ECON1200

Studieguide

God oversikt over pensum med forklaringer, formler, vanlige feil og eksamenstips.

Introduksjon

ECON1200 Matematikk for samfunnsvitenskap er et obligatorisk introduksjonskurs i matematikk ved Universitetet i Oslo. Kurset gir deg de matematiske verktøyene du trenger for videre studier i økonomi, statsvitenskap og andre samfunnsvitenskapelige fag.

Denne studieguiden dekker alle pensum-temaer og gir deg en kompakt gjennomgang av det viktigste stoffet. Bruk den som supplement til forelesninger og lærebok — den er designet for å hjelpe deg med å forstå sammenhengene og forberede deg effektivt til eksamen.

Symboloversikt

Her er de viktigste symbolene du møter i kurset:

Funksjoner og derivasjon:

$f'(x)$ = derivert (også $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ ) | $f''(x)$ = andrederivert

$f_x$ = $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}$ = partiell derivert med hensyn på $x$

$f_{xx}$ = $\displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$ = andrepartiell derivert

Optimering:

$\nabla f$ = gradient | $H$ = Hesse-matrise | $\lambda$ = Lagrange-multiplikator

$\Delta x$ = endring i $x$ | $dx$ = differensial

Integrasjon:

$\displaystyle \int f(x)\,dx$ = ubestemt integral | $\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx$ = bestemt integral

$F(x)$ = antiderivert | $C$ = integrasjonskonstant

Lineær algebra:

$A$ , $B$ = matriser | $\mathbf{x}$ , $\mathbf{b}$ = vektorer | $I$ = identitetsmatrise

$\det(A)$ = $|A|$ = determinant | $A^{-1}$ = invers matrise

Differenslikninger:

$x_t$ = verdi i periode $t$ | $x^*$ = likevekt | $\Delta x_t = x_{t+1} - x_t$

Funksjoner og grafer

Grunnleggende funksjonstyper, grafisk fremstilling og funksjonsegenskaper som er fundamentet for videre analyse i kurset.

Hvorfor funksjoner er viktig

Funksjoner er det matematiske språket for å beskrive sammenhenger — mellom pris og etterspørsel, mellom innsatsfaktorer og produksjon, mellom tid og vekst. I ECON1200 bygger alt videre på en solid forståelse av funksjoner og deres egenskaper.

Grunnleggende funksjonstyper

Lineære funksjoner:

$f(x) = ax + b$ , der $a$ er stigningstallet og $b$ er konstantleddet.

Stigning mellom to punkter: $\displaystyle a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Ettpunktsformelen: $y - y_1 = a(x - x_1)$

To punkts form: $\displaystyle \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}$

Eksempel: Lineær etterspørselsfunksjon

En etterspørselsfunksjon er gitt ved $D(p) = 100 - 2p$ , der $p$ er prisen.

\text{Stigning: } a = -2

Etterspørselen synker med 2 enheter per krone prisøkning

100 - 2p = 0 \Rightarrow p = 50

Nullpunkt: ved pris 50 er etterspørselen null

D(0) = 100

Skjæring med

y

-aksen: ved pris 0 er etterspørselen 100

Eksempel: Finn lineær funksjon gjennom to punkter

En tilbudsfunksjon går gjennom $(10, 20)$ og $(30, 60)$ . Finn $S(x)$ .

\displaystyle a = \frac{60 - 20}{30 - 10} = \frac{40}{20} = 2

Beregner stigningstallet

y - 20 = 2(x - 10)

Bruker ettpunktsformelen med

(10, 20)

S(x) = 2x

Tilbudsfunksjonen stiger med 2 for hver ekstra enhet

Kvadratiske funksjoner:

$f(x) = ax^2 + bx + c$

Andregradsformelen: $\displaystyle x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Diskriminanten $D = b^2 - 4ac$ avgjør antall løsninger:

$D > 0$ : to reelle løsninger | $D = 0$ : én dobbeltrot | $D < 0$ : ingen reelle løsninger

Toppunkt/bunnpunkt: $\displaystyle x_T = -\frac{b}{2a}$ , $y_T = f(x_T)$

$a > 0$ : bunnpunkt (konveks) | $a < 0$ : toppunkt (konkav)

Eksempel: Kvadratisk inntektsfunksjon

En monopolist har inntektsfunksjon $R(x) = -x^2 + 20x$ . Finn maksimal inntekt.

\displaystyle x_T = -\frac{20}{2 \cdot (-1)} = 10

Bruker toppunktsformelen med

a = -1

b = 20

R(10) = -(10)^2 + 20 \cdot 10 = -100 + 200 = 100

Maksimal inntekt er 100 ved produksjon av 10 enheter

Eksponentialfunksjoner:

$f(x) = e^x$ : Naturlig eksponentialfunksjon. $f'(x) = e^x$ .

$f(x) = a^x = e^{x \ln a}$ for generell base $a > 0$ .

Egenskaper: $e^x > 0$ for alle $x$ . Strengt voksende. $\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$ .

Viktig i økonomi: Kontinuerlig rente $A(t) = A_0 e^{rt}$ .

Logaritmefunksjoner:

$f(x) = \ln(x)$ : Naturlig logaritme. Definert for $x > 0$ . $\displaystyle f'(x) = \frac{1}{x}$ .

Invers sammenheng: $e^{\ln x} = x$ og $\ln(e^x) = x$ .

$\ln(1) = 0$ | $\ln(e) = 1$ | $\ln(x) \to -\infty$ når $x \to 0^+$

Eksempel: Eksponentiell vekst — befolkning

En befolkning vokser eksponentielt: $P(t) = P_0 e^{rt}$ , der $P_0 = 1000$ og $r = 0{,}03$ .

P(10) = 1000 \cdot e^{0{,}03 \cdot 10} = 1000 \cdot e^{0{,}3}

Setter inn

t = 10

\approx 1000 \cdot 1{,}3499 = 1350

Befolkningen har vokst med ca. 35 % på 10 år

Fordobling:

2P_0 = P_0 e^{rt} \Rightarrow 2 = e^{0{,}03t}

Setter

P(t) = 2P_0

og forkorter med

P_0

\displaystyle \ln 2 = 0{,}03t \Rightarrow t = \frac{\ln 2}{0{,}03} \approx 23{,}1

Fordoblingstiden er ca. 23 år

Eksempel: Løse eksponentiallikning

Løs $5e^{2x} = 40$ .

\displaystyle e^{2x} = \frac{40}{5} = 8

Deler begge sider på 5

2x = \ln 8

Tar

\ln

på begge sider

\displaystyle x = \frac{\ln 8}{2} = \frac{3\ln 2}{2} \approx 1{,}04

Bruker

\ln 8 = \ln(2^3) = 3\ln 2

Potens- og logaritmeregler:

$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ | $\displaystyle \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ | $(a^m)^n = a^{mn}$

$a^0 = 1$ | $\displaystyle a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ | $a^{1/n} = \sqrt[n]{a}$

$\ln(ab) = \ln a + \ln b$ | $\displaystyle \ln\!\left(\frac{a}{b}\right) = \ln a - \ln b$ | $\ln(a^n) = n\ln a$

Sammensatte og inverse funksjoner

Sammensatt funksjon:

$(f \circ g)(x) = f(g(x))$ — « $f$ av $g$ av $x$ »

Rekkefølgen er viktig: $f(g(x)) \neq g(f(x))$ generelt.

Invers funksjon:

$f^{-1}$ er den inverse funksjonen til $f$ dersom $f(f^{-1}(x)) = x$ og $f^{-1}(f(x)) = x$ .

Fremgangsmåte: Skriv $y = f(x)$ , løs for $x$ uttrykt ved $y$ , bytt $x$ og $y$ .

Grafisk: Grafen til $f^{-1}$ er speilingen av $f$ om linjen $y = x$ .

Eksempel: Invers av etterspørselsfunksjon

Etterspørsel: $D(p) = 100 - 4p$ . Finn den inverse (pris som funksjon av mengde).

q = 100 - 4p

Skriver

q

i stedet for

D(p)

4p = 100 - q

Løser for

p

\displaystyle p = 25 - \frac{q}{4}

Den inverse etterspørselsfunksjonen — pris som funksjon av mengde

Økonomiske funksjoner

Viktige økonomiske funksjoner:

Kostnadsfunksjon: $C(x) = F + c(x)$ , der $F$ er faste kostnader og $c(x)$ er variable kostnader

Gjennomsnittskostnad: $\displaystyle \overline{C}(x) = \frac{C(x)}{x}$

Inntektsfunksjon: $R(x) = p \cdot x$ (frikonkurranse) eller $R(x) = p(x) \cdot x$ (monopol)

Profittfunksjon: $\pi(x) = R(x) - C(x)$

Eksempel: Kostnadsfunksjon med gjennomsnitt

$C(x) = 0{,}5x^2 + 10x + 200$ . Finn gjennomsnittskostnaden og dens minimum.

\displaystyle \overline{C}(x) = \frac{0{,}5x^2 + 10x + 200}{x} = 0{,}5x + 10 + \frac{200}{x}

Deler hvert ledd på

x

\displaystyle \overline{C}'(x) = 0{,}5 - \frac{200}{x^2} = 0

Deriverer og setter lik null

x^2 = 400 \Rightarrow x = 20

Gjennomsnittskostnaden er minimal ved

x = 20

\overline{C}(20) = 10 + 10 + 10 = 30

Minimal gjennomsnittskostnad er 30

Funksjonsegenskaper

For å analysere en funksjon systematisk ser vi på:

Definisjonsmengde: Hvilke $x$ -verdier funksjonen er definert for.
Nullpunkter: Løsninger av $f(x) = 0$ .
Monotoniegenskaper: Voksende ( $f'(x) > 0$ ) eller avtagende ( $f'(x) < 0$ ).
Konveksitet: Konveks ( $f''(x) > 0$ ) eller konkav ( $f''(x) < 0$ ).
Asymptoter: Horisontale ( $\lim_{x \to \pm\infty} f(x)$ ) og vertikale (der nevner er null).

Eksempel: Rasjonell funksjon

$\displaystyle f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 2}$

\text{Definisjonsmengde: } x \neq 2

Vertikal asymptote ved

x = 2

x^2 - 1 = 0 \Rightarrow x = \pm 1

Nullpunkter

\displaystyle f(x) = x + 2 + \frac{3}{x-2}

Polynomdivisjon gir skrå asymptote

y = x + 2

Nøkkelformler

•Lineær funksjon: $f(x) = ax + b$
•Abc-formelen: $\displaystyle x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
•Eksponentiell vekst: $f(t) = A \cdot e^{rt}$
•Logaritmeregelen: $\ln(a^n) = n \cdot \ln a$
•Ettpunktsformelen: $y - y_1 = a(x - x_1)$
•Toppunkt: $\displaystyle x_T = -\frac{b}{2a}$
•Gjennomsnittskostnad: $\displaystyle \overline{C}(x) = \frac{C(x)}{x}$
•Profittfunksjon: $\pi(x) = R(x) - C(x)$

Vanlige feil

⚠️Glemmer at $\ln(x)$ kun er definert for $x > 0$
⚠️Forveksler $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ med $a^2 + b^2$
⚠️Glemmer å sjekke definisjonsmengden ved rasjonale funksjoner
⚠️Blander $\ln(a + b)$ med $\ln a + \ln b$ — logaritmereglene gjelder bare for produkt og kvotient
⚠️Glemmer at $e^{a+b} = e^a \cdot e^b$ , ikke $e^a + e^b$

Eksamenstips

💡Tegn alltid en skisse av funksjonen for å forstå oppgaven
💡Sjekk at svaret gir mening ved å sette inn tall
💡Omskriv uttrykk til potensform $x^n$ før derivasjon
💡Kjenner du igjen formen? Lineær, kvadratisk, eksponentiell — identifiser funksjonstypen først
💡Ved likningsløsning: sjekk alltid om løsningen er i definisjonsmengden

Laster...

Introduksjon

Symboloversikt

Her er de viktigste symbolene du møter i kurset:

Funksjoner og derivasjon:

$f'(x)$ = derivert (også $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ ) | $f''(x)$ = andrederivert

$f_x$ = $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}$ = partiell derivert med hensyn på $x$

$f_{xx}$ = $\displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$ = andrepartiell derivert

Optimering:

$\nabla f$ = gradient | $H$ = Hesse-matrise | $\lambda$ = Lagrange-multiplikator

$\Delta x$ = endring i $x$ | $dx$ = differensial

Integrasjon:

$\displaystyle \int f(x)\,dx$ = ubestemt integral | $\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx$ = bestemt integral

$F(x)$ = antiderivert | $C$ = integrasjonskonstant

Lineær algebra:

$A$ , $B$ = matriser | $\mathbf{x}$ , $\mathbf{b}$ = vektorer | $I$ = identitetsmatrise

$\det(A)$ = $|A|$ = determinant | $A^{-1}$ = invers matrise

Differenslikninger:

$x_t$ = verdi i periode $t$ | $x^*$ = likevekt | $\Delta x_t = x_{t+1} - x_t$