Integrasjon — det omvendte av derivasjon

Integrasjon reverserer derivasjon: gitt $f'(x)$ finner vi $f(x)$. I økonomi brukes integrasjon til å gå fra marginalfunksjoner til totalfunksjoner, og til å beregne areal (overskudd, akkumulert produksjon, etc.).

Grunnleggende integrasjonsregler:

$\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ (for $n \neq -1$)

$\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C$

$\int e^x \, dx = e^x + C$

$\int e^{ax} \, dx = \frac{1}{a}e^{ax} + C$

$\int (f(x) + g(x)) \, dx = \int f(x) \, dx + \int g(x) \, dx$

$\int k \cdot f(x) \, dx = k \int f(x) \, dx$

Eksempel: Fra marginalkostnad til totalkostnad

Marginalkostnaden er $C'(x) = 3x^2 - 4x + 5$ og faste kostnader er $C(0) = 200$.

$C(x) = \int (3x^2 - 4x + 5) \, dx$

Integrerer marginalkostnaden

$= x^3 - 2x^2 + 5x + K$

Bruker potensregelen på hvert ledd ($K$ = integrasjonskonstant)

$C(0) = 200 \Rightarrow K = 200$

Bestemmer konstanten fra initialbetingelsen

$C(x) = x^3 - 2x^2 + 5x + 200$

Totalkostnadsfunksjonen — sjekk: $C'(x) = 3x^2 - 4x + 5$ ✓

Eksempel: Integrasjon med omskriving

$\int \left(\frac{3}{\sqrt{x}} + 4e^{-2x}\right) dx$

$= \int \left(3x^{-1/2} + 4e^{-2x}\right) dx$

Omskriver $\frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-1/2}$

$= 3 \cdot \frac{x^{1/2}}{1/2} + 4 \cdot \frac{e^{-2x}}{-2} + C$

Potensregelen og eksponentialregelen

$= 6\sqrt{x} - 2e^{-2x} + C$

Forenkler

Bestemt integral

Analysens fundamentalteorem:

$\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) = \left[F(x)\right]_a^b$, der $F'(x) = f(x)$

Geometrisk tolkning: Arealet mellom $f(x)$ og $x$-aksen fra $a$ til $b$ (med fortegn).

NB: Arealet under $x$-aksen teller negativt. For totalt areal: $\int_a^b |f(x)| \, dx$.

Eksempel: Bestemt integral

$\int_1^3 (2x + e^x) \, dx$

$= \left[x^2 + e^x\right]_1^3$

Finner antiderivert

$= (9 + e^3) - (1 + e)$

Setter inn øvre og nedre grense

$= 8 + e^3 - e \approx 8 + 20{,}09 - 2{,}72 = 25{,}37$

Beregner tallverdien

Substitusjon (variabelskifte)

Substitusjonsmetoden:

Hvis integranden har formen $f(g(x)) \cdot g'(x)$, sett $u = g(x)$, $du = g'(x)\,dx$:

$\int f(g(x)) \cdot g'(x) \, dx = \int f(u) \, du$

Ved bestemt integral: bytt også grensene, $u(a)$ og $u(b)$.

Eksempel: Substitusjon

$\int 2x \cdot e^{x^2} \, dx$

$u = x^2, \quad du = 2x \, dx$

Velger substitusjon: $u$ er den indre funksjonen

$\int e^u \, du = e^u + C$

Integrerer i $u$

$= e^{x^2} + C$

Substituerer tilbake

Eksempel: Substitusjon med grensejustering

$\int_0^2 \frac{6x}{(x^2 + 1)^2} \, dx$

$u = x^2 + 1, \quad du = 2x \, dx \Rightarrow 6x \, dx = 3 \, du$

Substitusjon

$x = 0: u = 1, \quad x = 2: u = 5$

Justerer grensene

$= \int_1^5 \frac{3}{u^2} \, du = 3\int_1^5 u^{-2} \, du$

Integralet i ny variabel

$= 3\left[-u^{-1}\right]_1^5 = 3\left(-\frac{1}{5} + 1\right) = 3 \cdot \frac{4}{5} = \frac{12}{5}$

Evaluerer med de nye grensene

Delvis integrasjon

Delvis integrasjon:

$\int u \, dv = uv - \int v \, du$

Velg $u$ slik at $u'$ blir enklere, og $dv$ slik at $\int dv$ er lett å beregne.

Tommelfinger: LIATE (Logaritme, Invers, Algebraisk, Trigonometrisk, Eksponentiell) — velg $u$ fra venstre.

Eksempel: Delvis integrasjon

$\int x \cdot e^{2x} \, dx$

$u = x, \quad dv = e^{2x} \, dx$

$u$ = algebraisk (blir enklere ved derivasjon)

$du = dx, \quad v = \frac{1}{2}e^{2x}$

Deriverer $u$ og integrerer $dv$

$= x \cdot \frac{1}{2}e^{2x} - \int \frac{1}{2}e^{2x} \, dx$

Bruker formelen $uv - \int v \, du$

$= \frac{x}{2}e^{2x} - \frac{1}{4}e^{2x} + C = \frac{e^{2x}}{4}(2x - 1) + C$

Faktoriserer

Konsument- og produsentoverskudd

Konsumentoverskudd (KO):

$KO = \int_0^{x^*} D(x) \, dx - p^* \cdot x^*$

Alternativt (med invers etterspørsel $p = D^{-1}(x)$): arealet mellom etterspørselskurven og prisen.

Tolkning: Konsumentenes gevinst ved å handle — differansen mellom betalingsvilje og faktisk pris.

Produsentoverskudd (PO):

$PO = p^* \cdot x^* - \int_0^{x^*} S(x) \, dx$

Tolkning: Produsentenes gevinst — differansen mellom inntekt og variable kostnader.

Eksempel: Konsumentoverskudd

Etterspørsel: $D(x) = 50 - 2x$, likevektsmengde $x^* = 15$, likevektspris $p^* = 20$.

$KO = \int_0^{15} (50 - 2x) \, dx - 20 \cdot 15$

Setter inn i formelen

$= \left[50x - x^2\right]_0^{15} - 300$

Integrerer

$= (750 - 225) - 300 = 225$

KO = 225 — dette er arealet av trekanten over prisen under etterspørselskurven

Eksempel: Konsument- og produsentoverskudd med likevekt

Etterspørsel: $D(x) = 40 - x$. Tilbud: $S(x) = 10 + 0{,}5x$. Finn KO og PO.

$40 - x = 10 + 0{,}5x \Rightarrow 1{,}5x = 30 \Rightarrow x^* = 20$

Finner likevektsmengde: $D = S$

$p^* = 40 - 20 = 20$

Likevektspris

$KO = \int_0^{20} (40 - x) \, dx - 20 \cdot 20 = [40x - \frac{x^2}{2}]_0^{20} - 400$

Konsumentoverskudd

$= (800 - 200) - 400 = 200$

KO = 200

$PO = 20 \cdot 20 - \int_0^{20} (10 + 0{,}5x) \, dx = 400 - [10x + 0{,}25x^2]_0^{20}$

Produsentoverskudd

$= 400 - (200 + 100) = 100$

PO = 100

$\text{Totalt overskudd: } KO + PO = 200 + 100 = 300$

Samfunnsøkonomisk overskudd

Nåverdi med kontinuerlig diskontering

Nåverdi av kontinuerlig inntektsstrøm:

$PV = \int_0^T R(t) \cdot e^{-rt} \, dt$

der $R(t)$ er inntektsstrømmen og $r$ er diskonteringsrenten.

Uendelig tidshorisont: $PV = \int_0^{\infty} R(t) \cdot e^{-rt} \, dt$

Eksempel: Nåverdi med endelig horisont

Årlig inntekt $R(t) = 500$ i 10 år, med $r = 0{,}08$.

$PV = \int_0^{10} 500 e^{-0{,}08t} \, dt$

Nåverdi av konstant strøm

$= 500 \cdot \left[\frac{e^{-0{,}08t}}{-0{,}08}\right]_0^{10}$

Integrerer eksponentialfunksjonen

$= \frac{500}{0{,}08}(1 - e^{-0{,}8})$

Setter inn grensene

$= 6250(1 - 0{,}4493) = 6250 \cdot 0{,}5507 \approx 3442$

Nåverdien er ca. 3442

Uegentlige integraler

Når integrasjonsgrensene er uendelige:

$\int_a^{\infty} f(x) \, dx = \lim_{b \to \infty} \int_a^b f(x) \, dx$

Eksempel: Nåverdi av uendelig inntektsstrøm

Konstant inntektsstrøm $R = 1000$ med diskonteringsrate $r = 0{,}05$.

$PV = \int_0^{\infty} 1000 e^{-0{,}05t} \, dt$

Uegentlig integral

$= \lim_{b \to \infty} \left[\frac{1000}{-0{,}05} e^{-0{,}05t}\right]_0^b$

Integrerer og bruker grenseverdi

$= \lim_{b \to \infty} \left(-20000 e^{-0{,}05b} + 20000\right) = 20000$

$e^{-0{,}05b} \to 0$ når $b \to \infty$ — nåverdien er $\frac{R}{r} = \frac{1000}{0{,}05}$

Studieguide: Integrasjon og anvendelser