Oversikt

Elastisiteter forekommer i 15 av de 16 eksamenssettene i ECON1100-arkivet, enten som egen deloppgave, som en «sant eller usant»-påstand, eller som avslutningen på et Lagrange-problem. Elastisiteten svarer på spørsmålet: hvor mange prosent endrer $f$ seg når $x$ endres med én prosent? Fordi svaret er dimensjonsløst, kan elastisiteter sammenlignes på tvers av varer, land og valutaer — og det er nettopp derfor økonomer bruker dem så mye.

Definisjon og logaritmisk form

Elastisiteten til en positiv, deriverbar funksjon defineres som

$$\mathrm{El}_x f(x) = \frac{x}{f(x)}\,f'(x)$$

Setter vi $v=\ln x$, får vi den ekvivalente formen

$$\mathrm{El}_x f = \frac{d\ln f}{d\ln x}$$

Elastisiteten er altså den deriverte på dobbelt-logaritmisk form. Denne formen er ofte den raskeste veien til svaret, særlig når uttrykket består av produkter og potenser.

Standardresultater du bør kunne utenat

$\mathrm{El}_x(Ax^{n}) = n$ — nivåkonstanten $A$ forkortes alltid bort.
$\mathrm{El}_x(e^{ax}) = ax$ — merk at denne ikke er konstant.
$\mathrm{El}_x(\ln x) = \dfrac{1}{\ln x}$
$\mathrm{El}_x\!\left(e^{f(x)}\right) = x f'(x)$

Potensfunksjonene er de eneste funksjonene med konstant elastisitet. Det følger av at $\frac{d\ln f}{d\ln x}=n$ integreres til $\ln f = n\ln x + c$, altså $f = Ax^{n}$. Derfor kalles slike funksjoner ofte «isoelastiske».

Regneregler

Elastisiteter oppfører seg som logaritmer:

Produkt: $\mathrm{El}_x(fg) = \mathrm{El}_x f + \mathrm{El}_x g$
Brøk: $\mathrm{El}_x(f/g) = \mathrm{El}_x f - \mathrm{El}_x g$
Sammensetning: $\mathrm{El}_x g(u(x)) = \mathrm{El}_u g \cdot \mathrm{El}_x u$
Sum: $\mathrm{El}_x(f+g) = \dfrac{f\,\mathrm{El}_x f + g\,\mathrm{El}_x g}{f+g}$ — et veid gjennomsnitt, ikke en sum

Legg merke til den vanligste fellen: elastisiteter adderes ved produkt, men multipliseres ved sammensetning. Blander man disse, faller alle poengene bort.

Partielle elastisiteter

For funksjoner av flere variabler defineres $\mathrm{El}_x f = \frac{x}{f}f'_x$, med $y$ holdt konstant. For et produkt av potenser $f = Ax^{a}y^{b}$ er de partielle elastisitetene rett og slett eksponentene $a$ og $b$. Dette gjør Cobb-Douglas-funksjoner ekstremt raske å behandle på eksamen.

Summen av de partielle elastisitetene har en egen tolkning: er $f$ homogen av grad $k$, følger det av Eulers teorem at

$$\mathrm{El}_x f + \mathrm{El}_y f = k$$

Elastisiteter i økonomisk tolkning

Etterspørselen $x(p)$ kalles elastisk når $|\mathrm{El}_p x| > 1$, uelastisk når $|\mathrm{El}_p x| < 1$ og enhetselastisk når $\mathrm{El}_p x = -1$. Sammenhengen med inntekten $R = p\,x(p)$ er

$$\mathrm{El}_p R = \mathrm{El}_p\,p + \mathrm{El}_p x = 1 + \mathrm{El}_p x$$

Inntekten øker altså med prisen når etterspørselen er uelastisk, og faller når den er elastisk. Maksimal inntekt oppnås nøyaktig der etterspørselen er enhetselastisk.

Krysspriselastisiteten forteller om godene er substitutter (positiv) eller komplementer (negativ), og inntektselastisiteten om godet er normalt (positiv) eller mindreverdig (negativ).

Substitusjonselastisitet

I produsentteori møter du $\sigma = \mathrm{El}_A B$, der $B = K/L$ er faktorintensiteten og $A$ er forholdet mellom grenseproduktivitetene (eller faktorprisene). For Cobb-Douglas er $|\sigma| = 1$. For CES-funksjonen $F = (K^{\gamma}+L^{\gamma})^{\alpha/\gamma}$ er

$$\frac{F'_K}{F'_L} = \left(\frac{K}{L}\right)^{\gamma-1} \quad\Longrightarrow\quad \sigma = \frac{1}{\gamma-1}$$

Fremgangsmåten er alltid den samme: finn brøken mellom de to partielle deriverte, forkort fellesfaktorene, løs for $B$ som en potens av $A$, og les av eksponenten.

Eksempel 1: Elastisitet av et sammensatt uttrykk

Oppgave: Finn $\mathrm{El}_x h$ for $h(x) = \dfrac{x^3 e^{2x}}{1+x}$, $x > 0$.

Løsning: Bruk regnereglene i stedet for å derivere. Delresultatene er $\mathrm{El}_x(x^3) = 3$, $\mathrm{El}_x(e^{2x}) = 2x$ og $\mathrm{El}_x(1+x) = \frac{x}{1+x}$.

$$\mathrm{El}_x h = 3 + 2x - \frac{x}{1+x}$$

Svaret er funnet uten en eneste derivasjon av $h$ selv.

Eksempel 2: Elastisiteter fra en Lagrange-løsning

Oppgave: En konsument maksimerer $U = \ln x + \ln y$ gitt $p_1x+p_2y=m$. Finn de tre elastisitetene til $x^{*}$.

Løsning: Førsteordensbetingelsene $\frac1x = \lambda p_1$ og $\frac1y = \lambda p_2$ gir $p_1x = p_2y = \frac{1}{\lambda}$. Innsatt i bibetingelsen: $\lambda = \frac{2}{m}$, altså

$$x^{*} = \frac{m}{2p_1} = \tfrac12\,m\,p_1^{-1}p_2^{0}$$

Elastisitetene leses direkte av eksponentene: $\mathrm{El}_{p_1}x^{*} = -1$, $\mathrm{El}_{p_2}x^{*} = 0$ og $\mathrm{El}_m x^{*} = 1$. Tolkning: utgiften på gode 1 er alltid halve budsjettet, det finnes ingen krysspriseffekt, og etterspørselen vokser proporsjonalt med inntekten.

Eksempel 3: Kostnadselastisitet og gjennomsnittskostnad

Oppgave: Vis at gjennomsnittskostnaden $AC = C/Q$ er minimal nøyaktig der $\mathrm{El}_Q C = 1$, og finn kvantumet for $C(Q) = 100+4Q+0{,}5Q^2$.

Løsning: Deriver $AC$:

$$AC'(Q) = \frac{C'(Q)Q - C(Q)}{Q^2} = 0 \iff \frac{QC'(Q)}{C(Q)} = 1$$

Med tallene: $(4+Q)Q = 100+4Q+0{,}5Q^2$, som forenkles til $0{,}5Q^2 = 100$, altså $Q = 10\sqrt{2}\approx 14{,}14$. Dette er punktet der grensekostnaden krysser gjennomsnittskostnaden.

Eksempel 4: Substitusjonselastisitet for CES

Oppgave: Finn $\sigma = \mathrm{El}_A B$ for $F(K,L) = (K^{\gamma}+L^{\gamma})^{\alpha/\gamma}$, der $A = F'_K/F'_L$ og $B = K/L$.

Løsning: Kjerneregelen med $u = K^{\gamma}+L^{\gamma}$ gir

$$F'_K = \alpha u^{\frac{\alpha}{\gamma}-1}K^{\gamma-1}, \qquad F'_L = \alpha u^{\frac{\alpha}{\gamma}-1}L^{\gamma-1}$$

Fellesfaktoren $\alpha u^{\alpha/\gamma - 1}$ forkortes, slik at $A = (K/L)^{\gamma-1} = B^{\gamma-1}$. Løser vi for $B$, får vi $B = A^{1/(\gamma-1)}$, altså

$$\sigma = \frac{1}{\gamma-1}$$

Siden $\gamma < 1$ er $\sigma$ negativ: blir kapital relativt dyrere, går bedriften over til mindre kapitalintensiv produksjon. Når $\gamma \to 0$, går $|\sigma| \to 1$, som er Cobb-Douglas-tilfellet.

Eksempel 5: Elastisitet langs en nivåkurve

Oppgave: $y$ er implisitt gitt ved $x^2y^3 = k$ med $x,y > 0$. Finn $\mathrm{El}_x y$.

Løsning: Ta logaritmen på begge sider — det gjør implisitt derivasjon nesten triviell:

$$2\ln x + 3\ln y = \ln k$$

Derivert med hensyn på $x$: $\frac{2}{x} + \frac{3}{y}y'(x) = 0$, altså $y'(x) = -\frac{2y}{3x}$. Da er

$$\mathrm{El}_x y = \frac{x}{y}\cdot\left(-\frac{2y}{3x}\right) = -\frac{2}{3}$$

Generelt gir $x^ay^b = k$ elastisiteten $-a/b$. Tolkning: en økning i $x$ på 1 % må motsvares av en reduksjon i $y$ på $2/3$ % for at produktet skal holde seg konstant.

Studieguide: Elastisiteter