ECON2130 · UiO

Studieguide for ECON2130 Statistikk 1

Komplett pensumoversikt for statistikk 1 ved UiO — med forklaringer, sentrale begreper, eksamenstips og vanlige fallgruver. Eksamensoptimalisert basert på tidligere eksamener.

Introduksjon

ECON2130 Statistikk 1 er et sentralt emne ved Universitetet i Oslo som gir okonomer grunnleggende verktøy i sannsynlighetsregning og statistikk. Eksamen varer typisk 3 timer, består av 3 oppgaver, og tillater godkjent kalkulator samt oppgitte R-utskrifter og tabeller. Kurset legger stor vekt på praktisk anvendelse av statistikk i økonomiske kontekster.

Pensum dekker sannsynlighetsregning (betinget sannsynlighet, uavhengighet), diskrete og kontinuerlige fordelinger (binomisk, Poisson, normalfordeling), sentralgrenseteoremet, estimering, konfidensintervaller, hypotesetesting, korrelasjon og enkel regresjon. Et særpreg ved ECON2130 sammenlignet med STK1100 er at kurset integrerer R-programmering på eksamen -- du kan bli bedt om å skrive R-kode, tolke R-utskrifter eller beskrive simuleringsalgoritmer.

Viktig: Eksamen kombinerer beregningsoppgaver med forklarings- og tolkningsoppgaver. Du må kunne forklare konsepter med egne ord (hva betyr det at en estimator er forventningsrett? hva er en Type I-feil?), gjennomføre beregninger (konfidensintervaller, testobservatorer) og tolke resultater i kontekst (hva betyr dette for en okonom?). Rene utledninger er sjeldnere enn på STK1100.

Sannsynlighetsregning

Eksamensrelevant

Grunnleggende sannsynlighetsregler, betinget sannsynlighet, uavhengighet, addisjonsloven og kombinatorikk. Dukker opp i minst en oppgave på hver eksamen.

Oversikt

Sannsynlighetsregning er det temaet som alltid dukker opp på ECON2130-eksamen. Gjennom eksamenene V2022-V2025 ser vi at en hel oppgave (typisk 20-25%) er viet grunnleggende sannsynlighetsregning. Oppgavene er satt i praktiske kontekster: OL-trekninger (V2022), kortstokker (V2023), aksjer og konkurssannsynlighet (V2024), og sannsynlighetsberegninger med gitte sannsynligheter (V2025). Noen oppgaver krever at du bruker R til simulering.

Grunnleggende regler

Betinget sannsynlighet er definert som:

$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$

Fra denne definisjonen følger multiplikasjonsregelen:

$P(A \cap B) = P(A \mid B) \cdot P(B)$

Addisjonsloven (inklusjon-eksklusjon):

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

Loven om total sannsynlighet:

$P(A) = P(A \mid B) \cdot P(B) + P(A \mid B^c) \cdot P(B^c)$

Denne er særlig nyttig når du har betingede sannsynligheter og trenger den ubetingede.

Bayes' formel

Når du kjenner $P(B \mid A)$ men vil ha $P(A \mid B)$ (snu betingingen), bruker du Bayes' formel:

$P(A \mid B) = \frac{P(B \mid A) \cdot P(A)}{P(B \mid A)P(A) + P(B \mid A^c)P(A^c)}$

Dette er en gjenganger i medisinske/diagnostiske kontekster der $P(A)$ er en lav forhandssannsynlighet (base rate). Et klassisk eksamenseksempel: en behandling virker bare i 2 % av tilfellene, en test har 80 % styrke (sannsynlighet for signifikant funn når behandlingen virker) og 5 % signifikansnivå (falskt signifikant når den ikke virker). Spørsmålet 'hvor sannsynlig er det at behandlingen faktisk virker, gitt et signifikant resultat?' løses med Bayes -- og svaret er overraskende lavt (rundt 25 %) nettopp fordi forhandssannsynligheten er så lav. Dette poenget -- at lav base rate gir mange falske positive selv med god test -- er sentralt og kommer igjen.

Uavhengighet

To hendelser A og B er uavhengige dersom:

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$

Ekvivalent: $P(A \mid B) = P(A)$ . Poenget er at informasjon om B ikke endrer sannsynligheten for A. På eksamen V2025 ble studenter bedt om a forklare hva uavhengighet betyr og deretter sjekke om to hendelser er uavhengige ved å sammenligne $P(A \cap B)$ med $P(A) \cdot P(B)$ . På V2024 ble man bedt om å vise at 'kvinne' og 'realfag' ikke er uavhengige.

Kombinatorikk og trekking uten tilbakelegging

Eksamen V2022 handlet om trekking av langrennslopere til dopingtest, og V2023 om korttrekking. Formelen for hypergeometrisk sannsynlighet er:

$P(X = k) = \frac{\binom{K}{k}\binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}$

Denne brukes når vi trekker uten tilbakelegging fra en populasjon med to typer (f.eks. norske/utenlandske lopere, spar/andre kort).

Simulering i R

Et særpreg ved ECON2130 er at du kan bli bedt om a beskrive en simuleringsalgoritme i stedet for å regne analytisk. På V2022 skulle man simulere sannsynligheten for at norske kvinner trekkes i posisjon 1, 3, 5 og 7. Prinsippet er: (1) bruk sample() for å trekke tilfeldig, (2) sjekk om betingelsen er oppfylt, (3) repeter mange ganger, (4) del antall suksesser på antall repetisjoner.

Eksempel 1: Sannsynlighetsberegning med gitte sannsynligheter (V2025)

Oppgave: A og B er hendelser med $P(B) = 0.25$ , $P(A|B) = 0.4$ , $P(A \cap B^c) = 0.6$ . Finn $P(A \cap B)$ , $P(A)$ , sjekk uavhengighet, og finn $P(A \cup B)$ og $P(B|A)$ .

Løsning:

(a) $P(A \cap B) = P(A|B) \cdot P(B) = 0.4 \cdot 0.25 = 0.1$

(b) $P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap B^c) = 0.1 + 0.6 = 0.7$

(c) Uavhengighet krever $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ . Vi har $0.1 \neq 0.7 \cdot 0.25 = 0.175$ , så A og B er ikke uavhengige.

(d) $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0.7 + 0.25 - 0.1 = 0.85$ . $P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{0.1}{0.7} \approx 0.143$ .

Eksempel 2: Kvinner og realfag (V2024)

Oppgave: 60% kvinner i studentmassen, 20% kvinner blant realfagsstudenter, 30% studerer realfag. Finn $P(K|R)$ , $P(K \cup R)$ , $P(K \cap R)$ , $P(R|K)$ . Vis at K og R ikke er uavhengige.

Løsning:

$P(K|R) = 0.20$ (oppgitt). $P(K \cap R) = P(K|R) \cdot P(R) = 0.20 \cdot 0.30 = 0.06$ . $P(K \cup R) = 0.60 + 0.30 - 0.06 = 0.84$ . $P(R|K) = \frac{0.06}{0.60} = 0.10$ .

Uavhengighetssjekk: $P(K \cap R) = 0.06 \neq P(K) \cdot P(R) = 0.60 \cdot 0.30 = 0.18$ . Hendelsene er ikke uavhengige -- a være kvinne reduserer sannsynligheten for å studere realfag.

Eksempel 3: Bayes' formel og lav base rate (diagnostisk kontekst)

Oppgave: En sjelden tilstand finnes hos 1 % av befolkningen. En test gir positivt utslag hos 90 % av de som har tilstanden (sensitivitet), men ogsa hos 8 % av de friske (falsk positiv). En tilfeldig person tester positivt. Hva er sannsynligheten for at personen faktisk har tilstanden?

Løsning: La $S$ = 'har tilstanden' og $+$ = 'tester positivt'. Vi vet $P(S) = 0.01$ , $P(+\mid S) = 0.90$ , $P(+\mid S^c) = 0.08$ . Først total sannsynlighet for positiv test:

$P(+) = P(+\mid S)P(S) + P(+\mid S^c)P(S^c) = 0.90 \cdot 0.01 + 0.08 \cdot 0.99 = 0.009 + 0.0792 = 0.0882$

Bayes: $P(S \mid +) = \frac{P(+\mid S)P(S)}{P(+)} = \frac{0.009}{0.0882} \approx 0.102$ . Bare ca. 10 % av de som tester positivt har faktisk tilstanden -- fordi base rate er så lav, dominerer de mange falske positive blant de 99 % friske. Dette er det viktige poenget oppgaven vil frem til.

Nøkkelformler

•$ $\displaystyle P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ $ (Betinget sannsynlighet)
•$ $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ $ (Addisjonsloven)
•$ $P(A) = P(A|B)P(B) + P(A|B^c)P(B^c)$ $ (Total sannsynlighet)
•Bayes: $ $\displaystyle P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B|A)P(A) + P(B|A^c)P(A^c)}$ $
•Uavhengighet: $ $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ $

Vanlige feil

⚠️Forveksle P(A|B) og P(B|A). Disse er generelt ulike -- bruk definisjonen eller Bayes for å snu betingingen.
⚠️Glemme å trekke fra P(A \cap B) i addisjonsloven, slik at du dobbeltteller.
⚠️Konkludere med uavhengighet uten å sjekke tallverdiene eksplisitt. Vis alltid at P(A \cap B) = P(A)*P(B) eller ikke.
⚠️Ved trekking uten tilbakelegging: bruke binomisk fordeling i stedet for hypergeometrisk.
⚠️Ved Bayes/base rate: glemme at en lav forhandssannsynlighet gir mange falske positive, slik at P(A|B) blir lav selv med god test.

Eksamenstips

💡Sannsynlighetsoppgaven er den enkleste på eksamen. Prioriter å lose denne ferdig først.
💡Definer alltid hendelsene med tydelige symboler for du begynner å regne.
💡Når oppgaven ber deg 'forklar hva uavhengighet betyr', gi bade den matematiske definisjonen OG en tolkning med ord.
💡Bayes-oppgaver kan løses bade med formel OG med en konkret 'tenk på 1000 personer'-tabell. Sensor godtar begge -- velg det du er tryggest på.
💡Simuleringsoppgaver: beskriv sample(), en sjekk-betingelse, en for-lokke med mange repetisjoner, og mean() til slutt.

Laster...

Laster…

Introduksjon