Hvorfor funksjoner er viktig

Funksjoner er det matematiske språket for å beskrive sammenhenger — mellom pris og etterspørsel, mellom innsatsfaktorer og produksjon, mellom tid og vekst. I ECON1200 bygger alt videre på en solid forståelse av funksjoner og deres egenskaper.

Grunnleggende funksjonstyper

Lineære funksjoner:

$f(x) = ax + b$, der $a$ er stigningstallet og $b$ er konstantleddet.

Stigning mellom to punkter: $a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Ettpunktsformelen: $y - y_1 = a(x - x_1)$

To punkts form: $\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}$

Eksempel: Lineær etterspørselsfunksjon

En etterspørselsfunksjon er gitt ved $D(p) = 100 - 2p$, der $p$ er prisen.

$\text{Stigning: } a = -2$

Etterspørselen synker med 2 enheter per krone prisøkning

$100 - 2p = 0 \Rightarrow p = 50$

Nullpunkt: ved pris 50 er etterspørselen null

$D(0) = 100$

Skjæring med $y$-aksen: ved pris 0 er etterspørselen 100

Eksempel: Finn lineær funksjon gjennom to punkter

En tilbudsfunksjon går gjennom $(10, 20)$ og $(30, 60)$. Finn $S(x)$.

$a = \frac{60 - 20}{30 - 10} = \frac{40}{20} = 2$

Beregner stigningstallet

$y - 20 = 2(x - 10)$

Bruker ettpunktsformelen med $(10, 20)$

$S(x) = 2x$

Tilbudsfunksjonen stiger med 2 for hver ekstra enhet

Kvadratiske funksjoner:

$f(x) = ax^2 + bx + c$

Andregradsformelen: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Diskriminanten $D = b^2 - 4ac$ avgjør antall løsninger:

$D > 0$: to reelle løsninger | $D = 0$: én dobbeltrot | $D < 0$: ingen reelle løsninger

Toppunkt/bunnpunkt: $x_T = -\frac{b}{2a}$, $y_T = f(x_T)$

$a > 0$: bunnpunkt (konveks) | $a < 0$: toppunkt (konkav)

Eksempel: Kvadratisk inntektsfunksjon

En monopolist har inntektsfunksjon $R(x) = -x^2 + 20x$. Finn maksimal inntekt.

$x_T = -\frac{20}{2 \cdot (-1)} = 10$

Bruker toppunktsformelen med $a = -1$, $b = 20$

$R(10) = -(10)^2 + 20 \cdot 10 = -100 + 200 = 100$

Maksimal inntekt er 100 ved produksjon av 10 enheter

Eksponentialfunksjoner:

$f(x) = e^x$: Naturlig eksponentialfunksjon. $f'(x) = e^x$.

$f(x) = a^x = e^{x \ln a}$ for generell base $a > 0$.

Egenskaper: $e^x > 0$ for alle $x$. Strengt voksende. $\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$.

Viktig i økonomi: Kontinuerlig rente $A(t) = A_0 e^{rt}$.

Logaritmefunksjoner:

$f(x) = \ln(x)$: Naturlig logaritme. Definert for $x > 0$. $f'(x) = \frac{1}{x}$.

Invers sammenheng: $e^{\ln x} = x$ og $\ln(e^x) = x$.

$\ln(1) = 0$ | $\ln(e) = 1$ | $\ln(x) \to -\infty$ når $x \to 0^+$

Eksempel: Eksponentiell vekst — befolkning

En befolkning vokser eksponentielt: $P(t) = P_0 e^{rt}$, der $P_0 = 1000$ og $r = 0{,}03$.

$P(10) = 1000 \cdot e^{0{,}03 \cdot 10} = 1000 \cdot e^{0{,}3}$

Setter inn $t = 10$

$\approx 1000 \cdot 1{,}3499 = 1350$

Befolkningen har vokst med ca. 35 % på 10 år

Fordobling:

$2P_0 = P_0 e^{rt} \Rightarrow 2 = e^{0{,}03t}$

Setter $P(t) = 2P_0$ og forkorter med $P_0$

$\ln 2 = 0{,}03t \Rightarrow t = \frac{\ln 2}{0{,}03} \approx 23{,}1$

Fordoblingstiden er ca. 23 år

Eksempel: Løse eksponentiallikning

Løs $5e^{2x} = 40$.

$e^{2x} = \frac{40}{5} = 8$

Deler begge sider på 5

$2x = \ln 8$

Tar $\ln$ på begge sider

$x = \frac{\ln 8}{2} = \frac{3\ln 2}{2} \approx 1{,}04$

Bruker $\ln 8 = \ln(2^3) = 3\ln 2$

Potens- og logaritmeregler:

$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ | $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ | $(a^m)^n = a^{mn}$

$a^0 = 1$ | $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ | $a^{1/n} = \sqrt[n]{a}$

$\ln(ab) = \ln a + \ln b$ | $\ln\!\left(\frac{a}{b}\right) = \ln a - \ln b$ | $\ln(a^n) = n\ln a$

Sammensatte og inverse funksjoner

Sammensatt funksjon:

$(f \circ g)(x) = f(g(x))$ — «$f$ av $g$ av $x$»

Rekkefølgen er viktig: $f(g(x)) \neq g(f(x))$ generelt.

Invers funksjon:

$f^{-1}$ er den inverse funksjonen til $f$ dersom $f(f^{-1}(x)) = x$ og $f^{-1}(f(x)) = x$.

Fremgangsmåte: Skriv $y = f(x)$, løs for $x$ uttrykt ved $y$, bytt $x$ og $y$.

Grafisk: Grafen til $f^{-1}$ er speilingen av $f$ om linjen $y = x$.

Eksempel: Invers av etterspørselsfunksjon

Etterspørsel: $D(p) = 100 - 4p$. Finn den inverse (pris som funksjon av mengde).

$q = 100 - 4p$

Skriver $q$ i stedet for $D(p)$

$4p = 100 - q$

Løser for $p$

$p = 25 - \frac{q}{4}$

Den inverse etterspørselsfunksjonen — pris som funksjon av mengde

Økonomiske funksjoner

Viktige økonomiske funksjoner:

Kostnadsfunksjon: $C(x) = F + c(x)$, der $F$ er faste kostnader og $c(x)$ er variable kostnader

Gjennomsnittskostnad: $\overline{C}(x) = \frac{C(x)}{x}$

Inntektsfunksjon: $R(x) = p \cdot x$ (frikonkurranse) eller $R(x) = p(x) \cdot x$ (monopol)

Profittfunksjon: $\pi(x) = R(x) - C(x)$

Eksempel: Kostnadsfunksjon med gjennomsnitt

$C(x) = 0{,}5x^2 + 10x + 200$. Finn gjennomsnittskostnaden og dens minimum.

$\overline{C}(x) = \frac{0{,}5x^2 + 10x + 200}{x} = 0{,}5x + 10 + \frac{200}{x}$

Deler hvert ledd på $x$

$\overline{C}'(x) = 0{,}5 - \frac{200}{x^2} = 0$

Deriverer og setter lik null

$x^2 = 400 \Rightarrow x = 20$

Gjennomsnittskostnaden er minimal ved $x = 20$

$\overline{C}(20) = 10 + 10 + 10 = 30$

Minimal gjennomsnittskostnad er 30

Funksjonsegenskaper

For å analysere en funksjon systematisk ser vi på:

Definisjonsmengde: Hvilke $x$-verdier funksjonen er definert for.
Nullpunkter: Løsninger av $f(x) = 0$.
Monotoniegenskaper: Voksende ($f'(x) > 0$) eller avtagende ($f'(x) < 0$).
Konveksitet: Konveks ($f''(x) > 0$) eller konkav ($f''(x) < 0$).
Asymptoter: Horisontale ($\lim_{x \to \pm\infty} f(x)$) og vertikale (der nevner er null).

Eksempel: Rasjonell funksjon

$f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 2}$

$\text{Definisjonsmengde: } x \neq 2$

Vertikal asymptote ved $x = 2$

$x^2 - 1 = 0 \Rightarrow x = \pm 1$

Nullpunkter

$f(x) = x + 2 + \frac{3}{x-2}$

Polynomdivisjon gir skrå asymptote $y = x + 2$

Studieguide: Funksjoner og grafer

Studieguide: Funksjoner og grafer