Fri optimering

Ved fri optimering av $f(x, y)$ uten bibetingelser bruker vi partielle deriverte for å finne kritiske punkter, og Hesse-matrisen for å klassifisere dem.

Førsteordensbetingelser (FOB):

$f_x(x, y) = 0$ og $f_y(x, y) = 0$

Løs dette likningssystemet for å finne kritiske punkter.

Andreordensbetingelser (AOB) — Hesse-matrisen:

$H = \begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{yx} & f_{yy} \end{pmatrix}$

$D = \det(H) = f_{xx} \cdot f_{yy} - (f_{xy})^2$

$D > 0$ og $f_{xx} < 0$: lokalt maksimum

$D > 0$ og $f_{xx} > 0$: lokalt minimum

$D < 0$: sadelpunkt (verken maks eller min)

$D = 0$: testen er inkonklusiv

Eksempel: Fri optimering — profittmaksimering med to produkter

$\pi(x, y) = -x^2 - 2y^2 + 4x + 8y - 10$

$\pi_x = -2x + 4 = 0 \Rightarrow x = 2$

FOB mhp. $x$

$\pi_y = -4y + 8 = 0 \Rightarrow y = 2$

FOB mhp. $y$

$\pi_{xx} = -2, \quad \pi_{yy} = -4, \quad \pi_{xy} = 0$

Beregner andrepartielle for Hesse-matrisen

$D = (-2)(-4) - 0^2 = 8 > 0$ og $\pi_{xx} = -2 < 0$

AOB: $D > 0$ og $f_{xx} < 0$ → lokalt maksimum

$\pi(2, 2) = -4 - 8 + 8 + 16 - 10 = 2$

Maksimal profitt er 2 ved $x = 2$, $y = 2$

Eksempel: Fri optimering med sadelpunkt

$f(x, y) = x^2 - y^2 + 4x - 6y$. Klassifiser det stasjonære punktet.

$f_x = 2x + 4 = 0 \Rightarrow x = -2$

FOB mhp. $x$

$f_y = -2y - 6 = 0 \Rightarrow y = -3$

FOB mhp. $y$

$f_{xx} = 2, \quad f_{yy} = -2, \quad f_{xy} = 0$

Andrepartielle deriverte

$D = 2 \cdot (-2) - 0^2 = -4 < 0$

$D < 0$ → sadelpunkt — verken maks eller min

Lagrange-optimering

Når vi har en bibetingelse bruker vi Lagranges metode. Typisk: maksimer nytte $U(x,y)$ gitt budsjettbetingelsen $p_x x + p_y y = m$.

Lagranges metode — fremgangsmåte:

Optimer $f(x, y)$ gitt $g(x, y) = c$.

1. Sett opp Lagrangefunksjonen: $\mathcal{L}(x, y, \lambda) = f(x, y) - \lambda(g(x, y) - c)$

2. Finn FOB:

$\mathcal{L}_x = f_x - \lambda g_x = 0 \quad (1)$

$\mathcal{L}_y = f_y - \lambda g_y = 0 \quad (2)$

$\mathcal{L}_\lambda = -(g(x,y) - c) = 0 \quad (3)$

3. Fra (1) og (2): $\frac{f_x}{g_x} = \frac{f_y}{g_y} = \lambda$

4. Bruk (3) til å bestemme løsningen

Eksempel: Nyttemaksimering med budsjettbetingelse

Maksimer $U(x, y) = x^{0{,}5}y^{0{,}5}$ gitt $2x + 4y = 100$.

$\mathcal{L} = x^{0{,}5}y^{0{,}5} - \lambda(2x + 4y - 100)$

Lagrangefunksjonen

$\mathcal{L}_x = 0{,}5x^{-0{,}5}y^{0{,}5} - 2\lambda = 0 \quad (1)$

FOB mhp. $x$

$\mathcal{L}_y = 0{,}5x^{0{,}5}y^{-0{,}5} - 4\lambda = 0 \quad (2)$

FOB mhp. $y$

$(1): \lambda = \frac{0{,}5x^{-0{,}5}y^{0{,}5}}{2}, \quad (2): \lambda = \frac{0{,}5x^{0{,}5}y^{-0{,}5}}{4}$

Uttrykker $\lambda$ fra begge likninger

$\frac{y^{0{,}5}}{2x^{0{,}5}} = \frac{x^{0{,}5}}{4y^{0{,}5}} \Rightarrow 4y = 2x \Rightarrow y = \frac{x}{2}$

Setter uttrykkene for $\lambda$ lik hverandre

$2x + 4 \cdot \frac{x}{2} = 100 \Rightarrow 4x = 100 \Rightarrow x = 25$

Setter $y = x/2$ inn i budsjettbetingelsen

$y = 12{,}5$

Optimal løsning: $(x^*, y^*) = (25, 12{,}5)$

Eksempel: Kostnadsminimering med produksjonskrav

Minimer $C(K, L) = 4K + 2L$ gitt $Q(K, L) = K^{0{,}5}L^{0{,}5} = 10$.

$\mathcal{L} = 4K + 2L - \lambda(K^{0{,}5}L^{0{,}5} - 10)$

Lagrangefunksjonen — minimerer kostnad gitt produksjon

$\mathcal{L}_K = 4 - \lambda \cdot 0{,}5K^{-0{,}5}L^{0{,}5} = 0 \quad (1)$

FOB mhp. $K$

$\mathcal{L}_L = 2 - \lambda \cdot 0{,}5K^{0{,}5}L^{-0{,}5} = 0 \quad (2)$

FOB mhp. $L$

$(1)/(2): \frac{4}{2} = \frac{L}{K} \Rightarrow L = 2K$

Dividerer likning (1) på (2)

$K^{0{,}5}(2K)^{0{,}5} = 10 \Rightarrow K\sqrt{2} = 10 \Rightarrow K = \frac{10}{\sqrt{2}} \approx 7{,}07$

Setter $L = 2K$ inn i bibetingelsen

$L = 2 \cdot \frac{10}{\sqrt{2}} = 10\sqrt{2} \approx 14{,}14$

Optimal innsatskombinasjon

$C^* = 4 \cdot 7{,}07 + 2 \cdot 14{,}14 \approx 56{,}57$

Minimal kostnad for å produsere 10 enheter

Tolkning av $\lambda$ (skyggeprisen):

$\lambda$ angir den tilnærmede endringen i optimalverdien av $f$ dersom høyresiden $c$ i bibetingelsen økes med én enhet.

Nyttemaksimering: $\lambda = \frac{\Delta U^*}{\Delta m}$ — økning i nytte per ekstra krone i budsjettet (marginalnytte av penger).

Kostnadsminimering: $\lambda = \frac{\Delta C^*}{\Delta Q}$ — økning i minimalkostnad ved krav om én enhet mer produksjon (marginalkostnad).

Eksempel: Tolkning av skyggepris

I nyttemaksimeringen over finner vi $\lambda$:

$\lambda = \frac{0{,}5 \cdot 25^{-0{,}5} \cdot 12{,}5^{0{,}5}}{2}$

Setter løsningen inn i (1)

$= \frac{0{,}5 \cdot \frac{\sqrt{12{,}5}}{\sqrt{25}}}{2} = \frac{0{,}5 \cdot \frac{\sqrt{12{,}5}}{5}}{2} \approx 0{,}0559$

Beregner $\lambda$

Tolkning: Økes budsjettet fra 100 til 101 kr, øker optimal nytte med ca. 0,056.

Nyttemaksimering — generell Cobb-Douglas

Snarvei for Cobb-Douglas-nytte:

For $U(x,y) = x^a y^b$ gitt $p_x x + p_y y = m$:

$x^* = \frac{a}{a+b} \cdot \frac{m}{p_x}$, $\quad y^* = \frac{b}{a+b} \cdot \frac{m}{p_y}$

Konsumenten bruker andel $\frac{a}{a+b}$ av budsjettet på gode $x$ og $\frac{b}{a+b}$ på gode $y$.

Eksempel: Cobb-Douglas snarvei

$U(x,y) = x^2 y^3$, $p_x = 5$, $p_y = 10$, $m = 200$.

$x^* = \frac{2}{2+3} \cdot \frac{200}{5} = \frac{2}{5} \cdot 40 = 16$

Andel $\frac{a}{a+b} = \frac{2}{5}$ av budsjettet brukes på gode $x$

$y^* = \frac{3}{2+3} \cdot \frac{200}{10} = \frac{3}{5} \cdot 20 = 12$

Andel $\frac{b}{a+b} = \frac{3}{5}$ av budsjettet brukes på gode $y$

$\text{Kontroll: } 5 \cdot 16 + 10 \cdot 12 = 80 + 120 = 200$ ✓

Budsjettbetingelsen er oppfylt

Studieguide: Optimering med flere variabler

Studieguide: Optimering med flere variabler