Oversikt

Summetegn og rekker forekommer i 9 av de 16 eksamenssettene i ECON1100-arkivet — oftest som en «sant eller usant»-påstand verdt 5–8 poeng, men høsten 2021 som en hel oppgave på 10 poeng der summeringsreglene var nøkkelen til å løse et nyttemaksimeringsproblem med $n$ goder. Temaet er lite i omfang, men gir lettjente poeng dersom reglene sitter.

Summetegnet

Notasjonen $\sum_{i=1}^{n}a_i$ betyr $a_1 + a_2 + \dots + a_n$. Indeksen $i$ er en «dummy»; navnet spiller ingen rolle, bare grensene og leddene. Tre regler dekker det meste:

Konstantledd utenfor: $\sum_{i=1}^{n}ca_i = c\sum_{i=1}^{n}a_i$
Sum av konstanter: $\sum_{i=1}^{n}c = cn$
Additivitet: $\sum_{i=1}^{n}(a_i+b_i) = \sum a_i + \sum b_i$

Merk hva som ikke gjelder: $\sum a_ib_i \neq \left(\sum a_i\right)\left(\sum b_i\right)$ og $\sum a_i^2 \neq \left(\sum a_i\right)^2$. Begge er faste «usant»-påstander, og et enkelt moteksempel med $n=2$ og alle ledd lik 1 avviser dem på én linje.

Indeksskift og oppdeling

En sum kan alltid deles ved et hvilket som helst mellompunkt:

$$\sum_{i=1}^{5}i^2 + \sum_{i=6}^{10}i^2 = \sum_{i=1}^{10}i^2$$

Og grensene kan forskyves ved substitusjon: setter du $j = k-2$, blir $\sum_{k=3}^{8}(k-2)^2 = \sum_{j=1}^{6}j^2$. Dette er ofte den raskeste veien til et kjent standardresultat.

Aritmetiske summer

De to standardformlene er

$$\sum_{i=1}^{n}i = \frac{n(n+1)}{2}, \qquad \sum_{i=1}^{n}i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$

Den første utledes ved å skrive summen forlengs og baklengs og legge sammen: hvert av de $n$ parene summerer til $n+1$, altså $2S = n(n+1)$.

For en generell aritmetisk rekke med første ledd $a_1$, differanse $d$ og $k$ ledd er summen antall ledd ganger gjennomsnittet av første og siste ledd.

Geometriske rekker

Den endelige formelen er

$$\sum_{t=0}^{n-1}k^{t} = \frac{1-k^{n}}{1-k}, \qquad k \neq 1$$

Den utledes ved å gange summen med $k$ og trekke fra den opprinnelige; alle mellomleddene faller bort. Lar vi $n \to \infty$ og $|k| < 1$, går $k^{n} \to 0$, og vi får

$$\sum_{t=0}^{\infty}k^{t} = \frac{1}{1-k}$$

For $|k| \ge 1$ divergerer rekken, fordi leddene ikke går mot null. At leddene går mot null er en nødvendig, men ikke tilstrekkelig betingelse for konvergens.

Starter summen i $t=1$ i stedet for $t=0$, trekker du bare fra leddet $k^{0}=1$. Det gir for eksempel $\sum_{t=1}^{\infty}(0{,}8)^{t} = 5-1 = 4$.

Derivasjon og approksimasjon av summer

Derivasjon er lineær, så en endelig sum deriveres ledd for ledd. Vær oppmerksom på at summeringsindeksen ofte dukker opp som en faktor via kjerneregelen:

$$f(x) = \sum_{n=3}^{5}g(nx) \quad\Longrightarrow\quad f'(x) = \sum_{n=3}^{5}n\,g'(nx)$$

Faktoren $n$ kan ikke settes utenfor summetegnet, fordi den varierer fra ledd til ledd. Tilsvarende er $h(x) = \sum_{i=3}^{5}x^{i}$ enkel å approksimere rundt $x_0=1$: $h(1) = 3$ og $h'(1) = 3+4+5 = 12$, altså $L(x) = 3+12(x-1)$.

Dobbeltsummer

Er summanden et produkt der hver faktor bare avhenger av én indeks, faktoriseres dobbeltsummen:

$$\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}a_ib_j = \left(\sum_{i=1}^{m}a_i\right)\left(\sum_{j=1}^{n}b_j\right)$$

Begrunnelsen er at $a_i$ er konstant i den indre summen og kan settes utenfor, og deretter er den indre summen konstant i den ytre.

Eksempel 1: Sumregler i praksis

Oppgave: Regn ut $\sum_{i=1}^{20}(5i+3)$.

Løsning: Del opp og bruk de to standardreglene:

$$\sum_{i=1}^{20}(5i+3) = 5\sum_{i=1}^{20}i + \sum_{i=1}^{20}3 = 5\cdot\frac{20\cdot 21}{2} + 3\cdot 20 = 1050+60 = 1110$$

Eksempel 2: Nyttemaksimering med $n$ goder

Oppgave: Maksimer $U = \frac{1}{1-\sigma}\sum_{i=1}^{n}x_i^{1-\sigma}$ gitt $\sum_{i=1}^{n}p x_i = m$, med $\sigma\in(0,1)$.

Løsning: Lagrange-funksjonen er $\mathcal{L} = \frac{1}{1-\sigma}\sum x_i^{1-\sigma} - \lambda\left(\sum px_i - m\right)$. Deriverer vi med hensyn på ett bestemt $x_i$, forsvinner alle andre ledd i begge summene:

$$x_i^{-\sigma} - \lambda p = 0$$

Høyresiden er lik for alle $i$, så alle $x_i$ er like. Bibetingelsen gir $pnx = m$, altså

$$x_i^{*} = \frac{m}{np}$$

Nøkkelen her var regelen $\sum_{i=1}^{n}c = cn$, ikke Lagrange-teknikken i seg selv.

Eksempel 3: Diskonterte strømmer

Oppgave: La $0<\beta<1$ og $V = \sum_{t=0}^{\infty}\beta^{t}\ln(c)$ med konstant $c$. Finn $V$, og sammenlign $\beta = 0{,}90$ med $\beta = 0{,}95$ når $c=e$.

Løsning: $\ln c$ er konstant og settes utenfor: $V = \frac{\ln c}{1-\beta}$. Med $\ln c = 1$ blir $V(0{,}90) = 10$ og $V(0{,}95) = 20$ — verdien dobles. Den deriverte $\frac{dV}{d\beta} = \frac{\ln c}{(1-\beta)^2}$ eksploderer når $\beta \to 1$, som er grunnen til at slike modeller er svært følsomme for diskonteringsfaktoren.

Eksempel 4: Endelig og uendelig geometrisk sum

Oppgave: Regn ut $\sum_{t=1}^{10}3\left(\tfrac12\right)^{t}$, og sammenlign med den uendelige summen.

Løsning: Trekk konstanten utenfor og skift indeks slik at summen starter i null:

$$\sum_{t=1}^{10}3\left(\tfrac12\right)^{t} = 3\cdot\tfrac12\sum_{t=0}^{9}\left(\tfrac12\right)^{t} = \frac{3}{2}\cdot\frac{1-\left(\tfrac12\right)^{10}}{1-\tfrac12} = 3\cdot\frac{1023}{1024} \approx 2{,}997$$

Den uendelige summen er $3\sum_{t=1}^{\infty}\left(\tfrac12\right)^{t} = 3\cdot 1 = 3$. Etter bare ti ledd er vi altså innenfor 0,3 promille av grenseverdien — geometriske rekker med liten kvotient konvergerer svært raskt.

Eksempel 5: Aritmetisk rekke med ukjent antall ledd

Oppgave: Regn ut $7+11+15+\dots+83$.

Løsning: Dette er en aritmetisk rekke med første ledd 7 og differanse 4. Finn først antall ledd:

$$83 = 7 + 4(k-1) \quad\Longrightarrow\quad k = 20$$

Summen er antall ledd ganger gjennomsnittet av første og siste ledd:

$$S = 20\cdot\frac{7+83}{2} = 20\cdot 45 = 900$$

Den vanligste feilen her er å regne $k = (83-7)/4 = 19$ og glemme å legge til det første leddet.

Studieguide: Følger, rekker og summetegn