ECON2130 · UiO

Studieguide for ECON2130 Statistikk for økonomer

Komplett pensumoversikt for statistikk for økonomer ved UiO — med forklaringer, sentrale begreper, eksamenstips og vanlige fallgruver. Eksamensoptimalisert basert på tidligere eksamener.

Introduksjon

ECON2130 Statistikk for økonomer (tidligere «Statistikk 1») er grunnkurset i sannsynlighet og statistikk for samfunnsøkonomer ved Universitetet i Oslo. Emnet undervises og har eksamen om våren.

Eksamen er skriftlig og varer 3 timer. Alle 31 forsidene fra 2003 til 2019 i arkivet oppgir 3 timer, og emnesiden sier det samme. Det er åpen bok: alle trykte og skrevne hjelpemidler, og R som kalkulator i Inspera. Egen kalkulator er ikke lov. I 6 av de 11 settene fra 2021 leser du inn en datafil i R. Settene har som regel 3 oppgaver med oppgitt vekt (fra 10 til 50 % per oppgave) og 12–19 deloppgaver.

Guiden bygger på 45 eksamenssett fra 2003 til 2026 og UiOs sensorveiledninger og løsningsforslag. Hver deloppgave i settene er lest og klassifisert. Tallene «i $n$ av 15 sett» gjelder settene 2018–2026, som har dagens form. Andel av poengene 2018–2026, etter hovedtema:

Sannsynlighetsregning 21 % · Fordelinger 17 % · R og deskriptiv statistikk 13 % · Hypotesetesting 12 % · To grupper 12 %
Estimering 8 % · Konfidensintervaller 8 % · Sentralgrenseteoremet 5 % · Regneregler 4 % · Korrelasjon under 1 %

Eksamen endret seg i 2018. R-kode fantes ikke i noen av de 30 settene 2003–2017, men står i alle 15 sett fra 2018 (du skriver selv kode i 14; V2020 ber deg lese kode), og simulering i 12. Sammenligning av to grupper økte fra 7 av 30 til 13 av 15 sett. Regresjon forsvant; den kom sist i V2014-utsatt. Heltallskorreksjon står i 7 av 30 sett 2003–2017 og kreves ikke lenger, men sensorveiledningen for V2026-utsatt bruker den som kontroll.

Dette kommer ikke: regresjonsanalyse, sannsynlighetsmaksimering, momentmetoden, Cramér–Rao, eksponential- og F-fordeling, test av korrelasjonskoeffisienten og rangkorrelasjon. Ingen av dem er spurt om i noe sett fra 2015.

Sannsynlighetsregning

Eksamensrelevant

Total sannsynlighet og Bayes, sannsynligheter fra tre oppgitte, uavhengighet, trekking uten tilbakelegging og simulering i R. Med i alle 15 sett fra 2018, rundt 21 % av poengene.

Hva eksamen spør om

Sannsynlighetsregning er med i alle 45 eksamenssettene fra 2003 til 2026. I de 15 settene fra 2018 står temaet for rundt 21 % av poengene, fra 6 % i V2018 til 50 % i V2018-utsatt, oftest som en egen oppgave først i settet. Disse typene går igjen (tellingen gjelder de 15 settene 2018–2026):

Loven om total sannsynlighet og Bayes' regel — i 6 av 15 sett (V2019, V2020, V2021, V2023, V2025, V2026). I V2026 I fikk du to betingede andeler og marginalen, skulle finne den totale andelen, snu betingingen med Bayes, tolke svaret med ord og fylle ut alle fire kombinasjonene.
Nye sannsynligheter fra tre oppgitte — snitt, union, komplement og betinget sannsynlighet i 10 av 15 sett. V2025 oppgave 1 og V2025-utsatt oppgave 2 (20 % hver) var bygd slik: tre tall for to hendelser, finn resten.
Uavhengighet: forklar, avgjør eller vis — i 4 av 15 sett (V2021, V2023, V2025, V2025-utsatt). «Vis at hendelsene ikke er uavhengige» i V2023 krevde bare ett tallpar som ikke stemmer.
Kombinatorikk og trekking uten tilbakelegging — i 4 av 15 sett (V2018-utsatt, V2022, V2024, V2026-utsatt). I V2024 og V2026-utsatt var det kortstokk, og du kunne velge analytisk svar eller simulering.
Simuler sannsynligheten i R — i 8 av 15 sett. Sensorveiledningen for V2022 gir ingen uttelling for et teoretisk svar når oppgaven ber om simulering, og V2024 krever mange nok gjentakelser til at svaret blir presist.

I settene 2003–2017 var kombinatorikk vanligere (13 av 30 sett), og simulering fantes ikke (0 av 30).

Utfallstre med A = annonse, S = søk, K = kjøp og I = ikke kjøp: 3/10 annonse og 7/10 søk; kjøp 8/100 og 5/100; veiproduktene 0,024, 0,276, 0,035 og 0,665; kjøp totalt 0,059

Slik gjør du det

Total sannsynlighet og Bayes

Gi hendelsene korte navn og skriv opp hvert tall som en sannsynlighet: marginaler som $P(A)$ , andeler «blant» som betingede, $P(K\mid A)$ .
Del opp etter den hendelsen du kjenner marginalen til: $P(K)=P(K\mid A)P(A)+P(K\mid A^c)P(A^c)$ .
Snu betingingen med Bayes: $P(A\mid K)=P(K\mid A)P(A)/P(K)$ . Nevneren er svaret fra steg 2.
Tolk med ord. Si hva som er betinget på hva: «blant dem som kjøper, er …».
Kontroller med en 2×2-tabell: de fire snittene skal summere til 1, og radene skal gi marginalene.

Eksempel 1 (i eksamensform). En nettbutikk får 30 % av besøkene via en annonse ( $A$ ) og resten via søk. Blant besøk fra annonsen ender 8 % med kjøp ( $K$ ), blant besøk fra søk 5 %.

a) Finn sannsynligheten for at et tilfeldig besøk ender med kjøp. b) Et besøk endte med kjøp. Hva er sannsynligheten for at det kom fra annonsen? Tolk svaret. c) Er kjøp og kanal uavhengige?

Oppgitt: $P(A)=0{,}30$ , $P(A^c)=0{,}70$ , $P(K\mid A)=0{,}08$ , $P(K\mid A^c)=0{,}05$ .
Total sannsynlighet: $P(K)=$ $0{,}08\cdot 0{,}30+0{,}05\cdot 0{,}70=$ $0{,}024+0{,}035=$ $0{,}059$ .
Bayes: $P(A\mid K)=\dfrac{0{,}024}{0{,}059}=0{,}407$ .
Tolkning: 30 % av besøkene kommer fra annonsen, men blant kjøpene er andelen 41 %. Annonsebesøk kjøper oftere enn søkebesøk.
Uavhengighet ville betydd $P(K\mid A)=P(K)$ . Her er $0{,}08\neq 0{,}059$ .

Svar: a) $P(K)=0{,}059$ . b) $P(A\mid K)\approx 0{,}41$ : 41 % av kjøpene kom via annonsen. c) Nei, fordi $P(K\mid A)=0{,}08\neq P(K)=0{,}059$ .

Når du får tre sannsynligheter og skal finne resten

Skriv opp det du har, og tegn et venndiagram med fire felt: bare $A$ , $A\cap B$ , bare $B$ og utenfor begge.
Finn snittet først. Ofte er det addisjonsloven $P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cup B)$ eller multiplikasjonsregelen $P(A\cap B)=P(A\mid B)P(B)$ som gir det.
Fyll inn de fire feltene. De skal summere til 1.
Uavhengighet: sammenlign $P(A\cap B)$ med $P(A)P(B)$ og vis begge tallene.

Eksempel 2 (i eksamensform). For to hendelser er $P(A)=0{,}45$ , $P(B)=0{,}40$ og $P(A\cup B)=0{,}67$ . a) Finn $P(A\cap B)$ og $P(A^c\cap B^c)$ . b) Er $A$ og $B$ uavhengige? c) Finn $P(B\mid A)$ .

Addisjonsloven: $P(A\cap B)=0{,}45+0{,}40-0{,}67=0{,}18$ .
Komplement av unionen: $P(A^c\cap B^c)=1-P(A\cup B)=0{,}33$ .
Produktet: $P(A)P(B)=0{,}45\cdot 0{,}40=0{,}18$ , som er lik snittet.
Betinget: $P(B\mid A)=0{,}18/0{,}45=0{,}40=P(B)$ . Det bekrefter uavhengigheten.

Svar: a) $0{,}18$ og $0{,}33$ . b) Ja, fordi $P(A\cap B)=P(A)P(B)=0{,}18$ . c) $P(B\mid A)=0{,}40$ .

Venndiagram med 100 som total: bare A 27, A og B 18, bare B 22, utenfor begge 33

Trekking uten tilbakelegging — analytisk og simulert

Tell de mulige utvalgene: $\binom{N}{n}$ når rekkefølgen ikke betyr noe.
Tell de gunstige: velg $k$ blant de $K$ spesielle og $n-k$ blant de $N-K$ andre. Det gir $\binom{K}{k}\binom{N-K}{n-k}$ .
Del gunstige på mulige. «Minst én» finner du raskest via komplementet «ingen».
Skal du simulere: trekk ett utvalg med sample, sjekk om hendelsen inntraff, gjenta mange ganger og ta andelen.

Eksempel 3 (i eksamensform). En revisor vet at 7 av 40 fakturaer i en bunke har feil. Hun trekker 5 fakturaer tilfeldig uten tilbakelegging. a) Finn sannsynligheten for nøyaktig én feil i utvalget. b) Finn sannsynligheten for minst én feil. c) Hvor mange fakturaer må hun minst trekke for at sannsynligheten for å finne minst én feil skal bli over 0,95? d) Kontroller svaret i b) ved simulering, og oppgi hvor presist det simulerte svaret er.

Mulige utvalg: $\binom{40}{5}=658\,008$ .
Nøyaktig én feil: $\binom{7}{1}\binom{33}{4}=$ $7\cdot 40\,920=$ $286\,440$ , så $P(X=1)=286\,440/658\,008=0{,}435$ .
Ingen feil: $\binom{33}{5}/\binom{40}{5}=$ $237\,336/658\,008=$ $0{,}361$ . Minst én: $1-0{,}361=0{,}639$ .
Med $m$ trukne fakturaer er $P(\text{ingen feil})=\binom{33}{m}/\binom{40}{m}$ . Den er 0,0635 for $m=12$ og 0,0476 for $m=13$ (dhyper(0, 7, 33, 12:13)), så hun må trekke minst 13.
Simulering (feil = 1, resten = 0):

set.seed(2130)
bunke <- c(rep(1, 7), rep(0, 33))
treff <- replicate(100000, {
  utvalg <- sample(bunke, 5)
  sum(utvalg) >= 1
})
mean(treff)

Andelen treff er et gjennomsnitt av 100 000 uavhengige 0/1-utfall med sannsynlighet $0{,}639$ . Standardfeilen er $\sqrt{0{,}639\cdot 0{,}361/100\,000}\approx 0{,}0015$ .

Svar: a) $P(X=1)\approx 0{,}435$ . b) $P(X\ge 1)\approx 0{,}639$ . c) Minst 13 fakturaer. d) Skriptet over gir om lag 0,639 med standardfeil 0,0015.

Søylediagram over antall fakturaer med feil blant 5 trukket fra 40 med 7 feil: 0,361, 0,435, 0,174, 0,028, 0,002 og nesten 0

Her går det galt

Tallet står uten tolkning. V2026 I c ba om å «tolke med ord», og sensorveiledningen forklarer hvorfor andelen er høyere blant de sysselsatte. Et tall alene gir ikke full uttelling.
Betingingen byttes om. «8 % av annonsebesøkene kjøper» er $P(K\mid A)$ , ikke $P(A\mid K)$ . Skriv hvert tall som en sannsynlighet før du regner.
Disjunkt blir forvekslet med uavhengig. Disjunkte hendelser med positiv sannsynlighet er alltid avhengige: skjer den ene, kan ikke den andre skje.
Påstand uten tall. V2023 sier at svaret «må begrunnes for å gi uttelling». Vis $P(A\cap B)$ og $P(A)P(B)$ side om side.
For få gjentakelser eller ingen algoritme. Et skript med 20 gjentakelser gir ikke et presist svar. Beskriv stegene selv om koden har småfeil. V2023 trakk ikke for en manglende parentes da R ikke var tilgjengelig.

Nøkkelformler

• $P(A\mid B)=P(A\cap B)/P(B)$
• $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$
• $P(B)=P(B\mid A)P(A)+P(B\mid A^c)P(A^c)$ — total sannsynlighet
• $P(A\mid B)=P(B\mid A)P(A)/P(B)$ — Bayes
•Uavhengige: $P(A\cap B)=P(A)P(B)$
• $P(X=k)=\binom{K}{k}\binom{N-K}{n-k}\big/\binom{N}{n}$ — trekking uten tilbakelegging

Vanlige feil

⚠️Å bytte om $P(A\mid B)$ og $P(B\mid A)$ .
⚠️Å svare med et tall når oppgaven ber om tolkning med ord.
⚠️Å tro at disjunkte hendelser er uavhengige.
⚠️Å påstå uavhengighet uten å vise $P(A\cap B)$ og $P(A)P(B)$ .
⚠️Å simulere med for få gjentakelser.

Eksamenstips

💡Sett opp en 2×2-tabell med de fire snittene. Den gir alle marginaler og betingede sannsynligheter.
💡«Minst én» regnes raskest som $1-P(\text{ingen})$ .
💡Ber oppgaven om simulering, gir et teoretisk svar ingen uttelling (V2022). Skriv algoritmen.

Laster...

Laster…