ECON1200

Cheat Sheet

Formler, begreper og oppsummering

Matematikk for samfunnsvitenskap

eksamenssett.no

Symboloversikt

Funksjoner og derivasjon

• $f'(x)$ = derivert (også $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ ) | $f''(x)$ = andrederivert
• $f_x$ = $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}$ = partiell derivert med hensyn på $x$
• $f_{xx}$ = $\displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$ = andrepartiell derivert

Optimering

• $\nabla f$ = gradient | $H$ = Hesse-matrise | $\lambda$ = Lagrange-multiplikator
• $\Delta x$ = endring i $x$ | $dx$ = differensial

Integrasjon

• $\displaystyle \int f(x)\,dx$ = ubestemt integral | $\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx$ = bestemt integral
• $F(x)$ = antiderivert | $C$ = integrasjonskonstant

Lineær algebra

• $A$ , $B$ = matriser | $\mathbf{x}$ , $\mathbf{b}$ = vektorer | $I$ = identitetsmatrise
• $\det(A)$ = $|A|$ = determinant | $A^{-1}$ = invers matrise

Differenslikninger

• $x_t$ = verdi i periode $t$ | $x^*$ = likevekt | $\Delta x_t = x_{t+1} - x_t$

Formler

Derivasjonsregler

• $(x^n)' = nx^{n-1}$
• $(e^x)' = e^x$
• $\displaystyle (\ln x)' = \frac{1}{x}$
• $(fg)' = f'g + fg'$ (produktregel)
• $\displaystyle (f/g)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$ (kvotientregel)
• $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$ (kjerneregel)

Integrasjonsregler

• $\displaystyle \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ ( $n \neq -1$ )
• $\displaystyle \int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C$
• $\displaystyle \int e^{ax} dx = \frac{1}{a}e^{ax} + C$
• $\displaystyle \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$

Optimering

•FOB: $f'(x) = 0$ eller $f_x = f_y = 0$
•AOB (én var.): $f''(x_0) < 0 \Rightarrow$ maks, $> 0 \Rightarrow$ min
•AOB (to var.): $D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2$
•Lagrange: $\mathcal{L} = f(x,y) - \lambda(g(x,y) - c)$
•Elastisitet: $\displaystyle \varepsilon = \frac{p}{D(p)} \cdot D'(p)$

Lineær algebra

• $\det\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc$
• $\displaystyle A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$
•Cramers regel: $\displaystyle x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)}$

Differenslikninger

• $x_{t+1} = ax_t + b$ : $\displaystyle x^* = \frac{b}{1-a}$
•Generell løsning: $x_t = (x_0 - x^*)a^t + x^*$
•Stabil hvis $|a| < 1$
•Karakteristisk likning: $r^2 + a_1r + a_2 = 0$

Konsument-/produsentoverskudd

• $\displaystyle KO = \int_0^{x^*} D(x) dx - p^* x^*$
• $\displaystyle PO = p^* x^* - \int_0^{x^*} S(x) dx$

Nøkkelformler per tema

Funksjoner og grafer

•Lineær funksjon: $f(x) = ax + b$
•Abc-formelen: $\displaystyle x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
•Eksponentiell vekst: $f(t) = A \cdot e^{rt}$
•Logaritmeregelen: $\ln(a^n) = n \cdot \ln a$
•Ettpunktsformelen: $y - y_1 = a(x - x_1)$
•Toppunkt: $\displaystyle x_T = -\frac{b}{2a}$
•Gjennomsnittskostnad: $\displaystyle \overline{C}(x) = \frac{C(x)}{x}$
•Profittfunksjon: $\pi(x) = R(x) - C(x)$

Derivasjon og marginalanalyse

•Potensregel: $(x^n)' = nx^{n-1}$
•Produktregel: $(fg)' = f'g + fg'$
•Kvotientregel: $(f/g)' = (f'g - fg')/g^2$
•Kjerneregel: $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$
• $(e^{g(x)})' = e^{g(x)} \cdot g'(x)$
• $\displaystyle (\ln(g(x)))' = \frac{g'(x)}{g(x)}$
•Inntekt og elastisitet: $R'(p) = D(p)(1 + \varepsilon)$

Optimering med én variabel

•FOB: $f'(x) = 0$
•AOB: $f''(x_0) < 0$ → maks, $f''(x_0) > 0$ → min
•Vendepunkt: $f''(x_0) = 0$ og $f'''(x_0) \neq 0$
•Profittmaksimering: $R'(x) = C'(x)$
•Gjennomsnittskostnad minimum: $C'(x) = \overline{C}(x)$
•Monopolist: $R(x) = p(x) \cdot x$ , $R'(x) = C'(x)$

Flervariabelanalyse og partielle deriverte

•Partiell derivert: $\displaystyle f_x = \frac{\partial f}{\partial x}$
•Youngs teorem: $f_{xy} = f_{yx}$
•Gradient: $\nabla f = (f_x, f_y)$
•Totaldifferensial: $df = f_x \, dx + f_y \, dy$
•Implisitt derivasjon: $\displaystyle \frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y}$
•Kjerneregel: $\displaystyle \frac{dz}{dt} = f_x \cdot \frac{dx}{dt} + f_y \cdot \frac{dy}{dt}$
•Tangentplan: $z = f(a,b) + f_x(a,b)(x-a) + f_y(a,b)(y-b)$
•Eulers teorem: $xf_x + yf_y = kf$ (homogen grad $k$ )

Optimering med flere variabler

•Hesse-determinant: $D = f_{xx} f_{yy} - (f_{xy})^2$
•Lagrangefunksjon: $\mathcal{L} = f(x,y) - \lambda(g(x,y) - c)$
•FOB fri optimering: $f_x = 0$ og $f_y = 0$
•AOB: $D > 0, f_{xx} < 0$ → maks; $D > 0, f_{xx} > 0$ → min; $D < 0$ → sadelpunkt
•Skyggepris: $\displaystyle \lambda \approx \frac{\Delta f^*}{\Delta c}$
•Cobb-Douglas snarvei: $\displaystyle x^* = \frac{a}{a+b} \cdot \frac{m}{p_x}$
•Lagrange-prinsipp: $\displaystyle \frac{f_x}{g_x} = \frac{f_y}{g_y} = \lambda$

Integrasjon og anvendelser

•Potensregel: $\displaystyle \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$
•Eksponential: $\displaystyle \int e^{ax} dx = \frac{1}{a}e^{ax} + C$
•Logaritme: $\displaystyle \int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C$
•Fundamentalteoremet: $\displaystyle \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$
•Delvis integrasjon: $\displaystyle \int u \, dv = uv - \int v \, du$
•Konsumentoverskudd: $\displaystyle KO = \int_0^{x^*} D(x) dx - p^* x^*$
•Produsentoverskudd: $\displaystyle PO = p^* x^* - \int_0^{x^*} S(x) dx$
•Nåverdi: $\displaystyle PV = \int_0^T R(t) e^{-rt} dt$
•Perpetuitet: $\displaystyle PV = \frac{R}{r}$ (konstant strøm for alltid)

Lineær algebra og matriser

•Determinant $2 \times 2$ : $\det(A) = ad - bc$
•Invers $2 \times 2$ : $\displaystyle A^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\\ -c & a \end{pmatrix}$
•Lineært system: $A\mathbf{x} = \mathbf{b} \Rightarrow \mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}$
•Karakteristisk likning: $\det(A - \lambda I) = 0$
•Sporet: $\text{tr}(A) = a_{11} + a_{22}$
•Leontief: $\mathbf{x} = (I - A)^{-1}\mathbf{d}$

Differenslikninger og dynamikk

•Førsteordens: $x_t = (x_0 - x^*)a^t + x^*$
•Likevekt: $\displaystyle x^* = \frac{b}{1-a}$
•Stabilitet: $|a| < 1$ → stabil
•Karakteristisk likning: $r^2 + a_1 r + a_2 = 0$
•Kapitalakkumulasjon: $K_{t+1} = (1-\delta)K_t + I$
•Multiplikator: $\displaystyle Y^* = \frac{1}{1-c}(I_0 + G_0)$
•Ikke-lineær stabilitet: $|f'(x^*)| < 1$ → stabil

Vanlige feil å unngå

Funksjoner og grafer

•Glemmer at $\ln(x)$ kun er definert for $x > 0$
•Forveksler $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ med $a^2 + b^2$
•Glemmer å sjekke definisjonsmengden ved rasjonale funksjoner
•Blander $\ln(a + b)$ med $\ln a + \ln b$ — logaritmereglene gjelder bare for produkt og kvotient
•Glemmer at $e^{a+b} = e^a \cdot e^b$ , ikke $e^a + e^b$

Derivasjon og marginalanalyse

•Glemmer kjerneregelen: $(e^{3x})' \neq e^{3x}$ , det er $3e^{3x}$
•Bruker potensregelen på $e^x$ : $(e^x)' \neq xe^{x-1}$
•Glemmer at marginalkostnad er derivert av totalkostnad, ikke gjennomsnittskostnad
•Tolker elastisitet som derivert — elastisitet er dimensjonsløs, derivert er det ikke
•Glemmer å omskrive $\sqrt{x}$ , $\displaystyle \frac{1}{x}$ etc. til potensform før derivasjon
•Feil rekkefølge i kvotientregelen — teller og nevner må ikke forveksles

Optimering med én variabel

•Konkluderer med maks/min uten å sjekke AOB (andreordensbetingelsen)
•Glemmer å sjekke endepunkter ved optimering på lukket intervall
•Forveksler vendepunkt med ekstremalpunkt
•Sier at $f''(x_0) = 0$ betyr vendepunkt — det er nødvendig, men ikke tilstrekkelig
•Setter $C'(x) = 0$ i stedet for $R'(x) = C'(x)$ ved profittmaksimering
•Glemmer at monopolistens marginalinntekt ikke er lik prisen

Flervariabelanalyse og partielle deriverte

•Glemmer å holde den andre variabelen konstant ved partiell derivasjon
•Forveksler $f_{xy}$ (deriver først mhp. $x$ , så mhp. $y$ ) med $f_{yx}$
•Glemmer kjerneregelen når funksjonen er sammensatt, f.eks. $e^{xy}$
•Ved implisitt derivasjon: glemmer minustegnet i $-F_x/F_y$
•Blander skalautbytte ( $\alpha + \beta$ ) med marginalprodukt

Optimering med flere variabler

•Glemmer fortegnet foran $\lambda$ i Lagrangefunksjonen — vær konsekvent
•Sjekker ikke AOB etter å ha funnet kritisk punkt ved fri optimering
•Glemmer å tolke $\lambda$ (skyggeprisen) — dette gir ofte poeng på eksamen
•Blander sammen $D > 0$ med maks — du må også sjekke fortegnet til $f_{xx}$
•Glemmer å kontrollere at løsningen tilfredsstiller bibetingelsen
•Setter feil fortegn i Lagrangefunksjonen — pass på $-(g - c)$

Integrasjon og anvendelser

•Glemmer integrasjonskonstanten $C$ i ubestemte integraler
•Bruker potensregelen for $n = -1$ : $\displaystyle \int x^{-1} dx = \ln|x| + C$ , ikke $\displaystyle \frac{x^0}{0}$
•Glemmer å justere grensene ved substitusjon i bestemte integraler
•Glemmer å trekke fra $p^* \cdot x^*$ i konsumentoverskudd-formelen
•Feil i delvis integrasjon: velger feil $u$ og $dv$
•Glemmer grenseverdiargument ved uegentlige integraler

Lineær algebra og matriser

•Antar at $AB = BA$ — matrisemultiplikasjon er IKKE kommutativ
•Glemmer at $\det(A) = 0$ betyr at $A^{-1}$ ikke eksisterer
•Regner feil rekkefølge i Cramers regel — pass på hvilken kolonne som erstattes
•Feil fortegn i $2 \times 2$ invers — husk at $b$ og $c$ skifter fortegn
•Glemmer å sjekke dimensjonene ved matrisemultiplikasjon
•I Leontief: glemmer å beregne $(I - A)^{-1}$ , bruker bare $A^{-1}$

Differenslikninger og dynamikk

•Glemmer å finne likevekten $x^*$ før den generelle løsningen
•Forveksler stabilitetsbetingelsen: det er $|a| < 1$ , ikke $a < 1$ (absoluttverdien!)
•Glemmer å bruke initialbetingelser for å bestemme konstantene $A$ og $B$
•Blander diskret og kontinuerlig: differenslikninger er diskrete, differensiallikninger er kontinuerlige
•Glemmer at $a < 0$ gir oscillasjoner — dette er viktig for cobweb-modellen
•Feil fortegn i karakteristisk likning — pass på koeffisientene

Eksamenstips

Funksjoner og grafer

•Tegn alltid en skisse av funksjonen for å forstå oppgaven
•Sjekk at svaret gir mening ved å sette inn tall
•Omskriv uttrykk til potensform $x^n$ før derivasjon
•Kjenner du igjen formen? Lineær, kvadratisk, eksponentiell — identifiser funksjonstypen først
•Ved likningsløsning: sjekk alltid om løsningen er i definisjonsmengden

Derivasjon og marginalanalyse

•Omskriv alltid til potensform før du deriverer: $\sqrt{x} = x^{1/2}$ , $\displaystyle \frac{1}{x^2} = x^{-2}$
•Skriv tydelig hvilken regel du bruker (sensor gir poeng for fremgangsmåte)
•Marginalanalyse-oppgaver: start med å identifisere kostnads- og inntektsfunksjon
•Elastisitet i log-lineær form: koeffisienten foran $\ln p$ ER elastisiteten direkte
•Sjekk derivasjon ved å integrere tilbake — du skal få tilbake den opprinnelige funksjonen

Optimering med én variabel

•Skriv alltid tydelig FOB og AOB — sensor ser etter disse begrepene
•Gi alltid en økonomisk tolkning av svaret (f.eks. «optimal produksjon er 30 enheter»)
•Sjekk at svaret er rimelig: negativ produksjon gir ikke mening
•Ved monopol: husk at $R'(x) \neq p$ — marginalinntekten faller raskere enn prisen
•Vendepunkt i kostnadsfunksjon = minimum for marginalkostnad — dette er en klassisk oppgave

Flervariabelanalyse og partielle deriverte

•Skriv alltid «holder $y$ konstant» e.l. for å vise at du forstår partielle deriverte
•Gi økonomisk tolkning av partielle deriverte (f.eks. «marginalprodukt av arbeid»)
•Dobbeltsjekk Youngs teorem: $f_{xy}$ skal bli lik $f_{yx}$
•MRS = $\displaystyle -\frac{U_x}{U_y}$ — husk minustegnet for å få positiv verdi
•Homogenitetsgrad avgjør skalautbytte — dette er en klassisk spørsmålstype

Optimering med flere variabler

•Lagrange-oppgaver er nesten garantert på eksamen — drilloppgaver er lurt
•Skriv alltid opp Lagrangefunksjonen eksplisitt
•Husk å tolke $\lambda$ : «Dersom budsjettet øker med 1 kr, øker nytten med ca. $\lambda$ »
•Kontroller at løsningen tilfredsstiller bibetingelsen
•For Cobb-Douglas: bruk snarveien og vis at du kjenner den — sparer mye tid
•Dividér FOB-likningene på hverandre for å eliminere $\lambda$ — dette forenkler løsningen

Integrasjon og anvendelser

•Sjekk alltid integralet ved å derivere svaret — du skal få tilbake integranden
•Ved konsument-/produsentoverskudd: tegn grafen og skraver arealet
•Husk at uegentlige integraler krever grenseverdiargument
•For nåverdi med konstant strøm: snarveien er $\displaystyle PV = \frac{R}{r}(1 - e^{-rT})$
•Substitusjon: let etter en indre funksjon hvis deriverte finnes i integranden

Lineær algebra og matriser

•Sjekk svaret ved å sette $\mathbf{x}$ tilbake i $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$
•Beregn determinanten først — hvis $\det(A) = 0$ finnes ingen entydig løsning
•For $2 \times 2$ er Cramers regel oftest raskest; for $3 \times 3$ vurder Gauss-eliminasjon
•Egenverdier for $2 \times 2$ : bruk $\lambda^2 - \text{tr}(A)\lambda + \det(A) = 0$
•Leontief: tolkning av $(I-A)^{-1}$ -elementene — «effekten av økt etterspørsel i sektor $j$ på produksjon i sektor $i$ »

Differenslikninger og dynamikk

•Skriv alltid opp likevekt, stabilitet og generell løsning — dette er de tre nøkkelpunktene
•Gi økonomisk tolkning: «Prisen konvergerer mot likevektsprisen 9»
•Tegn fasediagram eller tidsdiagram hvis oppgaven ber om det
•Sjekk svaret: sett $t = 0$ og $t = 1$ inn i den generelle løsningen
•Cobweb: identifiser $a$ og sjekk $|a|$ — dette avgjør om markedet stabiliserer seg
•Forklar alltid type dynamikk: monoton vs. oscillerende, konvergens vs. divergens

ECON1200

Cheat Sheet

Formler, begreper og oppsummering

Matematikk for samfunnsvitenskap

eksamenssett.no

Symboloversikt

Funksjoner og derivasjon

• $f'(x)$ = derivert (også $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ ) | $f''(x)$ = andrederivert
• $f_x$ = $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}$ = partiell derivert med hensyn på $x$
• $f_{xx}$ = $\displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$ = andrepartiell derivert

Optimering

• $\nabla f$ = gradient | $H$ = Hesse-matrise | $\lambda$ = Lagrange-multiplikator
• $\Delta x$ = endring i $x$ | $dx$ = differensial

Integrasjon

• $\displaystyle \int f(x)\,dx$ = ubestemt integral | $\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx$ = bestemt integral
• $F(x)$ = antiderivert | $C$ = integrasjonskonstant

Lineær algebra

• $A$ , $B$ = matriser | $\mathbf{x}$ , $\mathbf{b}$ = vektorer | $I$ = identitetsmatrise
• $\det(A)$ = $|A|$ = determinant | $A^{-1}$ = invers matrise

Differenslikninger

• $x_t$ = verdi i periode $t$ | $x^*$ = likevekt | $\Delta x_t = x_{t+1} - x_t$

Formler

Derivasjonsregler

• $(x^n)' = nx^{n-1}$
• $(e^x)' = e^x$
• $\displaystyle (\ln x)' = \frac{1}{x}$
• $(fg)' = f'g + fg'$ (produktregel)
• $\displaystyle (f/g)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$ (kvotientregel)
• $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$ (kjerneregel)

Integrasjonsregler

• $\displaystyle \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ ( $n \neq -1$ )
• $\displaystyle \int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C$
• $\displaystyle \int e^{ax} dx = \frac{1}{a}e^{ax} + C$
• $\displaystyle \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$

Optimering

•FOB: $f'(x) = 0$ eller $f_x = f_y = 0$
•AOB (én var.): $f''(x_0) < 0 \Rightarrow$ maks, $> 0 \Rightarrow$ min
•AOB (to var.): $D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2$
•Lagrange: $\mathcal{L} = f(x,y) - \lambda(g(x,y) - c)$
•Elastisitet: $\displaystyle \varepsilon = \frac{p}{D(p)} \cdot D'(p)$

Lineær algebra

• $\det\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc$
• $\displaystyle A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$
•Cramers regel: $\displaystyle x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)}$

Differenslikninger

• $x_{t+1} = ax_t + b$ : $\displaystyle x^* = \frac{b}{1-a}$
•Generell løsning: $x_t = (x_0 - x^*)a^t + x^*$
•Stabil hvis $|a| < 1$
•Karakteristisk likning: $r^2 + a_1r + a_2 = 0$

Konsument-/produsentoverskudd

• $\displaystyle KO = \int_0^{x^*} D(x) dx - p^* x^*$
• $\displaystyle PO = p^* x^* - \int_0^{x^*} S(x) dx$

Nøkkelformler per tema

Funksjoner og grafer

•Lineær funksjon: $f(x) = ax + b$
•Abc-formelen: $\displaystyle x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
•Eksponentiell vekst: $f(t) = A \cdot e^{rt}$
•Logaritmeregelen: $\ln(a^n) = n \cdot \ln a$
•Ettpunktsformelen: $y - y_1 = a(x - x_1)$
•Toppunkt: $\displaystyle x_T = -\frac{b}{2a}$
•Gjennomsnittskostnad: $\displaystyle \overline{C}(x) = \frac{C(x)}{x}$
•Profittfunksjon: $\pi(x) = R(x) - C(x)$

Derivasjon og marginalanalyse

•Potensregel: $(x^n)' = nx^{n-1}$
•Produktregel: $(fg)' = f'g + fg'$
•Kvotientregel: $(f/g)' = (f'g - fg')/g^2$
•Kjerneregel: $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$
• $(e^{g(x)})' = e^{g(x)} \cdot g'(x)$
• $\displaystyle (\ln(g(x)))' = \frac{g'(x)}{g(x)}$
•Inntekt og elastisitet: $R'(p) = D(p)(1 + \varepsilon)$

Optimering med én variabel

•FOB: $f'(x) = 0$
•AOB: $f''(x_0) < 0$ → maks, $f''(x_0) > 0$ → min
•Vendepunkt: $f''(x_0) = 0$ og $f'''(x_0) \neq 0$
•Profittmaksimering: $R'(x) = C'(x)$
•Gjennomsnittskostnad minimum: $C'(x) = \overline{C}(x)$
•Monopolist: $R(x) = p(x) \cdot x$ , $R'(x) = C'(x)$

Flervariabelanalyse og partielle deriverte

•Partiell derivert: $\displaystyle f_x = \frac{\partial f}{\partial x}$
•Youngs teorem: $f_{xy} = f_{yx}$
•Gradient: $\nabla f = (f_x, f_y)$
•Totaldifferensial: $df = f_x \, dx + f_y \, dy$
•Implisitt derivasjon: $\displaystyle \frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y}$
•Kjerneregel: $\displaystyle \frac{dz}{dt} = f_x \cdot \frac{dx}{dt} + f_y \cdot \frac{dy}{dt}$
•Tangentplan: $z = f(a,b) + f_x(a,b)(x-a) + f_y(a,b)(y-b)$
•Eulers teorem: $xf_x + yf_y = kf$ (homogen grad $k$ )

Optimering med flere variabler

•Hesse-determinant: $D = f_{xx} f_{yy} - (f_{xy})^2$
•Lagrangefunksjon: $\mathcal{L} = f(x,y) - \lambda(g(x,y) - c)$
•FOB fri optimering: $f_x = 0$ og $f_y = 0$
•AOB: $D > 0, f_{xx} < 0$ → maks; $D > 0, f_{xx} > 0$ → min; $D < 0$ → sadelpunkt
•Skyggepris: $\displaystyle \lambda \approx \frac{\Delta f^*}{\Delta c}$
•Cobb-Douglas snarvei: $\displaystyle x^* = \frac{a}{a+b} \cdot \frac{m}{p_x}$
•Lagrange-prinsipp: $\displaystyle \frac{f_x}{g_x} = \frac{f_y}{g_y} = \lambda$

Integrasjon og anvendelser

•Potensregel: $\displaystyle \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$
•Eksponential: $\displaystyle \int e^{ax} dx = \frac{1}{a}e^{ax} + C$
•Logaritme: $\displaystyle \int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C$
•Fundamentalteoremet: $\displaystyle \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$
•Delvis integrasjon: $\displaystyle \int u \, dv = uv - \int v \, du$
•Konsumentoverskudd: $\displaystyle KO = \int_0^{x^*} D(x) dx - p^* x^*$
•Produsentoverskudd: $\displaystyle PO = p^* x^* - \int_0^{x^*} S(x) dx$
•Nåverdi: $\displaystyle PV = \int_0^T R(t) e^{-rt} dt$
•Perpetuitet: $\displaystyle PV = \frac{R}{r}$ (konstant strøm for alltid)

Lineær algebra og matriser

•Determinant $2 \times 2$ : $\det(A) = ad - bc$
•Invers $2 \times 2$ : $\displaystyle A^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\\ -c & a \end{pmatrix}$
•Lineært system: $A\mathbf{x} = \mathbf{b} \Rightarrow \mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}$
•Karakteristisk likning: $\det(A - \lambda I) = 0$
•Sporet: $\text{tr}(A) = a_{11} + a_{22}$
•Leontief: $\mathbf{x} = (I - A)^{-1}\mathbf{d}$

Differenslikninger og dynamikk

•Førsteordens: $x_t = (x_0 - x^*)a^t + x^*$
•Likevekt: $\displaystyle x^* = \frac{b}{1-a}$
•Stabilitet: $|a| < 1$ → stabil
•Karakteristisk likning: $r^2 + a_1 r + a_2 = 0$
•Kapitalakkumulasjon: $K_{t+1} = (1-\delta)K_t + I$
•Multiplikator: $\displaystyle Y^* = \frac{1}{1-c}(I_0 + G_0)$
•Ikke-lineær stabilitet: $|f'(x^*)| < 1$ → stabil

Vanlige feil å unngå

Funksjoner og grafer

•Glemmer at $\ln(x)$ kun er definert for $x > 0$
•Forveksler $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ med $a^2 + b^2$
•Glemmer å sjekke definisjonsmengden ved rasjonale funksjoner
•Blander $\ln(a + b)$ med $\ln a + \ln b$ — logaritmereglene gjelder bare for produkt og kvotient
•Glemmer at $e^{a+b} = e^a \cdot e^b$ , ikke $e^a + e^b$

Derivasjon og marginalanalyse

•Glemmer kjerneregelen: $(e^{3x})' \neq e^{3x}$ , det er $3e^{3x}$
•Bruker potensregelen på $e^x$ : $(e^x)' \neq xe^{x-1}$
•Glemmer at marginalkostnad er derivert av totalkostnad, ikke gjennomsnittskostnad
•Tolker elastisitet som derivert — elastisitet er dimensjonsløs, derivert er det ikke
•Glemmer å omskrive $\sqrt{x}$ , $\displaystyle \frac{1}{x}$ etc. til potensform før derivasjon
•Feil rekkefølge i kvotientregelen — teller og nevner må ikke forveksles

Optimering med én variabel

•Konkluderer med maks/min uten å sjekke AOB (andreordensbetingelsen)
•Glemmer å sjekke endepunkter ved optimering på lukket intervall
•Forveksler vendepunkt med ekstremalpunkt
•Sier at $f''(x_0) = 0$ betyr vendepunkt — det er nødvendig, men ikke tilstrekkelig
•Setter $C'(x) = 0$ i stedet for $R'(x) = C'(x)$ ved profittmaksimering
•Glemmer at monopolistens marginalinntekt ikke er lik prisen

Flervariabelanalyse og partielle deriverte

•Glemmer å holde den andre variabelen konstant ved partiell derivasjon
•Forveksler $f_{xy}$ (deriver først mhp. $x$ , så mhp. $y$ ) med $f_{yx}$
•Glemmer kjerneregelen når funksjonen er sammensatt, f.eks. $e^{xy}$
•Ved implisitt derivasjon: glemmer minustegnet i $-F_x/F_y$
•Blander skalautbytte ( $\alpha + \beta$ ) med marginalprodukt

Optimering med flere variabler

•Glemmer fortegnet foran $\lambda$ i Lagrangefunksjonen — vær konsekvent
•Sjekker ikke AOB etter å ha funnet kritisk punkt ved fri optimering
•Glemmer å tolke $\lambda$ (skyggeprisen) — dette gir ofte poeng på eksamen
•Blander sammen $D > 0$ med maks — du må også sjekke fortegnet til $f_{xx}$
•Glemmer å kontrollere at løsningen tilfredsstiller bibetingelsen
•Setter feil fortegn i Lagrangefunksjonen — pass på $-(g - c)$

Integrasjon og anvendelser

•Glemmer integrasjonskonstanten $C$ i ubestemte integraler
•Bruker potensregelen for $n = -1$ : $\displaystyle \int x^{-1} dx = \ln|x| + C$ , ikke $\displaystyle \frac{x^0}{0}$
•Glemmer å justere grensene ved substitusjon i bestemte integraler
•Glemmer å trekke fra $p^* \cdot x^*$ i konsumentoverskudd-formelen
•Feil i delvis integrasjon: velger feil $u$ og $dv$
•Glemmer grenseverdiargument ved uegentlige integraler

Lineær algebra og matriser

•Antar at $AB = BA$ — matrisemultiplikasjon er IKKE kommutativ
•Glemmer at $\det(A) = 0$ betyr at $A^{-1}$ ikke eksisterer
•Regner feil rekkefølge i Cramers regel — pass på hvilken kolonne som erstattes
•Feil fortegn i $2 \times 2$ invers — husk at $b$ og $c$ skifter fortegn
•Glemmer å sjekke dimensjonene ved matrisemultiplikasjon
•I Leontief: glemmer å beregne $(I - A)^{-1}$ , bruker bare $A^{-1}$

Differenslikninger og dynamikk

•Glemmer å finne likevekten $x^*$ før den generelle løsningen
•Forveksler stabilitetsbetingelsen: det er $|a| < 1$ , ikke $a < 1$ (absoluttverdien!)
•Glemmer å bruke initialbetingelser for å bestemme konstantene $A$ og $B$
•Blander diskret og kontinuerlig: differenslikninger er diskrete, differensiallikninger er kontinuerlige
•Glemmer at $a < 0$ gir oscillasjoner — dette er viktig for cobweb-modellen
•Feil fortegn i karakteristisk likning — pass på koeffisientene

Eksamenstips

Funksjoner og grafer

•Tegn alltid en skisse av funksjonen for å forstå oppgaven
•Sjekk at svaret gir mening ved å sette inn tall
•Omskriv uttrykk til potensform $x^n$ før derivasjon
•Kjenner du igjen formen? Lineær, kvadratisk, eksponentiell — identifiser funksjonstypen først
•Ved likningsløsning: sjekk alltid om løsningen er i definisjonsmengden

Derivasjon og marginalanalyse

•Omskriv alltid til potensform før du deriverer: $\sqrt{x} = x^{1/2}$ , $\displaystyle \frac{1}{x^2} = x^{-2}$
•Skriv tydelig hvilken regel du bruker (sensor gir poeng for fremgangsmåte)
•Marginalanalyse-oppgaver: start med å identifisere kostnads- og inntektsfunksjon
•Elastisitet i log-lineær form: koeffisienten foran $\ln p$ ER elastisiteten direkte
•Sjekk derivasjon ved å integrere tilbake — du skal få tilbake den opprinnelige funksjonen

Optimering med én variabel

•Skriv alltid tydelig FOB og AOB — sensor ser etter disse begrepene
•Gi alltid en økonomisk tolkning av svaret (f.eks. «optimal produksjon er 30 enheter»)
•Sjekk at svaret er rimelig: negativ produksjon gir ikke mening
•Ved monopol: husk at $R'(x) \neq p$ — marginalinntekten faller raskere enn prisen
•Vendepunkt i kostnadsfunksjon = minimum for marginalkostnad — dette er en klassisk oppgave

Flervariabelanalyse og partielle deriverte

•Skriv alltid «holder $y$ konstant» e.l. for å vise at du forstår partielle deriverte
•Gi økonomisk tolkning av partielle deriverte (f.eks. «marginalprodukt av arbeid»)
•Dobbeltsjekk Youngs teorem: $f_{xy}$ skal bli lik $f_{yx}$
•MRS = $\displaystyle -\frac{U_x}{U_y}$ — husk minustegnet for å få positiv verdi
•Homogenitetsgrad avgjør skalautbytte — dette er en klassisk spørsmålstype

Optimering med flere variabler

•Lagrange-oppgaver er nesten garantert på eksamen — drilloppgaver er lurt
•Skriv alltid opp Lagrangefunksjonen eksplisitt
•Husk å tolke $\lambda$ : «Dersom budsjettet øker med 1 kr, øker nytten med ca. $\lambda$ »
•Kontroller at løsningen tilfredsstiller bibetingelsen
•For Cobb-Douglas: bruk snarveien og vis at du kjenner den — sparer mye tid
•Dividér FOB-likningene på hverandre for å eliminere $\lambda$ — dette forenkler løsningen

Integrasjon og anvendelser

•Sjekk alltid integralet ved å derivere svaret — du skal få tilbake integranden
•Ved konsument-/produsentoverskudd: tegn grafen og skraver arealet
•Husk at uegentlige integraler krever grenseverdiargument
•For nåverdi med konstant strøm: snarveien er $\displaystyle PV = \frac{R}{r}(1 - e^{-rT})$
•Substitusjon: let etter en indre funksjon hvis deriverte finnes i integranden

Lineær algebra og matriser

•Sjekk svaret ved å sette $\mathbf{x}$ tilbake i $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$
•Beregn determinanten først — hvis $\det(A) = 0$ finnes ingen entydig løsning
•For $2 \times 2$ er Cramers regel oftest raskest; for $3 \times 3$ vurder Gauss-eliminasjon
•Egenverdier for $2 \times 2$ : bruk $\lambda^2 - \text{tr}(A)\lambda + \det(A) = 0$
•Leontief: tolkning av $(I-A)^{-1}$ -elementene — «effekten av økt etterspørsel i sektor $j$ på produksjon i sektor $i$ »

Differenslikninger og dynamikk

•Skriv alltid opp likevekt, stabilitet og generell løsning — dette er de tre nøkkelpunktene
•Gi økonomisk tolkning: «Prisen konvergerer mot likevektsprisen 9»
•Tegn fasediagram eller tidsdiagram hvis oppgaven ber om det
•Sjekk svaret: sett $t = 0$ og $t = 1$ inn i den generelle løsningen
•Cobweb: identifiser $a$ og sjekk $|a|$ — dette avgjør om markedet stabiliserer seg
•Forklar alltid type dynamikk: monoton vs. oscillerende, konvergens vs. divergens