Oversikt

Dette er den eneste oppgavetypen som forekommer i alle 16 eksamenssettene i ECON1100-arkivet, og den er verdt mellom 15 og 30 av 100 poeng — median 22,5. Den står nesten alltid som oppgave 2 og består av fire til syv korte påstander som skal avgjøres og begrunnes. Fordi den dekker hele pensum i miniatyr, er det den enkeltoppgaven som best forutsier sluttkarakteren.

Slik gir oppgaven poeng

Sensorveiledningene er entydige: poengene gis for begrunnelsen. Et bart «sant» eller «usant» uten argument gir null, også når konklusjonen er riktig. Til gjengjeld gis det uttelling for riktig resonnement selv om konklusjonen skulle bli feil på grunn av en regnefeil.

Det er en viktig asymmetri i hva som kreves:

For å avvise en påstand holder det med ett konkret moteksempel. Velg det enkleste du finner.
For å bekrefte en påstand kreves et generelt argument. Ett eksempel er aldri nok.

De seks påstandsfamiliene

Gjennomgangen av arkivet viser at påstandene nesten alltid faller i én av seks kategorier:

Derivasjon og deriverbarhet — er absoluttverdifunksjonen deriverbar? Er en voksende funksjon konveks?
Konveksitet, stasjonærpunkter og ekstremverdier — er alle stasjonærpunkter ekstrempunkter? Gir $f''(x_0)=0$ et vendepunkt?
Logaritme-, eksponential- og elastisitetsregler — er $\ln(xy) = \ln x\cdot\ln y$? Er $\mathrm{El}_x(fg)$ produktet av elastisitetene?
Homogenitet — hvilken grad har uttrykket? Er de partielle deriverte homogene av samme grad?
Nivåkurver, differensialer og implisitt derivasjon — hva er fortegnet på $y'$? Er differensialet fullstendig?
Lagrange, summer og integraler — er førsteordensbetingelsene tilstrekkelige? Konvergerer rekken? Er integralet lik arealet?

Motbevisbanken

Nesten alle usanne påstander på ECON1100 avvises med en av disse funksjonene. Lær dem, så har du et motbevis klart på sekunder:

$f(x) = x^3$ — stasjonærpunkt i null som verken er maksimum eller minimum.
$f(x) = x^4$ — $f''(0) = 0$ uten at det er et vendepunkt.
$f(x) = x^2$ — konveks, men avtakende for $x<0$.
$f(x) = \sqrt{x}$ — voksende, men konkav.
$f(x) = |x|$ — kontinuerlig, men ikke deriverbar i null.
$f(x) = -e^{x}$ — strengt konkav uten globalt maksimum.
$f(x) = 1/x$ på $(0,\infty)$ — verken globalt maksimum eller minimum.
$F(K,L) = \sqrt{KL}$ — homogen av grad 1, men ikke lineær.
$f(x) = x$ på $[0,1]$ — globalt maksimum i et punkt der $f' \neq 0$ (hjørneløsning).

Fellene som går igjen

Fire tekniske detaljer står bak et flertall av de usanne påstandene:

Manglende ledd i differensialet. $df = f'_x dx + f'_y dy$ — begge ledd, alltid.
Manglende minustegn i nivåkurvens stigningstall. $y' = -f'_x/f'_y$.
Ombytting av maksimum og minimum i andreordensbetingelsen. $f''(x_0)>0$ gir minimum.
Feil gradregning for homogene funksjoner. $f'_x$ har grad $k-1$, ikke $k$.

Struktur på svaret

Et fullt uttellende svar består av tre linjer: (1) konklusjonen «sant» eller «usant», (2) regnestykket eller moteksempelet, og (3) én setning som forklarer hvorfor. Ikke bruk mer plass enn det — oppgaven er ofte den mest tidseffektive på hele settet, og du trenger tiden på Lagrange-oppgaven.

Eksempel 1: Usann påstand om differensial

Påstand: Differensialet til $f(x,y) = x^2e^{y}$ er $df = 2xe^{y}dx$.

Svar: Usant. De partielle deriverte er $f'_x = 2xe^{y}$ og $f'_y = x^2e^{y}$, altså

$$df = 2xe^{y}\,dx + x^2e^{y}\,dy$$

Påstanden mangler $dy$-leddet. Den ville bare vært riktig dersom $y$ holdes fast, men da snakker vi om en partiell endring, ikke om differensialet.

Eksempel 2: Sann påstand som krever generelt argument

Påstand: En positiv funksjon med konstant elastisitet må være på formen $f(x) = Ax^{n}$.

Svar: Sant. Anta $\mathrm{El}_x f = n$ for alle $x>0$. Da er $\frac{d\ln f}{d\ln x} = n$, som integrert gir $\ln f = n\ln x + c$. Tar vi eksponentialfunksjonen på begge sider:

$$f(x) = e^{c}x^{n} = Ax^{n}, \qquad A = e^{c} > 0$$

Merk at det ikke holder å sjekke at $x^2$ har konstant elastisitet — påstanden gjelder alle funksjoner, så argumentet må være generelt.

Eksempel 3: Moteksempel på ett sekund

Påstand: En strengt konkav funksjon definert på hele $\mathbb{R}$ må ha et globalt maksimum.

Svar: Usant. La $f(x) = -e^{x}$. Da er $f''(x) = -e^{x} < 0$, så funksjonen er strengt konkav overalt. Men $f'(x) = -e^{x} < 0$ for alle $x$: funksjonen er strengt avtakende, har ingen stasjonærpunkter, og nærmer seg 0 uten å nå det.

Konkavitet garanterer bare at et stasjonærpunkt, dersom det finnes, er et globalt maksimum — ikke at et slikt punkt eksisterer.

Eksempel 4: Påstand om homogenitet

Påstand: $f(x,y) = x^2+y^3$ er homogen av grad 5.

Svar: Usant — funksjonen er ikke homogen i det hele tatt. Skaler begge argumenter:

$$f(tx,ty) = t^2x^2 + t^3y^3$$

Skulle $f$ vært homogen av grad $k$, måtte $t^2x^2+t^3y^3 = t^{k}(x^2+y^3)$ for alle $t>0$. Setter vi $y=0,\,x=1$, får vi $k=2$; setter vi $x=0,\,y=1$, får vi $k=3$. Kravene motsier hverandre.

Merk hvor mye sterkere dette svaret er enn bare «graden er 5 er feil»: vi har vist at ingen grad finnes.

Eksempel 5: Påstand om Lagrange-betingelser

Påstand: Førsteordensbetingelsene i et Lagrange-problem er tilstrekkelige for at et punkt er et maksimum.

Svar: Usant. Betingelsene $f'_x = \lambda g'_x$, $f'_y = \lambda g'_y$ og $g = m$ er nøyaktig de samme for et minimeringsproblem som for et maksimeringsproblem. Et punkt som oppfyller dem kan derfor like gjerne være et minimum eller et sadelpunkt.

Tilstrekkelighet krever ekstra struktur — for eksempel at målfunksjonen er konkav og det tillatte området konvekst. Er nyttefunksjonen logaritmisk og budsjettbetingelsen lineær, er begge vilkårene oppfylt, og da slipper man å sjekke andreordensbetingelsene.

Studieguide: Sant eller usant – matematiske påstander