Matriser — kompakt notasjon for likningssystemer

Lineær algebra gir oss effektive verktøy for å løse likningssystemer som oppstår i økonomiske modeller — IS-LM-modellen, innsats-utgangsanalyse, og optimering med flere variabler.

Matriseoperasjoner:

Addisjon: $A + B$ (element for element, samme dimensjon)

Skalering: $cA$ (multipliser hvert element med $c$)

Multiplikasjon: $(AB)_{ij} = \sum_k a_{ik} b_{kj}$ (rad $i$ i $A$ ganger kolonne $j$ i $B$)

OBS: $AB \neq BA$ generelt! Rekkefølgen er viktig.

Dimensjonskrav: $A$ er $m \times n$, $B$ er $n \times p$ → $AB$ er $m \times p$.

Eksempel: Matrisemultiplikasjon

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}$

$AB = \begin{pmatrix} 1 \cdot 5 + 2 \cdot 7 & 1 \cdot 6 + 2 \cdot 8 \\ 3 \cdot 5 + 4 \cdot 7 & 3 \cdot 6 + 4 \cdot 8 \end{pmatrix}$

Rad ganger kolonne

$= \begin{pmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{pmatrix}$

Resultatet er $2 \times 2$

Determinant for $2 \times 2$-matrise:

$\det\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc$

$\det(A) \neq 0 \Leftrightarrow A$ er inverterbar $\Leftrightarrow$ systemet $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ har entydig løsning.

Determinant for $3 \times 3$-matrise:

Sarrus' regel: $\det\begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh$

Kofaktorekspansjon langs rad 1: $\det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)$

Eksempel: $3 \times 3$ determinant

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 1 & 0 & 6 \end{pmatrix}$

$\det(A) = 1(4 \cdot 6 - 5 \cdot 0) - 2(0 \cdot 6 - 5 \cdot 1) + 3(0 \cdot 0 - 4 \cdot 1)$

Kofaktorekspansjon langs rad 1

$= 1 \cdot 24 - 2 \cdot (-5) + 3 \cdot (-4) = 24 + 10 - 12 = 22$

$\det(A) = 22 \neq 0$ → matrisen er inverterbar

Invers matrise

Invers av $2 \times 2$-matrise:

$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \Rightarrow A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$

$A^{-1}$ eksisterer kun hvis $\det(A) \neq 0$.

Kontroll: $A \cdot A^{-1} = I$ (identitetsmatrisen).

Eksempel: Invers matrise og verifisering

$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$

$\det(A) = 2 \cdot 4 - 1 \cdot 3 = 5$

Beregner determinanten

$A^{-1} = \frac{1}{5}\begin{pmatrix} 4 & -1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0{,}8 & -0{,}2 \\ -0{,}6 & 0{,}4 \end{pmatrix}$

Bytter $a$ og $d$, skifter fortegn på $b$ og $c$

$AA^{-1} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 0{,}8 + 1 \cdot (-0{,}6) & \cdots \\ \cdots & \cdots \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ ✓

Verifiserer at produktet gir identitetsmatrisen

Løsning av lineære likningssystemer

Systemet $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ kan løses med:

Invers matrise: $\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}$
Cramers regel: $x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)}$, der $A_i$ er $A$ med kolonne $i$ erstattet av $\mathbf{b}$
Gauss-eliminasjon: Radoperasjoner på utvidet matrise $[A|\mathbf{b}]$

Cramers regel:

For systemet $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ med $\det(A) \neq 0$:

$x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)}$

$A_i$ = matrisen $A$ der kolonne $i$ er erstattet med $\mathbf{b}$.

Eksempel: Cramers regel ($2 \times 2$)

Løs: $2x + y = 5$, $3x + 4y = 11$.

$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, \quad \det(A) = 5$

Koeffisientmatrisen og dens determinant

$x = \frac{\det\begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 11 & 4 \end{pmatrix}}{5} = \frac{20 - 11}{5} = \frac{9}{5} = 1{,}8$

Erstatter kolonne 1 (koeffisientene til $x$) med $\mathbf{b}$

$y = \frac{\det\begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 11 \end{pmatrix}}{5} = \frac{22 - 15}{5} = \frac{7}{5} = 1{,}4$

Erstatter kolonne 2 (koeffisientene til $y$) med $\mathbf{b}$

Eksempel: Løse system med inversmatrise

Samme system: $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$. Bruk $A^{-1}$ vi fant over.

$\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b} = \begin{pmatrix} 0{,}8 & -0{,}2 \\ -0{,}6 & 0{,}4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 \\ 11 \end{pmatrix}$

Multipliserer inversmatrisen med $\mathbf{b}$

$= \begin{pmatrix} 0{,}8 \cdot 5 + (-0{,}2) \cdot 11 \\ (-0{,}6) \cdot 5 + 0{,}4 \cdot 11 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1{,}8 \\ 1{,}4 \end{pmatrix}$

Samme svar som med Cramers regel ✓

Egenverdier og egenvektorer

Egenverdier:

$A\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}$, der $\lambda$ er egenverdi og $\mathbf{v} \neq \mathbf{0}$ er egenvektor.

Finn egenverdier: $\det(A - \lambda I) = 0$ (den karakteristiske likningen).

For $2 \times 2$: $\lambda^2 - \text{tr}(A)\lambda + \det(A) = 0$, der $\text{tr}(A) = a + d$ (sporet).

Eksempel: Egenverdier

$A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$

$\det(A - \lambda I) = \det\begin{pmatrix} 3 - \lambda & 1 \\ 0 & 2 - \lambda \end{pmatrix} = 0$

Setter opp den karakteristiske likningen

$(3 - \lambda)(2 - \lambda) - 0 = 0$

Beregner determinanten

$\lambda_1 = 2, \quad \lambda_2 = 3$

Egenverdiene — begge er positive

Leontief-modellen (innsats-utgangsanalyse)

Leontief-modellen:

$\mathbf{x} = A\mathbf{x} + \mathbf{d}$, der $\mathbf{x}$ er produksjon, $A$ er teknologimatrisen, $\mathbf{d}$ er sluttleveranse.

Løsning: $\mathbf{x} = (I - A)^{-1}\mathbf{d}$

$(I - A)^{-1}$ kalles Leontief-inversen.

Eksempel: Leontief med to sektorer

$A = \begin{pmatrix} 0{,}2 & 0{,}3 \\ 0{,}4 & 0{,}1 \end{pmatrix}$, $\mathbf{d} = \begin{pmatrix} 100 \\ 200 \end{pmatrix}$

$I - A = \begin{pmatrix} 0{,}8 & -0{,}3 \\ -0{,}4 & 0{,}9 \end{pmatrix}$

Trekker teknologimatrisen fra identitetsmatrisen

$\det(I - A) = 0{,}8 \cdot 0{,}9 - (-0{,}3)(-0{,}4) = 0{,}72 - 0{,}12 = 0{,}6$

Determinanten

$(I-A)^{-1} = \frac{1}{0{,}6}\begin{pmatrix} 0{,}9 & 0{,}3 \\ 0{,}4 & 0{,}8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1{,}5 & 0{,}5 \\ 0{,}667 & 1{,}333 \end{pmatrix}$

Leontief-inversen

$\mathbf{x} = (I-A)^{-1}\mathbf{d} = \begin{pmatrix} 1{,}5 \cdot 100 + 0{,}5 \cdot 200 \\ 0{,}667 \cdot 100 + 1{,}333 \cdot 200 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 250 \\ 333 \end{pmatrix}$

Nødvendig totalproduksjon for å møte sluttleveransen

Studieguide: Lineær algebra og matriser

Studieguide: Lineær algebra og matriser