Funksjoner av flere variabler

I økonomi avhenger de fleste størrelser av flere variabler. Produksjon avhenger av arbeidskraft og kapital, nytte avhenger av mengden av ulike goder, og kostnader avhenger av prisene på innsatsfaktorer.

Partielle deriverte:

For $f(x, y)$:

$f_x = \frac{\partial f}{\partial x}$: deriver med hensyn på $x$, hold $y$ konstant

$f_y = \frac{\partial f}{\partial y}$: deriver med hensyn på $y$, hold $x$ konstant

Tolkning: $f_x(a, b)$ gir tilnærmet endring i $f$ når $x$ øker med 1, gitt at $y = b$.

Eksempel: Cobb-Douglas produksjonsfunksjon

$Q(K, L) = 10K^{0{,}4}L^{0{,}6}$

$Q_K = 10 \cdot 0{,}4 \cdot K^{-0{,}6}L^{0{,}6} = 4K^{-0{,}6}L^{0{,}6}$

Marginalprodukt av kapital — holder $L$ konstant

$Q_L = 10 \cdot 0{,}6 \cdot K^{0{,}4}L^{-0{,}4} = 6K^{0{,}4}L^{-0{,}4}$

Marginalprodukt av arbeid — holder $K$ konstant

Tolkning: $Q_K$ gir tilnærmet økning i produksjon ved én ekstra enhet kapital.

Eksempel: Partielle deriverte med kjerneregel

$f(x, y) = e^{2x + 3y^2}$

$f_x = e^{2x + 3y^2} \cdot 2 = 2e^{2x + 3y^2}$

Kjerneregel: indre derivert mhp. $x$ er 2 ($y$ behandles som konstant)

$f_y = e^{2x + 3y^2} \cdot 6y = 6ye^{2x + 3y^2}$

Kjerneregel: indre derivert mhp. $y$ er $6y$ ($x$ behandles som konstant)

Eksempel: Nyttefunksjon

$U(x, y) = x \cdot \ln(y) + 3y$. Finn de partielle deriverte og evaluer i $(2, 1)$.

$U_x = \ln(y)$

Deriverer mhp. $x$ — $\ln(y)$ og $3y$ behandles som konstanter

$U_y = \frac{x}{y} + 3$

Deriverer mhp. $y$ — $x$ er konstant

$U_x(2, 1) = \ln(1) = 0$

Marginalnytte av gode $x$ er 0 i dette punktet

$U_y(2, 1) = \frac{2}{1} + 3 = 5$

Marginalnytte av gode $y$ er 5 — mer av gode $y$ gir høyere nytte

Andrepartielle deriverte

Andrepartielle deriverte (fire stykker):

$f_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$: deriver $f_x$ mhp. $x$

$f_{yy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}$: deriver $f_y$ mhp. $y$

$f_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$: deriver $f_x$ mhp. $y$

$f_{yx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$: deriver $f_y$ mhp. $x$

Youngs teorem: For «pene» (to ganger kontinuerlig deriverbare) funksjoner gjelder $f_{xy} = f_{yx}$.

Eksempel: Alle andrepartielle deriverte

$f(x, y) = x^3y^2 + 2xy + y^3$

$f_x = 3x^2y^2 + 2y$

Partiell mhp. $x$

$f_y = 2x^3y + 2x + 3y^2$

Partiell mhp. $y$

$f_{xx} = 6xy^2$

Deriverer $f_x$ mhp. $x$

$f_{yy} = 2x^3 + 6y$

Deriverer $f_y$ mhp. $y$

$f_{xy} = 6x^2y + 2$

Deriverer $f_x$ mhp. $y$ — verifiser: $f_{yx} = 6x^2y + 2 = f_{xy}$ (Youngs teorem)

Gradient og totaldifferensial

Gradient:

$\nabla f(x, y) = \left(f_x, f_y\right)$

Gradienten peker i retningen med bratteste stigning.

$|\nabla f| = \sqrt{f_x^2 + f_y^2}$ gir den bratteste stigningsraten.

Totaldifferensial:

$df = f_x \, dx + f_y \, dy$

Gir den tilnærmede endringen i $f$ når $x$ endres med $dx$ og $y$ endres med $dy$.

I økonomi: Hvis $Q = f(K, L)$, så er $dQ = f_K \, dK + f_L \, dL$.

Eksempel: Totaldifferensial i produksjon

$Q(K, L) = 5K^{0{,}3}L^{0{,}7}$. Kapitalen øker fra 100 til 102 og arbeidskraft fra 200 til 198.

$Q_K = 5 \cdot 0{,}3 \cdot K^{-0{,}7}L^{0{,}7} = 1{,}5K^{-0{,}7}L^{0{,}7}$

Marginalprodukt av kapital

$Q_L = 5 \cdot 0{,}7 \cdot K^{0{,}3}L^{-0{,}3} = 3{,}5K^{0{,}3}L^{-0{,}3}$

Marginalprodukt av arbeid

$dQ \approx Q_K(100, 200) \cdot 2 + Q_L(100, 200) \cdot (-2)$

$dK = 2$, $dL = -2$

$Q_K(100, 200) = 1{,}5 \cdot 100^{-0{,}7} \cdot 200^{0{,}7} \approx 1{,}5 \cdot \frac{200^{0{,}7}}{100^{0{,}7}} = 1{,}5 \cdot 2^{0{,}7} \approx 2{,}44$

Beregner marginalprodukt av kapital i punktet

Implisitt derivasjon

Implisitt derivasjon:

Gitt $F(x, y) = c$, der $y = y(x)$ implisitt:

$\frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y}$ (forutsatt $F_y \neq 0$)

Eksempel: Implisitt derivasjon på indifferenskurve

Nyttefunksjonen $U(x, y) = x^{0{,}5}y^{0{,}5} = k$ (konstant nytte). Finn $\frac{dy}{dx}$.

$U_x = 0{,}5x^{-0{,}5}y^{0{,}5}$

Partiell mhp. $x$

$U_y = 0{,}5x^{0{,}5}y^{-0{,}5}$

Partiell mhp. $y$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{U_x}{U_y} = -\frac{0{,}5x^{-0{,}5}y^{0{,}5}}{0{,}5x^{0{,}5}y^{-0{,}5}} = -\frac{y}{x}$

MRS (marginal rate of substitution) = $\frac{y}{x}$ (absoluttverdien)

Tolkning: $\frac{dy}{dx}$ er stigningen til indifferenskurven — den marginale substitusjonsraten (MRS).

Kjerneregel for flervariabelfunksjoner

Kjerneregel i to variabler:

Hvis $z = f(x, y)$ der $x = g(t)$ og $y = h(t)$:

$\frac{dz}{dt} = f_x \cdot \frac{dx}{dt} + f_y \cdot \frac{dy}{dt}$

Tangentplan og lineær tilnærming

Tangentplanet til $z = f(x,y)$ i $(x_0, y_0)$:

$z = f(x_0, y_0) + f_x(x_0, y_0)(x - x_0) + f_y(x_0, y_0)(y - y_0)$

Lineær tilnærming: $\Delta z \approx f_x \cdot \Delta x + f_y \cdot \Delta y$

Eksempel: Lineær tilnærming

$f(x,y) = x^2y + y^2$, finn tilnærmet endring når $(x,y)$ går fra $(2, 3)$ til $(2{,}1, 2{,}9)$.

$f_x = 2xy \Rightarrow f_x(2,3) = 12$

Partiell derivert mhp. $x$ evaluert i punktet

$f_y = x^2 + 2y \Rightarrow f_y(2,3) = 10$

Partiell derivert mhp. $y$ evaluert i punktet

$\Delta z \approx 12 \cdot 0{,}1 + 10 \cdot (-0{,}1) = 1{,}2 - 1{,}0 = 0{,}2$

Tilnærmet endring

$f(2{,}1, 2{,}9) - f(2, 3) = 21{,}2 - 21 = 0{,}2$

Eksakt endring — tilnærmingen er god her

Homogene funksjoner

Homogenitet:

$f(x, y)$ er homogen av grad $k$ hvis $f(tx, ty) = t^k f(x, y)$ for alle $t > 0$.

Eulers teorem: For homogen funksjon av grad $k$: $xf_x + yf_y = kf(x,y)$.

Cobb-Douglas $Q = AK^\alpha L^\beta$: homogen av grad $\alpha + \beta$.

$\alpha + \beta = 1$: konstant skalautbytte | $> 1$: økende | $< 1$: avtakende

Eksempel: Homogenitet i Cobb-Douglas

$Q(K, L) = 10K^{0{,}4}L^{0{,}6}$. Vis at den er homogen av grad 1.

$Q(tK, tL) = 10(tK)^{0{,}4}(tL)^{0{,}6}$

Erstatter $K$ med $tK$ og $L$ med $tL$

$= 10 \cdot t^{0{,}4}K^{0{,}4} \cdot t^{0{,}6}L^{0{,}6} = t^{0{,}4+0{,}6} \cdot 10K^{0{,}4}L^{0{,}6}$

Samler $t$-leddene

$= t^1 \cdot Q(K, L)$

Homogen av grad 1 → konstant skalautbytte

Tolkning: Dobles både kapital og arbeid, dobles produksjonen.

Studieguide: Flervariabelanalyse og partielle deriverte