Oversikt

Homogene funksjoner gir poeng i 11 av de 16 eksamenssettene i arkivet — og i 6 av de 8 nyeste. Temaet dukker opp både som egen oppgave (15 poeng i utsatt høst 2023 og utsatt høst 2024) og som fast «sant eller usant»-påstand. Sammenhengen med skalaavkastning gjør det til et av de mest økonomisk meningsbærende temaene i emnet.

Definisjon

$$f(tx,ty) = t^{k}f(x,y) \qquad\text{for alle } t > 0$$

Kravet må gjelde for alle positive $t$, ikke bare for én utvalgt verdi. Metoden er alltid den samme: erstatt $x$ med $tx$ og $y$ med $ty$, forenkl, og se om du kan trekke ut en felles faktor $t^{k}$.

For polynomer finnes en snarvei: er alle ledd av samme samlede grad, er polynomet homogent av den graden. Er gradene ulike, er funksjonen ikke homogen i det hele tatt. $x^2+y^3$ er derfor ikke homogen, og heller ikke $x^2+y^2+1$ — konstantleddet har grad 0.

Standardgrader

Cobb-Douglas $AK^{a}L^{b}$: grad $a+b$.
CES $(K^{\gamma}+L^{\gamma})^{\alpha/\gamma}$: grad $\alpha$. Merk at $\gamma$ faller helt ut — $\gamma$ styrer substitusjonsmulighetene, $\alpha$ skalaavkastningen.
Kvotient $f/g$ med grader $m$ og $n$: grad $m-n$.
Sammensetning $\left(f\right)^{m}$ med $f$ av grad $k$: grad $km$.

Summer er derimot bare homogene når leddene har samme grad, og $\ln f$ er aldri homogen når $f$ er det (skalering gir et additivt ledd $k\ln t$, ikke en multiplikativ faktor).

Skalaavkastning

Graden tolkes direkte som skalaavkastning når $f$ er en produktfunksjon:

$k = 1$: konstant skalaavkastning — dobles alt, dobles produksjonen.
$k > 1$: tiltakende skalaavkastning.
$k < 1$: avtakende skalaavkastning.

Regnetypen som går igjen: «bedriften produserer $Y$ enheter, alle faktorer skaleres med $t$ — hva blir ny produksjon?» Svaret er $t^{k}Y$. Motsatt vei: skal produksjonen dobles ved grad $k$, må $t = 2^{1/k}$.

Eulers teorem

$$x f'_x + y f'_y = k\,f(x,y)$$

Beviset er kort: deriver $f(tx,ty)=t^{k}f(x,y)$ med hensyn på $t$, og sett $t=1$. Deler man på $f$, får man den svært nyttige sammenhengen

$$\mathrm{El}_x f + \mathrm{El}_y f = k$$

Summen av de partielle elastisitetene er altså homogenitetsgraden — en effektiv kontroll på egne utregninger.

Den økonomiske konsekvensen ved $k=1$ er sentral: avlønnes faktorene etter grenseproduktivitet, er $rK+wL = p\left(KF'_K + LF'_L\right) = pF$. Faktorutbetalingene er nøyaktig lik produksjonsverdien, og bedriften går i null. Med $k = 1{,}3$ ville utbetalingene overstige produksjonsverdien med 30 prosent.

De partielle deriverte

Er $f$ homogen av grad $k$, er $f'_x$ homogen av grad $k-1$, og de andrederiverte av grad $k-2$. Dette følger av å derivere definisjonen: kjerneregelen gir en ekstra faktor $t$ på venstresiden.

Ved konstant skalaavkastning ($k=1$) blir grenseproduktivitetene homogene av grad 0. De avhenger da bare av faktorforholdet $K/L$, ikke av bedriftens størrelse. En liten og en stor bedrift med samme kapitalintensitet har nøyaktig samme grenseproduktivitet av arbeidskraft.

Homogenitet av grad 0

$f(tx,ty)=f(x,y)$ betyr at funksjonen er konstant langs enhver stråle ut fra origo. Setter man $t=1/x$, får man $f(x,y) = f\!\left(1, \frac{y}{x}\right)$: funksjonen avhenger bare av forholdet. Grensenyttebrøken $U'_x/U'_y$ er alltid homogen av grad 0 når $U$ er homogen, og det er nettopp dette som gjør preferansene homotetiske: forbrukssammensetningen avhenger bare av prisforholdet, ikke av inntekten.

Eksempel 1: Homogenitetstest med kvotient

Oppgave: Er $P(x,y) = \dfrac{x^3+y^3}{x+y}$ homogen? Bedriften produserer 600 med $(30,20)$. Hva produserer den med $(60,40)$?

Løsning:

$$P(tx,ty) = \frac{t^3(x^3+y^3)}{t(x+y)} = t^{2}P(x,y)$$

Homogen av grad 2, altså tiltakende skalaavkastning. Siden $(60,40) = 2\cdot(30,20)$, er $t=2$ og

$$P(60,40) = 2^2\cdot 600 = 2400$$

Skal produksjonen dobles, må $t^2 = 2$, altså $t=\sqrt2$: en økning på ca. 41,4 % i begge faktorer.

Eksempel 2: Eulers teorem som kontroll

Oppgave: Finn $\mathrm{El}_x f + \mathrm{El}_y f$ for $f(x,y)=\dfrac{x^2y^2}{x+y}$, og bekreft med en direkte homogenitetstest.

Løsning: Brøkregelen for elastisiteter gir

$$\mathrm{El}_x f = 2 - \frac{x}{x+y}, \qquad \mathrm{El}_y f = 2 - \frac{y}{x+y}$$

Summen blir $4 - \frac{x+y}{x+y} = 3$. Direkte test:

$$f(tx,ty) = \frac{t^2x^2t^2y^2}{t(x+y)} = t^{3}f(x,y)$$

Grad 3 i begge tilfeller — utregningen er bekreftet.

Eksempel 3: Ikke-homogen funksjon

Oppgave: Vis at $f(x,y)=x^2+y^3$ ikke er homogen.

Løsning: $f(tx,ty) = t^2x^2 + t^3y^3$. Skulle funksjonen vært homogen av en grad $k$, måtte $t^2x^2+t^3y^3 = t^{k}(x^2+y^3)$ for alle $t>0$.

Setter vi $y=0$, $x=1$, får vi $t^2 = t^{k}$ for alle $t$, altså $k=2$. Setter vi $x=0$, $y=1$, får vi $t^3 = t^{k}$, altså $k=3$. Kravene motsier hverandre, så ingen grad finnes.

Dette argumentet er sterkere enn å bare avvise én foreslått grad, og det er formen sensorveiledningene forventer.

Eksempel 4: CES og substitusjonsmuligheter

Oppgave: Vis at $F(K,L) = (K^{\gamma}+L^{\gamma})^{\alpha/\gamma}$ er homogen, og finn graden. Når gir funksjonen konstant skalaavkastning?

Løsning:

$$F(tK,tL) = \left(t^{\gamma}K^{\gamma}+t^{\gamma}L^{\gamma}\right)^{\alpha/\gamma} = \left(t^{\gamma}\left(K^{\gamma}+L^{\gamma}\right)\right)^{\alpha/\gamma} = t^{\alpha}F(K,L)$$

Funksjonen er homogen av grad $\alpha$, og gir konstant skalaavkastning nøyaktig når $\alpha = 1$.

Parameteren $\gamma$ forsvinner helt fra graden. Den styrer i stedet substitusjonselastisiteten $\sigma = \frac{1}{\gamma-1}$, altså hvor lett faktorene kan erstatte hverandre. Dette er den store fordelen med CES-formen: skalaavkastning og substitusjonsmuligheter kan varieres uavhengig.

Eksempel 5: Homotetiske preferanser

Oppgave: Vis at $U(x,y)=x^{1/3}y^{2/3}$ er homogen, og forklar hva det betyr for konsumentens tilpasning når inntekten dobles.

Løsning: $U(tx,ty) = t^{1/3}x^{1/3}t^{2/3}y^{2/3} = tU(x,y)$, altså homogen av grad 1.

Grensenyttene er $U'_x = \tfrac13x^{-2/3}y^{2/3}$ og $U'_y = \tfrac23x^{1/3}y^{-1/3}$, slik at

$$\frac{U'_x}{U'_y} = \frac12\cdot\frac{y}{x}$$

Dette er homogent av grad 0 og avhenger bare av forholdet $y/x$. Optimum krever at brøken er lik prisforholdet. Er prisene uendret, må $y/x$ være uendret i det nye optimum: konsumenten dobler mengden av begge goder og holder sammensetningen fast.

Preferansene er altså homotetiske, inntektsekspansjonsstien er en rett linje gjennom origo, og begge inntektselastisitetene er lik 1.

Studieguide: Homogene funksjoner og skalaavkastning