Oversikt

Integrasjon er et lavfrekvent, men ikke ubetydelig tema på ECON1100. Det gir poeng i 5 av de 16 eksamenssettene i arkivet: tungt i vår 2018 (20 poeng) og utsatt vår 2018 (10 poeng), fraværende fra 2019 til 2024, og tilbake høsten 2025 i både ordinær og utsatt eksamen som «sant eller usant»-påstander verdt 5–7 poeng. Du bør altså beherske grunnteknikkene, men ikke bruke uforholdsmessig mye tid på temaet.

Ubestemte integraler

Det ubestemte integralet er mengden av alle antideriverte:

$$\int f(x)\,dx = F(x)+C \quad\text{der}\quad F'(x)=f(x)$$

Standardformlene:

$$\int x^{n}dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C \ (n\neq -1), \qquad \int\frac{1}{x}dx = \ln|x|+C$$

$$\int e^{ax}dx = \frac{1}{a}e^{ax}+C, \qquad \int a^{x}dx = \frac{a^{x}}{\ln a}+C$$

Absoluttverditegnet i den andre formelen er nødvendig fordi antideriverten også gjelder for negative $x$.

Verifisering ved derivasjon

Sier oppgaven «vis at integralet er …», er derivasjon av det oppgitte svaret nesten alltid raskere enn å regne ut integralet. Definisjonen sier at $\int f\,dx = F+C$ nøyaktig når $F' = f$, så en derivasjon er et fullstendig bevis. Oppgavetekster med hintet «ikke forsøk å løse integralet» ber eksplisitt om denne framgangsmåten.

Bestemte integraler

Analysens fundamentalteorem:

$$\int_{a}^{b}f(x)dx = F(b)-F(a)$$

Et bestemt integral er ikke det samme som et areal. Der $f < 0$ teller bidraget negativt. $\int_{-1}^{1}x^3dx = 0$, mens arealet mellom kurven og aksen er $\tfrac12$. Skal du finne et areal, del alltid opp ved nullpunktene.

Areal mellom kurver

$$A = \int_{a}^{b}\left(\text{øverste} - \text{nederste}\right)dx$$

Framgangsmåten er: finn skjæringspunktene ved å sette uttrykkene like, avgjør hvilken kurve som ligger øverst ved å teste ett punkt inne i intervallet, og integrer differansen.

Teknikker

Substitusjon virker når integranden inneholder en indre funksjon og (omtrent) dens deriverte som faktor. Sett $u = g(x)$ og $du = g'(x)dx$. Typiske tilfeller: $\int 2xe^{x^2}dx = e^{x^2}+C$ og $\int\frac{\ln x}{x}dx = \frac{(\ln x)^2}{2}+C$.

Delvis integrasjon er produktregelen lest baklengs:

$$\int uv'\,dx = uv - \int u'v\,dx$$

De tre du bør kunne: $\int xe^{x}dx = (x-1)e^{x}+C$, $\int\ln x\,dx = x\ln x - x + C$ og $\int x\ln x\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4}+C$.

Polynomdivisjon brukes når telleren har minst like høy grad som nevneren. $\frac{x^3}{x+1}$ skrives om til $x^2-x+1-\frac{1}{x+1}$ før integrasjon.

Uegentlige integraler

Med uendelig grense defineres integralet som en grenseverdi:

$$\int_{0}^{\infty}e^{-kx}dx = \lim_{b\to\infty}\left[-\tfrac{1}{k}e^{-kx}\right]_0^{b} = \frac{1}{k} \quad (k>0)$$

Dette resultatet dukker opp når man summerer en kontinuerlig strøm over uendelig horisont.

Økonomiske anvendelser

Integrasjon brukes til å gå fra grensestørrelser til totalstørrelser. Grensekostnaden $C'(Q)$ integreres til kostnadsfunksjonen, der integrasjonskonstanten er de faste kostnadene:

$$C'(Q) = 6+2Q, \quad C(0)=200 \quad\Longrightarrow\quad C(Q) = Q^2+6Q+200$$

Tilsvarende gir $\int_{5}^{10}R'(Q)dQ$ den samlede inntektsøkningen av å utvide produksjonen fra 5 til 10 enheter.

Eksempel 1: Areal mellom to kurver

Oppgave: Finn arealet avgrenset av $f(x)=x^2$ og $g(x)=4-x^2$.

Løsning: Skjæring: $x^2 = 4-x^2$ gir $x = \pm\sqrt2$. Test i $x=0$: $g(0)=4 > f(0)=0$, så $g$ ligger øverst.

$$A = \int_{-\sqrt2}^{\sqrt2}\left(4-2x^2\right)dx = \left[4x-\frac{2x^3}{3}\right]_{-\sqrt2}^{\sqrt2} = 8\sqrt2 - \frac{8\sqrt2}{3} = \frac{16\sqrt2}{3} \approx 7{,}54$$

Eksempel 2: Verifisering ved derivasjon

Oppgave: Vis at $\int\frac{1-\ln x}{x^2}dx = \frac{\ln x}{x}+C$ for $x>0$.

Løsning: Deriver høyresiden med brøkregelen:

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{\ln x}{x}\right) = \frac{\frac1x\cdot x - \ln x\cdot 1}{x^2} = \frac{1-\ln x}{x^2}$$

Den deriverte er lik integranden, altså holder identiteten. Merk at vi aldri regnet ut integralet.

Eksempel 3: Fra grensestørrelse til profitt

Oppgave: $R'(Q)=100-4Q$ med $R(0)=0$, og $C'(Q)=20+2Q$ med faste kostnader 150. Finn profittmaksimerende kvantum.

Løsning: Integrasjon gir $R(Q)=100Q-2Q^2$ og $C(Q)=20Q+Q^2+150$, altså

$$\Pi(Q) = 80Q-3Q^2-150$$

$\Pi'(Q)=80-6Q=0$ gir $Q^{*}=\frac{40}{3}\approx 13{,}33$. Siden $\Pi''=-6<0$, er dette et globalt maksimum, og maksimal profitt er $\frac{1600}{3}-150 \approx 383{,}3$.

Eksempel 4: Delvis integrasjon og substitusjon i samme oppgave

Oppgave: Regn ut $\int_{0}^{1}xe^{-x}dx$ og $\int_{1}^{e}\frac{\ln x}{x}dx$.

Løsning (a): Delvis integrasjon med $u=x$ og $v'=e^{-x}$, altså $v=-e^{-x}$:

$$\int xe^{-x}dx = -xe^{-x}+\int e^{-x}dx = -xe^{-x}-e^{-x}+C$$

$$\int_{0}^{1}xe^{-x}dx = \left(-e^{-1}-e^{-1}\right)-\left(0-1\right) = 1-\frac{2}{e} \approx 0{,}264$$

Løsning (b): Substitusjon $u=\ln x$, $du=\frac{dx}{x}$. Grensene blir $u=0$ og $u=1$:

$$\int_{1}^{e}\frac{\ln x}{x}dx = \int_{0}^{1}u\,du = \frac12$$

Legg merke til at grensene byttes sammen med variabelen — det er den ryddigste framgangsmåten.

Eksempel 5: Uendelig inntektsstrøm

Oppgave: En inntektsstrøm har raten $f(t)=50e^{-0{,}1t}$. Hvor stor andel av den uendelige strømmen realiseres i de ti første periodene?

Løsning: Den uendelige strømmen er $\int_{0}^{\infty}50e^{-0{,}1t}dt = \frac{50}{0{,}1}=500$. De ti første:

$$\int_{0}^{10}50e^{-0{,}1t}dt = -500\left[e^{-0{,}1t}\right]_0^{10} = 500\left(1-e^{-1}\right) \approx 316{,}06$$

Andelen er $\frac{316{,}06}{500} = 1-e^{-1} \approx 63{,}2\;\%$ — uavhengig av nivåfaktoren 50.

Studieguide: Integrasjon

Studieguide: Integrasjon