eksamenssett
.no
Tren målrettet
Ungdomsskole/VGS
Høyskole
Ressurser
Skolenyttig
Forum
eksamenssett
.no
Tren målrettet
Ungdomsskole/VGS
Høyskole
Ressurser
Skolenyttig
Forum
eksamenssett
.no
Tren målrettet
Ungdomsskole/VGS
Høyskole
Ressurser
Skolenyttig
Forum
ECON1200
Cheat Sheet
Formler, begreper og oppsummering
Matematikk for samfunnsvitenskap
eksamenssett.no
Symboloversikt
Funksjoner og derivasjon
•
f
′
(
x
)
f'(x)
f
′
(
x
)
= derivert (også
d
y
d
x
\displaystyle \frac{dy}{dx}
d
x
d
y
) |
f
′
′
(
x
)
f''(x)
f
′′
(
x
)
= andrederivert
•
f
x
f_x
f
x
=
∂
f
∂
x
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}
∂
x
∂
f
= partiell derivert med hensyn på
x
x
x
•
f
x
x
f_{xx}
f
xx
=
∂
2
f
∂
x
2
\displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}
∂
x
2
∂
2
f
= andrepartiell derivert
Optimering
•
∇
f
\nabla f
∇
f
= gradient |
H
H
H
= Hesse-matrise |
λ
\lambda
λ
= Lagrange-multiplikator
•
Δ
x
\Delta x
Δ
x
= endring i
x
x
x
|
d
x
dx
d
x
= differensial
Integrasjon
•
∫
f
(
x
)
d
x
\displaystyle \int f(x)\,dx
∫
f
(
x
)
d
x
= ubestemt integral |
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
= bestemt integral
•
F
(
x
)
F(x)
F
(
x
)
= antiderivert |
C
C
C
= integrasjonskonstant
Lineær algebra
•
A
A
A
,
B
B
B
= matriser |
x
\mathbf{x}
x
,
b
\mathbf{b}
b
= vektorer |
I
I
I
= identitetsmatrise
•
det
(
A
)
\det(A)
det
(
A
)
=
∣
A
∣
|A|
∣
A
∣
= determinant |
A
−
1
A^{-1}
A
−
1
= invers matrise
Differenslikninger
•
x
t
x_t
x
t
= verdi i periode
t
t
t
|
x
∗
x^*
x
∗
= likevekt |
Δ
x
t
=
x
t
+
1
−
x
t
\Delta x_t = x_{t+1} - x_t
Δ
x
t
=
x
t
+
1
−
x
t
Formler
Derivasjonsregler
•
(
x
n
)
′
=
n
x
n
−
1
(x^n)' = nx^{n-1}
(
x
n
)
′
=
n
x
n
−
1
•
(
e
x
)
′
=
e
x
(e^x)' = e^x
(
e
x
)
′
=
e
x
•
(
ln
x
)
′
=
1
x
\displaystyle (\ln x)' = \frac{1}{x}
(
ln
x
)
′
=
x
1
•
(
f
g
)
′
=
f
′
g
+
f
g
′
(fg)' = f'g + fg'
(
f
g
)
′
=
f
′
g
+
f
g
′
(produktregel)
•
(
f
/
g
)
′
=
f
′
g
−
f
g
′
g
2
\displaystyle (f/g)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}
(
f
/
g
)
′
=
g
2
f
′
g
−
f
g
′
(kvotientregel)
•
(
f
(
g
(
x
)
)
)
′
=
f
′
(
g
(
x
)
)
⋅
g
′
(
x
)
(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)
(
f
(
g
(
x
))
)
′
=
f
′
(
g
(
x
))
⋅
g
′
(
x
)
(kjerneregel)
Integrasjonsregler
•
∫
x
n
d
x
=
x
n
+
1
n
+
1
+
C
\displaystyle \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C
∫
x
n
d
x
=
n
+
1
x
n
+
1
+
C
(
n
≠
−
1
n \neq -1
n
=
−
1
)
•
∫
1
x
d
x
=
ln
∣
x
∣
+
C
\displaystyle \int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C
∫
x
1
d
x
=
ln
∣
x
∣
+
C
•
∫
e
a
x
d
x
=
1
a
e
a
x
+
C
\displaystyle \int e^{ax} dx = \frac{1}{a}e^{ax} + C
∫
e
a
x
d
x
=
a
1
e
a
x
+
C
•
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
F
(
b
)
−
F
(
a
)
\displaystyle \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
F
(
b
)
−
F
(
a
)
Optimering
•
FOB:
f
′
(
x
)
=
0
f'(x) = 0
f
′
(
x
)
=
0
eller
f
x
=
f
y
=
0
f_x = f_y = 0
f
x
=
f
y
=
0
•
AOB (én var.):
f
′
′
(
x
0
)
<
0
⇒
f''(x_0) < 0 \Rightarrow
f
′′
(
x
0
)
<
0
⇒
maks,
>
0
⇒
> 0 \Rightarrow
>
0
⇒
min
•
AOB (to var.):
D
=
f
x
x
f
y
y
−
(
f
x
y
)
2
D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2
D
=
f
xx
f
yy
−
(
f
x
y
)
2
•
Lagrange:
L
=
f
(
x
,
y
)
−
λ
(
g
(
x
,
y
)
−
c
)
\mathcal{L} = f(x,y) - \lambda(g(x,y) - c)
L
=
f
(
x
,
y
)
−
λ
(
g
(
x
,
y
)
−
c
)
•
Elastisitet:
ε
=
p
D
(
p
)
⋅
D
′
(
p
)
\displaystyle \varepsilon = \frac{p}{D(p)} \cdot D'(p)
ε
=
D
(
p
)
p
⋅
D
′
(
p
)
Lineær algebra
•
det
(
a
b
c
d
)
=
a
d
−
b
c
\det\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc
det
(
a
c
b
d
)
=
a
d
−
b
c
•
A
−
1
=
1
det
(
A
)
(
d
−
b
−
c
a
)
\displaystyle A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}
A
−
1
=
det
(
A
)
1
(
d
−
c
−
b
a
)
•
Cramers regel:
x
i
=
det
(
A
i
)
det
(
A
)
\displaystyle x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)}
x
i
=
det
(
A
)
det
(
A
i
)
Differenslikninger
•
x
t
+
1
=
a
x
t
+
b
x_{t+1} = ax_t + b
x
t
+
1
=
a
x
t
+
b
:
x
∗
=
b
1
−
a
\displaystyle x^* = \frac{b}{1-a}
x
∗
=
1
−
a
b
•
Generell løsning:
x
t
=
(
x
0
−
x
∗
)
a
t
+
x
∗
x_t = (x_0 - x^*)a^t + x^*
x
t
=
(
x
0
−
x
∗
)
a
t
+
x
∗
•
Stabil hvis
∣
a
∣
<
1
|a| < 1
∣
a
∣
<
1
•
Karakteristisk likning:
r
2
+
a
1
r
+
a
2
=
0
r^2 + a_1r + a_2 = 0
r
2
+
a
1
r
+
a
2
=
0
Konsument-/produsentoverskudd
•
K
O
=
∫
0
x
∗
D
(
x
)
d
x
−
p
∗
x
∗
\displaystyle KO = \int_0^{x^*} D(x) dx - p^* x^*
K
O
=
∫
0
x
∗
D
(
x
)
d
x
−
p
∗
x
∗
•
P
O
=
p
∗
x
∗
−
∫
0
x
∗
S
(
x
)
d
x
\displaystyle PO = p^* x^* - \int_0^{x^*} S(x) dx
PO
=
p
∗
x
∗
−
∫
0
x
∗
S
(
x
)
d
x
Nøkkelformler per tema
Funksjoner og grafer
•
Lineær funksjon:
f
(
x
)
=
a
x
+
b
f(x) = ax + b
f
(
x
)
=
a
x
+
b
•
Abc-formelen:
x
=
−
b
±
b
2
−
4
a
c
2
a
\displaystyle x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
x
=
2
a
−
b
±
b
2
−
4
a
c
•
Eksponentiell vekst:
f
(
t
)
=
A
⋅
e
r
t
f(t) = A \cdot e^{rt}
f
(
t
)
=
A
⋅
e
r
t
•
Logaritmeregelen:
ln
(
a
n
)
=
n
⋅
ln
a
\ln(a^n) = n \cdot \ln a
ln
(
a
n
)
=
n
⋅
ln
a
•
Ettpunktsformelen:
y
−
y
1
=
a
(
x
−
x
1
)
y - y_1 = a(x - x_1)
y
−
y
1
=
a
(
x
−
x
1
)
•
Toppunkt:
x
T
=
−
b
2
a
\displaystyle x_T = -\frac{b}{2a}
x
T
=
−
2
a
b
•
Gjennomsnittskostnad:
C
‾
(
x
)
=
C
(
x
)
x
\displaystyle \overline{C}(x) = \frac{C(x)}{x}
C
(
x
)
=
x
C
(
x
)
•
Profittfunksjon:
π
(
x
)
=
R
(
x
)
−
C
(
x
)
\pi(x) = R(x) - C(x)
π
(
x
)
=
R
(
x
)
−
C
(
x
)
Derivasjon og marginalanalyse
•
Potensregel:
(
x
n
)
′
=
n
x
n
−
1
(x^n)' = nx^{n-1}
(
x
n
)
′
=
n
x
n
−
1
•
Produktregel:
(
f
g
)
′
=
f
′
g
+
f
g
′
(fg)' = f'g + fg'
(
f
g
)
′
=
f
′
g
+
f
g
′
•
Kvotientregel:
(
f
/
g
)
′
=
(
f
′
g
−
f
g
′
)
/
g
2
(f/g)' = (f'g - fg')/g^2
(
f
/
g
)
′
=
(
f
′
g
−
f
g
′
)
/
g
2
•
Kjerneregel:
(
f
(
g
(
x
)
)
)
′
=
f
′
(
g
(
x
)
)
⋅
g
′
(
x
)
(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)
(
f
(
g
(
x
))
)
′
=
f
′
(
g
(
x
))
⋅
g
′
(
x
)
•
(
e
g
(
x
)
)
′
=
e
g
(
x
)
⋅
g
′
(
x
)
(e^{g(x)})' = e^{g(x)} \cdot g'(x)
(
e
g
(
x
)
)
′
=
e
g
(
x
)
⋅
g
′
(
x
)
•
(
ln
(
g
(
x
)
)
)
′
=
g
′
(
x
)
g
(
x
)
\displaystyle (\ln(g(x)))' = \frac{g'(x)}{g(x)}
(
ln
(
g
(
x
))
)
′
=
g
(
x
)
g
′
(
x
)
•
Inntekt og elastisitet:
R
′
(
p
)
=
D
(
p
)
(
1
+
ε
)
R'(p) = D(p)(1 + \varepsilon)
R
′
(
p
)
=
D
(
p
)
(
1
+
ε
)
Optimering med én variabel
•
FOB:
f
′
(
x
)
=
0
f'(x) = 0
f
′
(
x
)
=
0
•
AOB:
f
′
′
(
x
0
)
<
0
f''(x_0) < 0
f
′′
(
x
0
)
<
0
→ maks,
f
′
′
(
x
0
)
>
0
f''(x_0) > 0
f
′′
(
x
0
)
>
0
→ min
•
Vendepunkt:
f
′
′
(
x
0
)
=
0
f''(x_0) = 0
f
′′
(
x
0
)
=
0
og
f
′
′
′
(
x
0
)
≠
0
f'''(x_0) \neq 0
f
′′′
(
x
0
)
=
0
•
Profittmaksimering:
R
′
(
x
)
=
C
′
(
x
)
R'(x) = C'(x)
R
′
(
x
)
=
C
′
(
x
)
•
Gjennomsnittskostnad minimum:
C
′
(
x
)
=
C
‾
(
x
)
C'(x) = \overline{C}(x)
C
′
(
x
)
=
C
(
x
)
•
Monopolist:
R
(
x
)
=
p
(
x
)
⋅
x
R(x) = p(x) \cdot x
R
(
x
)
=
p
(
x
)
⋅
x
,
R
′
(
x
)
=
C
′
(
x
)
R'(x) = C'(x)
R
′
(
x
)
=
C
′
(
x
)
Flervariabelanalyse og partielle deriverte
•
Partiell derivert:
f
x
=
∂
f
∂
x
\displaystyle f_x = \frac{\partial f}{\partial x}
f
x
=
∂
x
∂
f
•
Youngs teorem:
f
x
y
=
f
y
x
f_{xy} = f_{yx}
f
x
y
=
f
y
x
•
Gradient:
∇
f
=
(
f
x
,
f
y
)
\nabla f = (f_x, f_y)
∇
f
=
(
f
x
,
f
y
)
•
Totaldifferensial:
d
f
=
f
x
d
x
+
f
y
d
y
df = f_x \, dx + f_y \, dy
df
=
f
x
d
x
+
f
y
d
y
•
Implisitt derivasjon:
d
y
d
x
=
−
F
x
F
y
\displaystyle \frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y}
d
x
d
y
=
−
F
y
F
x
•
Kjerneregel:
d
z
d
t
=
f
x
⋅
d
x
d
t
+
f
y
⋅
d
y
d
t
\displaystyle \frac{dz}{dt} = f_x \cdot \frac{dx}{dt} + f_y \cdot \frac{dy}{dt}
d
t
d
z
=
f
x
⋅
d
t
d
x
+
f
y
⋅
d
t
d
y
•
Tangentplan:
z
=
f
(
a
,
b
)
+
f
x
(
a
,
b
)
(
x
−
a
)
+
f
y
(
a
,
b
)
(
y
−
b
)
z = f(a,b) + f_x(a,b)(x-a) + f_y(a,b)(y-b)
z
=
f
(
a
,
b
)
+
f
x
(
a
,
b
)
(
x
−
a
)
+
f
y
(
a
,
b
)
(
y
−
b
)
•
Eulers teorem:
x
f
x
+
y
f
y
=
k
f
xf_x + yf_y = kf
x
f
x
+
y
f
y
=
k
f
(homogen grad
k
k
k
)
Optimering med flere variabler
•
Hesse-determinant:
D
=
f
x
x
f
y
y
−
(
f
x
y
)
2
D = f_{xx} f_{yy} - (f_{xy})^2
D
=
f
xx
f
yy
−
(
f
x
y
)
2
•
Lagrangefunksjon:
L
=
f
(
x
,
y
)
−
λ
(
g
(
x
,
y
)
−
c
)
\mathcal{L} = f(x,y) - \lambda(g(x,y) - c)
L
=
f
(
x
,
y
)
−
λ
(
g
(
x
,
y
)
−
c
)
•
FOB fri optimering:
f
x
=
0
f_x = 0
f
x
=
0
og
f
y
=
0
f_y = 0
f
y
=
0
•
AOB:
D
>
0
,
f
x
x
<
0
D > 0, f_{xx} < 0
D
>
0
,
f
xx
<
0
→ maks;
D
>
0
,
f
x
x
>
0
D > 0, f_{xx} > 0
D
>
0
,
f
xx
>
0
→ min;
D
<
0
D < 0
D
<
0
→ sadelpunkt
•
Skyggepris:
λ
≈
Δ
f
∗
Δ
c
\displaystyle \lambda \approx \frac{\Delta f^*}{\Delta c}
λ
≈
Δ
c
Δ
f
∗
•
Cobb-Douglas snarvei:
x
∗
=
a
a
+
b
⋅
m
p
x
\displaystyle x^* = \frac{a}{a+b} \cdot \frac{m}{p_x}
x
∗
=
a
+
b
a
⋅
p
x
m
•
Lagrange-prinsipp:
f
x
g
x
=
f
y
g
y
=
λ
\displaystyle \frac{f_x}{g_x} = \frac{f_y}{g_y} = \lambda
g
x
f
x
=
g
y
f
y
=
λ
Integrasjon og anvendelser
•
Potensregel:
∫
x
n
d
x
=
x
n
+
1
n
+
1
+
C
\displaystyle \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C
∫
x
n
d
x
=
n
+
1
x
n
+
1
+
C
•
Eksponential:
∫
e
a
x
d
x
=
1
a
e
a
x
+
C
\displaystyle \int e^{ax} dx = \frac{1}{a}e^{ax} + C
∫
e
a
x
d
x
=
a
1
e
a
x
+
C
•
Logaritme:
∫
1
x
d
x
=
ln
∣
x
∣
+
C
\displaystyle \int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C
∫
x
1
d
x
=
ln
∣
x
∣
+
C
•
Fundamentalteoremet:
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
F
(
b
)
−
F
(
a
)
\displaystyle \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
F
(
b
)
−
F
(
a
)
•
Delvis integrasjon:
∫
u
d
v
=
u
v
−
∫
v
d
u
\displaystyle \int u \, dv = uv - \int v \, du
∫
u
d
v
=
uv
−
∫
v
d
u
•
Konsumentoverskudd:
K
O
=
∫
0
x
∗
D
(
x
)
d
x
−
p
∗
x
∗
\displaystyle KO = \int_0^{x^*} D(x) dx - p^* x^*
K
O
=
∫
0
x
∗
D
(
x
)
d
x
−
p
∗
x
∗
•
Produsentoverskudd:
P
O
=
p
∗
x
∗
−
∫
0
x
∗
S
(
x
)
d
x
\displaystyle PO = p^* x^* - \int_0^{x^*} S(x) dx
PO
=
p
∗
x
∗
−
∫
0
x
∗
S
(
x
)
d
x
•
Nåverdi:
P
V
=
∫
0
T
R
(
t
)
e
−
r
t
d
t
\displaystyle PV = \int_0^T R(t) e^{-rt} dt
P
V
=
∫
0
T
R
(
t
)
e
−
r
t
d
t
•
Perpetuitet:
P
V
=
R
r
\displaystyle PV = \frac{R}{r}
P
V
=
r
R
(konstant strøm for alltid)
Lineær algebra og matriser
•
Determinant
2
×
2
2 \times 2
2
×
2
:
det
(
A
)
=
a
d
−
b
c
\det(A) = ad - bc
det
(
A
)
=
a
d
−
b
c
•
Invers
2
×
2
2 \times 2
2
×
2
:
A
−
1
=
1
a
d
−
b
c
(
d
−
b
−
c
a
)
\displaystyle A^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\\ -c & a \end{pmatrix}
A
−
1
=
a
d
−
b
c
1
(
d
−
c
−
b
a
)
•
Lineært system:
A
x
=
b
⇒
x
=
A
−
1
b
A\mathbf{x} = \mathbf{b} \Rightarrow \mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}
A
x
=
b
⇒
x
=
A
−
1
b
•
Karakteristisk likning:
det
(
A
−
λ
I
)
=
0
\det(A - \lambda I) = 0
det
(
A
−
λ
I
)
=
0
•
Sporet:
tr
(
A
)
=
a
11
+
a
22
\text{tr}(A) = a_{11} + a_{22}
tr
(
A
)
=
a
11
+
a
22
•
Leontief:
x
=
(
I
−
A
)
−
1
d
\mathbf{x} = (I - A)^{-1}\mathbf{d}
x
=
(
I
−
A
)
−
1
d
Differenslikninger og dynamikk
•
Førsteordens:
x
t
=
(
x
0
−
x
∗
)
a
t
+
x
∗
x_t = (x_0 - x^*)a^t + x^*
x
t
=
(
x
0
−
x
∗
)
a
t
+
x
∗
•
Likevekt:
x
∗
=
b
1
−
a
\displaystyle x^* = \frac{b}{1-a}
x
∗
=
1
−
a
b
•
Stabilitet:
∣
a
∣
<
1
|a| < 1
∣
a
∣
<
1
→ stabil
•
Karakteristisk likning:
r
2
+
a
1
r
+
a
2
=
0
r^2 + a_1 r + a_2 = 0
r
2
+
a
1
r
+
a
2
=
0
•
Kapitalakkumulasjon:
K
t
+
1
=
(
1
−
δ
)
K
t
+
I
K_{t+1} = (1-\delta)K_t + I
K
t
+
1
=
(
1
−
δ
)
K
t
+
I
•
Multiplikator:
Y
∗
=
1
1
−
c
(
I
0
+
G
0
)
\displaystyle Y^* = \frac{1}{1-c}(I_0 + G_0)
Y
∗
=
1
−
c
1
(
I
0
+
G
0
)
•
Ikke-lineær stabilitet:
∣
f
′
(
x
∗
)
∣
<
1
|f'(x^*)| < 1
∣
f
′
(
x
∗
)
∣
<
1
→ stabil
Vanlige feil å unngå
Funksjoner og grafer
•
Glemmer at
ln
(
x
)
\ln(x)
ln
(
x
)
kun er definert for
x
>
0
x > 0
x
>
0
•
Forveksler
(
a
+
b
)
2
=
a
2
+
2
a
b
+
b
2
(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
(
a
+
b
)
2
=
a
2
+
2
ab
+
b
2
med
a
2
+
b
2
a^2 + b^2
a
2
+
b
2
•
Glemmer å sjekke definisjonsmengden ved rasjonale funksjoner
•
Blander
ln
(
a
+
b
)
\ln(a + b)
ln
(
a
+
b
)
med
ln
a
+
ln
b
\ln a + \ln b
ln
a
+
ln
b
— logaritmereglene gjelder bare for produkt og kvotient
•
Glemmer at
e
a
+
b
=
e
a
⋅
e
b
e^{a+b} = e^a \cdot e^b
e
a
+
b
=
e
a
⋅
e
b
, ikke
e
a
+
e
b
e^a + e^b
e
a
+
e
b
Derivasjon og marginalanalyse
•
Glemmer kjerneregelen:
(
e
3
x
)
′
≠
e
3
x
(e^{3x})' \neq e^{3x}
(
e
3
x
)
′
=
e
3
x
, det er
3
e
3
x
3e^{3x}
3
e
3
x
•
Bruker potensregelen på
e
x
e^x
e
x
:
(
e
x
)
′
≠
x
e
x
−
1
(e^x)' \neq xe^{x-1}
(
e
x
)
′
=
x
e
x
−
1
•
Glemmer at marginalkostnad er derivert av totalkostnad, ikke gjennomsnittskostnad
•
Tolker elastisitet som derivert — elastisitet er dimensjonsløs, derivert er det ikke
•
Glemmer å omskrive
x
\sqrt{x}
x
,
1
x
\displaystyle \frac{1}{x}
x
1
etc. til potensform før derivasjon
•
Feil rekkefølge i kvotientregelen — teller og nevner må ikke forveksles
Optimering med én variabel
•
Konkluderer med maks/min uten å sjekke AOB (andreordensbetingelsen)
•
Glemmer å sjekke endepunkter ved optimering på lukket intervall
•
Forveksler vendepunkt med ekstremalpunkt
•
Sier at
f
′
′
(
x
0
)
=
0
f''(x_0) = 0
f
′′
(
x
0
)
=
0
betyr vendepunkt — det er nødvendig, men ikke tilstrekkelig
•
Setter
C
′
(
x
)
=
0
C'(x) = 0
C
′
(
x
)
=
0
i stedet for
R
′
(
x
)
=
C
′
(
x
)
R'(x) = C'(x)
R
′
(
x
)
=
C
′
(
x
)
ved profittmaksimering
•
Glemmer at monopolistens marginalinntekt ikke er lik prisen
Flervariabelanalyse og partielle deriverte
•
Glemmer å holde den andre variabelen konstant ved partiell derivasjon
•
Forveksler
f
x
y
f_{xy}
f
x
y
(deriver først mhp.
x
x
x
, så mhp.
y
y
y
) med
f
y
x
f_{yx}
f
y
x
•
Glemmer kjerneregelen når funksjonen er sammensatt, f.eks.
e
x
y
e^{xy}
e
x
y
•
Ved implisitt derivasjon: glemmer minustegnet i
−
F
x
/
F
y
-F_x/F_y
−
F
x
/
F
y
•
Blander skalautbytte (
α
+
β
\alpha + \beta
α
+
β
) med marginalprodukt
Optimering med flere variabler
•
Glemmer fortegnet foran
λ
\lambda
λ
i Lagrangefunksjonen — vær konsekvent
•
Sjekker ikke AOB etter å ha funnet kritisk punkt ved fri optimering
•
Glemmer å tolke
λ
\lambda
λ
(skyggeprisen) — dette gir ofte poeng på eksamen
•
Blander sammen
D
>
0
D > 0
D
>
0
med maks — du må også sjekke fortegnet til
f
x
x
f_{xx}
f
xx
•
Glemmer å kontrollere at løsningen tilfredsstiller bibetingelsen
•
Setter feil fortegn i Lagrangefunksjonen — pass på
−
(
g
−
c
)
-(g - c)
−
(
g
−
c
)
Integrasjon og anvendelser
•
Glemmer integrasjonskonstanten
C
C
C
i ubestemte integraler
•
Bruker potensregelen for
n
=
−
1
n = -1
n
=
−
1
:
∫
x
−
1
d
x
=
ln
∣
x
∣
+
C
\displaystyle \int x^{-1} dx = \ln|x| + C
∫
x
−
1
d
x
=
ln
∣
x
∣
+
C
, ikke
x
0
0
\displaystyle \frac{x^0}{0}
0
x
0
•
Glemmer å justere grensene ved substitusjon i bestemte integraler
•
Glemmer å trekke fra
p
∗
⋅
x
∗
p^* \cdot x^*
p
∗
⋅
x
∗
i konsumentoverskudd-formelen
•
Feil i delvis integrasjon: velger feil
u
u
u
og
d
v
dv
d
v
•
Glemmer grenseverdiargument ved uegentlige integraler
Lineær algebra og matriser
•
Antar at
A
B
=
B
A
AB = BA
A
B
=
B
A
— matrisemultiplikasjon er IKKE kommutativ
•
Glemmer at
det
(
A
)
=
0
\det(A) = 0
det
(
A
)
=
0
betyr at
A
−
1
A^{-1}
A
−
1
ikke eksisterer
•
Regner feil rekkefølge i Cramers regel — pass på hvilken kolonne som erstattes
•
Feil fortegn i
2
×
2
2 \times 2
2
×
2
invers — husk at
b
b
b
og
c
c
c
skifter fortegn
•
Glemmer å sjekke dimensjonene ved matrisemultiplikasjon
•
I Leontief: glemmer å beregne
(
I
−
A
)
−
1
(I - A)^{-1}
(
I
−
A
)
−
1
, bruker bare
A
−
1
A^{-1}
A
−
1
Differenslikninger og dynamikk
•
Glemmer å finne likevekten
x
∗
x^*
x
∗
før den generelle løsningen
•
Forveksler stabilitetsbetingelsen: det er
∣
a
∣
<
1
|a| < 1
∣
a
∣
<
1
, ikke
a
<
1
a < 1
a
<
1
(absoluttverdien!)
•
Glemmer å bruke initialbetingelser for å bestemme konstantene
A
A
A
og
B
B
B
•
Blander diskret og kontinuerlig: differenslikninger er diskrete, differensiallikninger er kontinuerlige
•
Glemmer at
a
<
0
a < 0
a
<
0
gir oscillasjoner — dette er viktig for cobweb-modellen
•
Feil fortegn i karakteristisk likning — pass på koeffisientene
Eksamenstips
Funksjoner og grafer
•
Tegn alltid en skisse av funksjonen for å forstå oppgaven
•
Sjekk at svaret gir mening ved å sette inn tall
•
Omskriv uttrykk til potensform
x
n
x^n
x
n
før derivasjon
•
Kjenner du igjen formen? Lineær, kvadratisk, eksponentiell — identifiser funksjonstypen først
•
Ved likningsløsning: sjekk alltid om løsningen er i definisjonsmengden
Derivasjon og marginalanalyse
•
Omskriv alltid til potensform før du deriverer:
x
=
x
1
/
2
\sqrt{x} = x^{1/2}
x
=
x
1/2
,
1
x
2
=
x
−
2
\displaystyle \frac{1}{x^2} = x^{-2}
x
2
1
=
x
−
2
•
Skriv tydelig hvilken regel du bruker (sensor gir poeng for fremgangsmåte)
•
Marginalanalyse-oppgaver: start med å identifisere kostnads- og inntektsfunksjon
•
Elastisitet i log-lineær form: koeffisienten foran
ln
p
\ln p
ln
p
ER elastisiteten direkte
•
Sjekk derivasjon ved å integrere tilbake — du skal få tilbake den opprinnelige funksjonen
Optimering med én variabel
•
Skriv alltid tydelig FOB og AOB — sensor ser etter disse begrepene
•
Gi alltid en økonomisk tolkning av svaret (f.eks. «optimal produksjon er 30 enheter»)
•
Sjekk at svaret er rimelig: negativ produksjon gir ikke mening
•
Ved monopol: husk at
R
′
(
x
)
≠
p
R'(x) \neq p
R
′
(
x
)
=
p
— marginalinntekten faller raskere enn prisen
•
Vendepunkt i kostnadsfunksjon = minimum for marginalkostnad — dette er en klassisk oppgave
Flervariabelanalyse og partielle deriverte
•
Skriv alltid «holder
y
y
y
konstant» e.l. for å vise at du forstår partielle deriverte
•
Gi økonomisk tolkning av partielle deriverte (f.eks. «marginalprodukt av arbeid»)
•
Dobbeltsjekk Youngs teorem:
f
x
y
f_{xy}
f
x
y
skal bli lik
f
y
x
f_{yx}
f
y
x
•
MRS =
−
U
x
U
y
\displaystyle -\frac{U_x}{U_y}
−
U
y
U
x
— husk minustegnet for å få positiv verdi
•
Homogenitetsgrad avgjør skalautbytte — dette er en klassisk spørsmålstype
Optimering med flere variabler
•
Lagrange-oppgaver er nesten garantert på eksamen — drilloppgaver er lurt
•
Skriv alltid opp Lagrangefunksjonen eksplisitt
•
Husk å tolke
λ
\lambda
λ
: «Dersom budsjettet øker med 1 kr, øker nytten med ca.
λ
\lambda
λ
»
•
Kontroller at løsningen tilfredsstiller bibetingelsen
•
For Cobb-Douglas: bruk snarveien og vis at du kjenner den — sparer mye tid
•
Dividér FOB-likningene på hverandre for å eliminere
λ
\lambda
λ
— dette forenkler løsningen
Integrasjon og anvendelser
•
Sjekk alltid integralet ved å derivere svaret — du skal få tilbake integranden
•
Ved konsument-/produsentoverskudd: tegn grafen og skraver arealet
•
Husk at uegentlige integraler krever grenseverdiargument
•
For nåverdi med konstant strøm: snarveien er
P
V
=
R
r
(
1
−
e
−
r
T
)
\displaystyle PV = \frac{R}{r}(1 - e^{-rT})
P
V
=
r
R
(
1
−
e
−
r
T
)
•
Substitusjon: let etter en indre funksjon hvis deriverte finnes i integranden
Lineær algebra og matriser
•
Sjekk svaret ved å sette
x
\mathbf{x}
x
tilbake i
A
x
=
b
A\mathbf{x} = \mathbf{b}
A
x
=
b
•
Beregn determinanten først — hvis
det
(
A
)
=
0
\det(A) = 0
det
(
A
)
=
0
finnes ingen entydig løsning
•
For
2
×
2
2 \times 2
2
×
2
er Cramers regel oftest raskest; for
3
×
3
3 \times 3
3
×
3
vurder Gauss-eliminasjon
•
Egenverdier for
2
×
2
2 \times 2
2
×
2
: bruk
λ
2
−
tr
(
A
)
λ
+
det
(
A
)
=
0
\lambda^2 - \text{tr}(A)\lambda + \det(A) = 0
λ
2
−
tr
(
A
)
λ
+
det
(
A
)
=
0
•
Leontief: tolkning av
(
I
−
A
)
−
1
(I-A)^{-1}
(
I
−
A
)
−
1
-elementene — «effekten av økt etterspørsel i sektor
j
j
j
på produksjon i sektor
i
i
i
»
Differenslikninger og dynamikk
•
Skriv alltid opp likevekt, stabilitet og generell løsning — dette er de tre nøkkelpunktene
•
Gi økonomisk tolkning: «Prisen konvergerer mot likevektsprisen 9»
•
Tegn fasediagram eller tidsdiagram hvis oppgaven ber om det
•
Sjekk svaret: sett
t
=
0
t = 0
t
=
0
og
t
=
1
t = 1
t
=
1
inn i den generelle løsningen
•
Cobweb: identifiser
a
a
a
og sjekk
∣
a
∣
|a|
∣
a
∣
— dette avgjør om markedet stabiliserer seg
•
Forklar alltid type dynamikk: monoton vs. oscillerende, konvergens vs. divergens
ECON1200 Formelark | Eksamenssett