Dynamiske modeller

Differenslikninger beskriver hvordan en variabel utvikler seg over tid i diskrete steg. I økonomi brukes de til å modellere prisutvikling, kapitalakkumulasjon, befolkningsvekst og markedsdynamikk.

Førsteordens lineær differenslikning:

$x_{t+1} = ax_t + b$

Likevekt: $x^* = \frac{b}{1-a}$ (for $a \neq 1$) — finnes ved $x_{t+1} = x_t = x^*$

Generell løsning: $x_t = (x_0 - x^*) \cdot a^t + x^*$

Stabilitet:

$|a| < 1$: stabil (konvergerer mot $x^*$)

$|a| > 1$: ustabil (divergerer fra $x^*$)

$|a| = 1$: grensetilfelle

$a > 0$: monoton tilnærming | $a < 0$: oscillerende (svinger rundt $x^*$)

Fire typer dynamisk oppførsel:

$0 < a < 1$: monoton konvergens (stabil, glatt tilnærming til $x^*$)

$-1 < a < 0$: dempede oscillasjoner (stabil, avtagende svingninger)

$a > 1$: monoton divergens (ustabil, vokser uten grense)

$a < -1$: eksplosive oscillasjoner (ustabil, økende svingninger)

Eksempel: Fullstendig løsning av differenslikning

$x_{t+1} = 0{,}6x_t + 8$, $x_0 = 5$.

$x^* = \frac{8}{1 - 0{,}6} = \frac{8}{0{,}4} = 20$

Likevekt: $x_{t+1} = x_t = x^* \Rightarrow x^* = 0{,}6x^* + 8$

$x_t = (x_0 - x^*) \cdot a^t + x^* = (5 - 20) \cdot 0{,}6^t + 20$

Generell løsning

$x_t = -15 \cdot 0{,}6^t + 20$

$|a| = 0{,}6 < 1$ og $a > 0$: monoton konvergens mot $x^* = 20$

$x_1 = -15 \cdot 0{,}6 + 20 = 11, \quad x_2 = -15 \cdot 0{,}36 + 20 = 14{,}6$

Kontroll: $x_1 = 0{,}6 \cdot 5 + 8 = 11$ ✓

Eksempel: Cobweb-modellen (svineflytsyklusen)

Tilbud: $S_t = -5 + 2p_{t-1}$, Etterspørsel: $D_t = 40 - 3p_t$.

$S_t = D_t: \quad -5 + 2p_{t-1} = 40 - 3p_t$

Markedsklarering: tilbud = etterspørsel

$3p_t = 45 - 2p_{t-1} \Rightarrow p_t = 15 - \frac{2}{3}p_{t-1}$

Omskriver til standard differenslikning: $a = -\frac{2}{3}$, $b = 15$

$p^* = \frac{15}{1 - (-2/3)} = \frac{15}{5/3} = 9$

Likevektspris

$|a| = \frac{2}{3} < 1$, $a < 0$

Stabil og oscillerende → dempede svingninger rundt $p^* = 9$

$p_t = (p_0 - 9)\left(-\frac{2}{3}\right)^t + 9$

Generell løsning — prisen konvergerer mot 9 med dempede oscillasjoner

Andreordens differenslikninger

Andreordens lineær differenslikning:

$x_{t+2} + a_1 x_{t+1} + a_2 x_t = b$

Likevekt: $x^* = \frac{b}{1 + a_1 + a_2}$ (for $1 + a_1 + a_2 \neq 0$)

Karakteristisk likning: $r^2 + a_1 r + a_2 = 0$

To reelle røtter $r_1, r_2$: $x_t = A r_1^t + B r_2^t + x^*$

Dobbeltrot $r$: $x_t = (A + Bt) r^t + x^*$

Komplekse røtter: oscillerende løsning med amplitude $|r|^t$

Stabil hvis begge $|r_1| < 1$ og $|r_2| < 1$.

Eksempel: Andreordens differenslikning

$x_{t+2} - 5x_{t+1} + 6x_t = 0$, $x_0 = 1$, $x_1 = 4$.

$r^2 - 5r + 6 = 0 \Rightarrow (r-2)(r-3) = 0$

Karakteristisk likning

$r_1 = 2, \quad r_2 = 3$

To reelle røtter

$x_t = A \cdot 2^t + B \cdot 3^t$

Generell løsning (homogen, $x^* = 0$ siden $b = 0$)

$x_0: A + B = 1$

Initialbetingelse 1

$x_1: 2A + 3B = 4$

Initialbetingelse 2

$A = -1, \quad B = 2$

Løser likningssystemet

$x_t = -2^t + 2 \cdot 3^t$

$|r_1|, |r_2| > 1$: ustabil — løsningen divergerer

Differenslikninger i økonomisk kontekst

Eksempel: Kapitalakkumulasjon (Solow)

$K_{t+1} = (1 - \delta)K_t + I$, der $\delta = 0{,}1$ og $I = 50$.

$K_{t+1} = 0{,}9K_t + 50$

$a = 0{,}9$, $b = 50$

$K^* = \frac{50}{1 - 0{,}9} = 500$

Langsiktig kapitalbestand

$|a| = 0{,}9 < 1$, $a > 0$: monoton konvergens

Stabil — kapitalen nærmer seg 500 uten å svinge

$K_t = (K_0 - 500) \cdot 0{,}9^t + 500$

Generell løsning

$K_0 = 200: \quad K_t = -300 \cdot 0{,}9^t + 500$

Kapitalen starter på 200 og vokser monotont mot 500

Eksempel: Multiplikatormodellen

Nasjonalinntekt: $Y_{t+1} = cY_t + I_0 + G_0$, der $c = 0{,}8$ (marginal konsumtilbøyelighet), $I_0 = 100$, $G_0 = 50$.

$Y_{t+1} = 0{,}8Y_t + 150$

Førsteordens differenslikning med $a = 0{,}8$, $b = 150$

$Y^* = \frac{150}{1 - 0{,}8} = \frac{150}{0{,}2} = 750$

Likevektsinntekt — dette er multiplikatoren $\frac{1}{1-c} = 5$ ganger autonome utgifter

$|a| = 0{,}8 < 1$: stabil

Inntekten konvergerer mot 750

Tolkning: Hvis autonome utgifter øker med 10, øker $Y^*$ med $\frac{10}{0{,}2} = 50$ (multiplikatoreffekt).

Fasediagram

Fasediagram for $x_{t+1} = f(x_t)$:

1. Tegn $x_{t+1} = f(x_t)$ og 45°-linjen $x_{t+1} = x_t$.

2. Skjæringspunktet gir likevekten $x^*$.

3. Stigningen $f'(x^*)$ avgjør stabiliteten:

$|f'(x^*)| < 1$: stabil | $|f'(x^*)| > 1$: ustabil

4. Bruk «trapp-metoden» for å illustrere dynamikken:

Start i $x_0$, gå vertikalt opp til $f(x_0)$, horisontalt til 45°-linjen, gjenta.

Eksempel: Ikke-lineær differenslikning

$x_{t+1} = \sqrt{2x_t + 1}$, $x_0 = 4$. Finn likevekt og stabilitet.

$x^* = \sqrt{2x^* + 1}$

Likevekt: $x_{t+1} = x_t = x^*$

$(x^*)^2 = 2x^* + 1 \Rightarrow (x^*)^2 - 2x^* - 1 = 0$

Kvadrerer begge sider

$x^* = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$

$x^* = 1 + \sqrt{2} \approx 2{,}41$ (velger positiv løsning)

$f'(x) = \frac{1}{\sqrt{2x + 1}} \Rightarrow f'(x^*) = \frac{1}{\sqrt{2(1+\sqrt{2}) + 1}} = \frac{1}{x^*} \approx 0{,}41$

$|f'(x^*)| < 1$ → stabil likevekt

Studieguide: Differenslikninger og dynamikk