinne}\mid\text{realfag})=0{,}20$, men $P(\text{kvinne})=0{,}60$. Siden $0{,}20\neq 0{,}60$, er hendelsene ikke uavhengige. Alternativt: $P(\text{kvinne}\cap\text{realfag})=0{,}20\cdot 0{,}30=0{,}06$, mens $P(\text{kvinne})P(\text{realfag})=0{,}60\cdot 0{,}30=0{,}18$.

Merk at uavhengighet er en modellantakelse du gjør, ikke noe du leser ut av naturen. Eksamen spør ofte «diskuter kort om det er rimelig å anta uavhengighet» — da skal du peke på en konkret mekanisme som eventuelt bryter antakelsen (samme værforhold, samme husholdning, sesongvariasjon).

Kombinatorikk og trekking uten tilbakelegging

Antall måter å velge $k$ objekter av $n$ uten at rekkefølgen betyr noe:

$$\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\,(n-k)!}.$$

Eksempel. En komité på 4 trekkes tilfeldig fra 20 kandidater, hvorav 10 kvinner og 10 menn. Antall mulige komiteer er $\binom{20}{4}=4845$. Sannsynligheten for like mange kvinner og menn er

$$P(2\text{ kvinner})=\frac{\binom{10}{2}\binom{10}{2}}{\binom{20}{4}}=\frac{45\cdot 45}{4845}=\frac{2025}{4845}=0{,}4180.$$

Dette er den hypergeometriske modellen: trekking uten tilbakelegging fra en endelig populasjon delt i to grupper.

Symmetriargumentet er ofte raskere enn kombinatorikk. Trekkes 10 av 45 deltakere tilfeldig ut til dopingtest, er sannsynligheten for at en gitt deltaker blir trukket rett og slett $10/45=2/9$ — uansett hvilken plass i rekkefølgen vi ser på. Alle deltakerne er likestilte, så hver har samme sannsynlighet.

Når eksamen ber om simulering

Flere av de nyere oppgavene er formulert som «beskriv hvordan du vil lage en simulering i R som finner denne sannsynligheten». Da forventes ikke feilfri kode, men en presis algoritme. Skjelettet er alltid det samme:

set.seed(2130)
M <- 100000
treff <- replicate(M, {
  utfall <- sample(1:45, size = 10, replace = FALSE)  # trekk uten tilbakelegging
  sum(utfall <= 4) >= 2                                # er hendelsen oppfylt?
})
mean(treff)

Fem steg: (1) fest tilfeldighetsgeneratoren; (2) simuler ett utfall av eksperimentet; (3) sjekk om hendelsen inntraff; (4) gjenta mange ganger; (5) ta gjennomsnittet av 0/1-utfallene, som er den estimerte sannsynligheten. Skal du simulere en betinget sannsynlighet, beholder du bare gjentakelsene der betingelsen er oppfylt, og regner andelen blant disse.