Oversikt

Differensialer og lineær approksimasjon forekommer i 12 av de 16 eksamenssettene i arkivet, og i høst 2018 utgjorde temaet alene 22 av 100 poeng. Ideen er enkel: erstatt en komplisert funksjon med tangenten (eller tangentplanet) i et punkt, og bruk den til å anslå små endringer. Samme idé ligger bak elastisitetsformlene, prosentregningen i vekstmodeller og nivåkurvenes stigningstall.

Differensialet

For én variabel er differensialet

$$df = f'(x)\,dx$$

For to variabler får du ett ledd per variabel:

$$df = f'_x\,dx + f'_y\,dy$$

Dette er den aller vanligste kilden til tapte poeng: mange skriver bare $dx$-leddet. Har funksjonen to argumenter, har differensialet to ledd — punktum.

Lineær approksimasjon

Tangentlinjen i $x_0$ er

$$L(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0)$$

og tangentplanet i $(x_0,y_0)$ er

$$L(x,y) = f(x_0,y_0) + f'_x(x_0,y_0)(x-x_0) + f'_y(x_0,y_0)(y-y_0)$$

Framgangsmåten på eksamen er alltid den samme: regn ut funksjonsverdien i punktet, regn ut begge partielle deriverte i punktet, sett inn, og gang ut til en pen form.

Tre approksimasjoner er verdt å kunne utenat, alle rundt $x_0 = 0$:

$\ln(1+x) \approx x$
$e^{x} \approx 1+x$
$(1+x)^{n} \approx 1+nx$

Tilvekstformelen

Brukt på endelige (men små) endringer heter differensialet tilvekstformelen:

$$\Delta f \approx f'_x\Delta x + f'_y\Delta y$$

Et typisk eksamensspørsmål er å anslå $f(0{,}98,\,0{,}01)$ fra utviklingspunktet $(1,0)$ og deretter regne ut approksimasjonsfeilen når den eksakte verdien er oppgitt.

Hvor stor er feilen?

Feilen styres ikke av avstanden alene, men av krumningen:

$$f(x) - L(x) \approx \tfrac12 f''(x_0)(x-x_0)^2$$

Feilen vokser altså omtrent med kvadratet av avstanden. Halverer du avstanden, blir feilen omtrent en fjerdedel. To fortegnsregler følger direkte:

Er $f$ konveks ($f'' \ge 0$), ligger tangenten under grafen, og approksimasjonen undervurderer.
Er $f$ konkav ($f'' \le 0$), ligger tangenten over grafen, og approksimasjonen overvurderer.

Er begge partielle deriverte null i utviklingspunktet, blir den lineære approksimasjonen konstant: punktet er stasjonært, og hele endringen er en andreordenseffekt.

Prosentvis endring

Deler du differensialet på funksjonsverdien, får du en formel for relative endringer. For $Q = AK^{\alpha}L^{\beta}$:

$$\frac{dQ}{Q} = \alpha\frac{dK}{K} + \beta\frac{dL}{L}$$

Vektene er nettopp de partielle elastisitetene. Dette er den raskeste veien gjennom oppgaver av typen «kapitalen øker 2 %, arbeidskraften faller 1 % — hva skjer med produksjonen?». Merk at nivåkonstanten $A$ faller ut, slik at svaret ikke avhenger av hvor stor bedriften er.

Samme regning gir sammenhengen til elastisiteter generelt:

$$\frac{\Delta f}{f} \approx \mathrm{El}_x f \cdot \frac{\Delta x}{x}$$

Differensialet og nivåkurver

Langs en nivåkurve er $f$ konstant, altså $df = 0$:

$$f'_x\,dx + f'_y\,dy = 0 \quad\Longrightarrow\quad y'(x) = -\frac{f'_x}{f'_y}$$

Dette er den samme formelen som du får ved implisitt derivasjon, og den forklarer hvorfor minustegnet er der. Er $f'_y = 0$, er uttrykket udefinert og tangenten loddrett.

Eksempel 1: Approksimasjon i to variabler med feilanslag

Oppgave: Finn den lineære approksimasjonen til $f(x,y) = x^2y + 2y^2 - 3x$ rundt $(1,2)$, og anslå $f(1{,}03,\,1{,}98)$.

Løsning: $f(1,2) = 2+8-3 = 7$, $f'_x = 2xy-3 = 1$ og $f'_y = x^2+4y = 9$. Dermed

$$L(x,y) = 7 + 1(x-1) + 9(y-2) = x + 9y - 12$$

Innsatt: $L = 1{,}03 + 17{,}82 - 12 = 6{,}85$. Eksakt verdi er $6{,}851382$, så feilen er bare $0{,}0014$.

Eksempel 2: Prosentvis endring i kostnadene

Oppgave: $C(w,r,Y) = Yw^{0{,}5}r^{0{,}5}$. Lønna øker 4 %, kapitalprisen faller 2 %, produksjonen er uendret. Anslå kostnadsendringen.

Løsning: Eksponentene er de partielle elastisitetene, så

$$\frac{dC}{C} = 0{,}5\cdot 0{,}04 + 0{,}5\cdot(-0{,}02) + 0 = 0{,}01$$

Kostnadene øker med omtrent 1 %.

Eksempel 3: Når krumningen ødelegger

Oppgave: Anslå $1{,}02^{10}$ med lineær approksimasjon rundt 0, og forklar feilen.

Løsning: $g(x) = (1+x)^{10}$ gir $L(x) = 1+10x$, altså $L(0{,}02) = 1{,}20$. Eksakt er $1{,}2190$, så feilen er $0{,}019$. Feilanslaget $\tfrac12 g''(0)x^2 = \tfrac12\cdot 90\cdot 0{,}0004 = 0{,}018$ treffer nesten nøyaktig. Sammenlign med $e^{3x}$, der $f''(0)=9$ gir en ti ganger mindre feil ved samme $x$. Det er krumningen, ikke avstanden alene, som avgjør.

Eksempel 4: Differensial med generell funksjon

Oppgave: Finn $dH$ når $H(x,y) = h(u)$ med $u = x^2+y^2$ og $h$ er en vilkårlig deriverbar funksjon.

Løsning: Kjerneregelen gir $H'_x = h'(u)\cdot 2x$ og $H'_y = h'(u)\cdot 2y$, altså

$$dH = 2h'(x^2+y^2)\left(x\,dx + y\,dy\right)$$

Oppgaver med generelle funksjoner tester om du forstår strukturen i kjerneregelen, ikke om du kan derivere et bestemt uttrykk. Skriv alltid $h'(u)$ symbolsk og sett inn for $u$ helt til slutt.

Eksempel 5: Approksimasjon i et stasjonærpunkt

Oppgave: $g(x,y) = e^{-xy}+xy$. Anslå $g(1{,}04,\,0{,}03)$ fra utviklingspunktet $(1,0)$.

Løsning: De partielle deriverte er $g'_x = y(1-e^{-xy})$ og $g'_y = x(1-e^{-xy})$. I punktet $(1,0)$ er $xy = 0$, altså $e^{-xy}=1$, og begge deriverte blir null. Funksjonsverdien er $g(1,0)=1$, så

$$g(1{,}04,\,0{,}03) \approx 1 + 0\cdot 0{,}04 + 0\cdot 0{,}03 = 1$$

Eksakt verdi er $1{,}000482$, altså en feil på $0{,}00048$. At approksimasjonen blir konstant, skyldes at $(1,0)$ er et stasjonærpunkt: til førsteordens nøyaktighet endrer ikke $g$ seg i det hele tatt.

Studieguide: Lineær approksimasjon og differensialer