Oversikt

Lagranges metode brukes til a optimere en funksjon $f(x,y)$ under en bibetingelse $g(x,y) = c$. Dette er Oppgave 3 pa eksamen (20 poeng) og har alltid okonomisk kontekst: nyttemaksimering, kostnadsminimering, eller ressursallokering.

Fremgangsmate

Sett opp Lagrange-funksjonen:
$$\mathcal{L}(x, y, \lambda) = f(x,y) - \lambda(g(x,y) - c)$$
Finn forsteordensbetingelsene (FOB):
$$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = f_x - \lambda g_x = 0 \quad (*)$$
$$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} = f_y - \lambda g_y = 0 \quad (**)$$
$$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} = -(g(x,y) - c) = 0 \quad (***)$$
Los systemet: Fra (*) og (**), eliminer $\lambda$ for a fa en relasjon mellom $x$ og $y$. Sett dette inn i (***) for a finne optimale verdier.

Nyttemaksimering

Det vanligste Lagrange-problemet pa eksamen: Maksimer $U(x,y)$ gitt budsjettbetingelsen $px + qy = m$.

Pa H2024 Oppgave 3: Maksimer $U(x,y) = \alpha\sqrt{x} + (1-\alpha)\sqrt{y}$ gitt $px + qy = 1$. FOB gir $\frac{\alpha}{2\sqrt{x}} = \lambda p$ og $\frac{(1-\alpha)}{2\sqrt{y}} = \lambda q$. Ved a dele disse pa hverandre eliminerer vi $\lambda$ og finner $x$ som funksjon av $y$.

Pa H2023 Oppgave 3: Finn maks/min for $f(x,y) = x^2 + y^3$ gitt $x + \frac{y^2}{2} = 0$. Her er konteksten ren matematikk, men metoden er identisk.

Elastisiteter til optimal losning

Etter a ha funnet den optimale losningen $x^*(p,q)$ og $y^*(p,q)$ kan eksamen be deg beregne elastisiteter:

$$El_p y^* = \frac{p}{y^*} \cdot \frac{\partial y^*}{\partial p}$$

Pa H2024 Oppgave 3c matte studentene finne $El_p y^*$ og $El_q y^*$ for $y^*(p,q,\frac{1}{2}) = \frac{p}{q(q+p)}$. Dette krever derivasjon av en brok med hensyn pa $p$ og $q$, etterfulgt av elastisitetsformelen.

Tolkning av lambda

Lagrange-multiplikatoren $\lambda$ har en viktig tolkning: den maler marginalverdien av a lette bibetingelsen. I nyttemaksimering er $\lambda$ marginalnytten av inntekt. I kostnadsminimering er $\lambda$ marginalkostnaden av a oke produksjonen.

Eksempel 1: Nyttemaksimering (H2024, Oppgave 3)

Oppgave: Maksimer $U(x,y) = \alpha\sqrt{x} + (1-\alpha)\sqrt{y}$ gitt $px + qy = 1$.

Losning: Lagrange-funksjonen: $\mathcal{L} = \alpha x^{1/2} + (1-\alpha)y^{1/2} - \lambda(px + qy - 1)$

FOB:

$$\frac{\alpha}{2}x^{-1/2} = \lambda p \quad (*), \quad \frac{(1-\alpha)}{2}y^{-1/2} = \lambda q \quad (**)$$

Del (*) pa (**): $\frac{\alpha}{1-\alpha} \cdot \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}} = \frac{p}{q}$

Los for $x$: $x = \left(\frac{\alpha}{1-\alpha}\right)^2 \left(\frac{q}{p}\right)^2 y$

Sett inn i bibetingelsen $px + qy = 1$ og los for $y^*$:

$$y^* = \frac{1}{\left[\left(\frac{\alpha}{1-\alpha}\right)^2 \frac{q}{p} + 1\right]q}$$

Tilsvarende: $x^* = \frac{1}{\left[1 + \frac{p}{q}\left(\frac{1-\alpha}{\alpha}\right)^2\right]p}$

Eksempel 2: Lagrange uten okonomisk kontekst (H2023, Oppgave 3)

Oppgave: Finn maks/min for $f(x,y) = x^2 + y^3$ gitt $x + \frac{y^2}{2} = 0$.

Losning: Lagrange: $\mathcal{L} = x^2 + y^3 - \lambda(x + \frac{y^2}{2})$

FOB: $2x = \lambda$ og $3y^2 = \lambda y$. Fra sistnevnte: $\lambda = 3y$ (for $y \neq 0$).

Dermed: $2x = 3y \implies x = \frac{3y}{2}$

Bibetingelse: $\frac{3y}{2} + \frac{y^2}{2} = 0 \implies y(y + 3) = 0$

Losninger: $(x,y) = (0, 0)$ og $(x,y) = (-\frac{9}{2}, -3)$.

Funksjonsverdier: $f(0,0) = 0$ og $f(-\frac{9}{2}, -3) = \frac{81}{4} - 27 = -\frac{27}{4}$.

Hoyest funksjonsverdi i $(0,0)$ og lavest i $(-\frac{9}{2}, -3)$.

Studieguide: Lagranges metode

Studieguide: Lagranges metode