Derivasjon — det viktigste verktøyet

Derivasjon er det enkeltverktøyet du bruker mest i ECON1200. Den deriverte $f'(x)$ gir oss den momentane endringsraten — i økonomi tolket som marginalfunksjonen.

Grunnleggende derivasjonsregler:

Konstantregel: $(c)' = 0$

Potensregel: $(x^n)' = nx^{n-1}$ → f.eks. $(x^4)' = 4x^3$

Konstantfaktorregel: $(c \cdot f(x))' = c \cdot f'(x)$

Sumregel: $(f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)$

$e$-funksjon: $(e^x)' = e^x$

Logaritme: $(\ln x)' = \frac{1}{x}$

Eksempel: Grunnleggende derivasjon

Deriver $f(x) = 3x^4 - 5\sqrt{x} + \frac{2}{x^3} + \ln x$.

$f(x) = 3x^4 - 5x^{1/2} + 2x^{-3} + \ln x$

Omskriver til potensform

$f'(x) = 12x^3 - \frac{5}{2}x^{-1/2} - 6x^{-4} + \frac{1}{x}$

Bruker potensregelen på hvert ledd

$= 12x^3 - \frac{5}{2\sqrt{x}} - \frac{6}{x^4} + \frac{1}{x}$

Skriver tilbake til vanlig form

Produktregel:

$(f \cdot g)' = f' \cdot g + f \cdot g'$

Husk: «derivert av første ganger andre, pluss første ganger derivert av andre»

Kvotientregel:

$\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f' \cdot g - f \cdot g'}{g^2}$

Husk: «derivert av teller ganger nevner, minus teller ganger derivert av nevner, delt på nevner i andre»

Eksempel: Kvotientregel

Deriver $f(x) = \frac{x^2 + 1}{x - 3}$.

$f'(x) = \frac{2x \cdot (x - 3) - (x^2 + 1) \cdot 1}{(x - 3)^2}$

Kvotientregel med $u = x^2 + 1$, $v = x - 3$

$= \frac{2x^2 - 6x - x^2 - 1}{(x - 3)^2}$

Multipliserer ut telleren

$= \frac{x^2 - 6x - 1}{(x - 3)^2}$

Forenkler

Kjerneregel (chain rule):

$(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$

Spesialtilfeller:

$(e^{g(x)})' = e^{g(x)} \cdot g'(x)$ → f.eks. $(e^{3x^2})' = e^{3x^2} \cdot 6x$

$(\ln(g(x)))' = \frac{g'(x)}{g(x)}$ → f.eks. $(\ln(x^2+1))' = \frac{2x}{x^2+1}$

$((g(x))^n)' = n(g(x))^{n-1} \cdot g'(x)$ → f.eks. $((2x+1)^5)' = 5(2x+1)^4 \cdot 2$

Eksempel: Produktregel kombinert med kjerneregel

Deriver $f(x) = x^2 \cdot e^{3x}$.

$u = x^2, \quad v = e^{3x}$

Identifiserer faktorene for produktregelen

$u' = 2x, \quad v' = 3e^{3x}$

$v'$ krever kjerneregelen: ytre derivert $\cdot$ indre derivert

$f'(x) = 2x \cdot e^{3x} + x^2 \cdot 3e^{3x}$

Bruker produktregelen: $u'v + uv'$

$= xe^{3x}(2 + 3x)$

Faktoriserer ut felles faktor $xe^{3x}$

Eksempel: Kjerneregel med $\ln$

Deriver $f(x) = \ln(x^2 + 2x + 5)$.

$f'(x) = \frac{(x^2 + 2x + 5)'}{x^2 + 2x + 5}$

Kjerneregelen: $(\ln(g(x)))' = \frac{g'(x)}{g(x)}$

$= \frac{2x + 2}{x^2 + 2x + 5}$

Deriverer den indre funksjonen

Marginalanalyse

I økonomi tolkes den deriverte som en marginalfunksjon. Marginalfunksjonen angir den tilnærmede endringen i funksjonen når argumentet øker med én enhet.

Økonomisk tolkning av den deriverte:

$C'(x)$ = marginalkostnad: tilnærmet kostnad for å produsere én enhet til

$R'(x)$ = marginalinntekt: tilnærmet inntektsøkning ved salg av én enhet til

$\pi'(x)$ = marginalfortjeneste: $\pi'(x) = R'(x) - C'(x)$

Presist: $C'(x_0) \approx C(x_0 + 1) - C(x_0)$

Marginalkostnad vs. gjennomsnittskostnad:

Marginalkostnad: $C'(x)$ — kostnaden for den neste enheten

Gjennomsnittskostnad: $\overline{C}(x) = \frac{C(x)}{x}$ — kostnad per enhet i gjennomsnitt

Viktig: $\overline{C}'(x) = 0$ når $C'(x) = \overline{C}(x)$ — marginalkostnaden krysser gjennomsnittskostnaden i dens minimum.

Eksempel: Marginalanalyse for en bedrift

En bedrift har kostnadsfunksjon $C(x) = 0{,}01x^3 - 0{,}6x^2 + 15x + 100$ og selger til pris $p = 20$.

$R(x) = 20x$

Inntektsfunksjon ved fast pris

$C'(x) = 0{,}03x^2 - 1{,}2x + 15$

Marginalkostnad

$R'(x) = 20$

Marginalinntekt er lik prisen ved frikonkurranse

$R'(x) = C'(x): \quad 20 = 0{,}03x^2 - 1{,}2x + 15$

Profittmaksimering: marginalinntekt = marginalkostnad

$0{,}03x^2 - 1{,}2x - 5 = 0$

Omskriver til standardform

Eksempel: Tolkning av marginalkostnad

$C(x) = 2x^2 + 50x + 1000$. Hva koster det å produsere enhet nr. 21?

$C'(x) = 4x + 50$

Marginalkostnaden

$C'(20) = 4 \cdot 20 + 50 = 130$

Enhet nr. 21 koster tilnærmet 130 kr

$C(21) - C(20) = (2 \cdot 441 + 1050 + 1000) - (2 \cdot 400 + 1000 + 1000) = 2932 - 2800 = 132$

Eksakt endring er 132 — tilnærmingen $C'(20) = 130$ er nær

Elastisitet

Elastisiteten måler prosentvis endring i en variabel i forhold til prosentvis endring i en annen. Den er dimensjonsløs, i motsetning til den deriverte.

Priselastisitet for etterspørsel:

$\varepsilon = \frac{dD/D}{dp/p} = \frac{p}{D(p)} \cdot D'(p)$

$|\varepsilon| > 1$: elastisk etterspørsel (prisøkning gir inntektsnedgang)

$|\varepsilon| < 1$: uelastisk etterspørsel (prisøkning gir inntektsøkning)

$|\varepsilon| = 1$: enhetselastisk (inntekten er maksimal)

Sammenheng mellom elastisitet og inntekt:

$R(p) = p \cdot D(p)$

$R'(p) = D(p)(1 + \varepsilon)$

Når $\varepsilon = -1$: $R'(p) = 0$ → inntekten er maksimal.

Eksempel: Elastisitet ved en gitt pris

Etterspørsel: $D(p) = 200 - 4p$. Finn elastisiteten ved $p = 25$.

$D(25) = 200 - 4 \cdot 25 = 100$

Etterspørselen ved $p = 25$

$D'(p) = -4$

Deriverer etterspørselsfunksjonen

$\varepsilon = \frac{25}{100} \cdot (-4) = -1$

Enhetselastisk — inntekten er maksimert ved $p = 25$

Eksempel: Elastisitet for logaritmisk etterspørsel

Etterspørsel: $\ln D = 5 - 1{,}5 \ln p$. Finn elastisiteten.

$\ln D = 5 - 1{,}5 \ln p$

Log-lineær form

$\varepsilon = \frac{d(\ln D)}{d(\ln p)} = -1{,}5$

I log-lineær form er elastisiteten lik koeffisienten foran $\ln p$

$|\varepsilon| = 1{,}5 > 1$

Elastisk etterspørsel — en prisøkning på 1 % gir 1,5 % nedgang i etterspørselen

Studieguide: Derivasjon og marginalanalyse