Oversikt

Eksponential- og logaritmefunksjoner er sentrale i okonomisk modellering (vekstmodeller, nyttefunksjoner, diskontering) og dukker opp i nesten alle oppgaver pa eksamen. Solide ferdigheter i regneregler og derivasjon av disse funksjonene er nodvendig for a mestre hele pensum.

Eksponentialfunksjoner

Den naturlige eksponentialfunksjonen $e^x$ er definert for alle $x \in \mathbb{R}$, er strengt voksende, og tilfredsstiller $e^x > 0$ for alle $x$. Viktige regneregler:

$e^{a+b} = e^a \cdot e^b$
$e^{a-b} = \frac{e^a}{e^b}$
$(e^a)^b = e^{ab}$
$a^x = e^{x \ln a}$ for $a > 0$

Pa H2023 Oppgave 1b ble studentene bedt om a derivere $f(z) = e^{2z} \cdot 5^z$. Her ma man forst skrive om $5^z = e^{z \ln 5}$, slik at $f(z) = e^{(2 + \ln 5)z}$, og deretter derivere med kjerneregelen.

Logaritmer

Den naturlige logaritmen $\ln(x)$ er definert for $x > 0$ og er den inverse av $e^x$. Viktige regneregler:

$\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$
$\ln(a/b) = \ln(a) - \ln(b)$
$\ln(a^r) = r \ln(a)$
$\ln(e^x) = x$ og $e^{\ln x} = x$

Derivasjon

De sentrale derivasjonsreglene for disse funksjonene:

$$\frac{d}{dx} e^{f(x)} = f'(x) \cdot e^{f(x)}$$

$$\frac{d}{dx} \ln(f(x)) = \frac{f'(x)}{f(x)}$$

$$\frac{d}{dx} a^x = a^x \ln(a)$$

Disse brukes hyppig i Oppgave 1 (ren derivasjon). Pa H2024 brukte Oppgave 1c funksjonen $p(u,v) = v^2 u + \ln(u) v^3$, der de partiellderiverte krever kjennskap til $\frac{d}{du} \ln(u) = \frac{1}{u}$.

Bruk i okonomisk kontekst

Logaritmiske nyttefunksjoner ($U = \ln(xy)$) og eksponentielle vekstmodeller er vanlige pa eksamen. Lagrange-oppgaver bruker ofte $\sqrt{x} = x^{1/2}$ som kan sees pa som et spesialtilfelle av potensfunksjoner.

Eksempel 1: Derivasjon av sammensatt eksponentialfunksjon (H2023, Oppgave 1b)

Oppgave: Deriver $f(z) = e^{2z} \cdot 5^z$.

Losning: Skriv om: $5^z = e^{z \ln 5}$, slik at $f(z) = e^{2z} \cdot e^{z \ln 5} = e^{(2 + \ln 5)z}$.

$$f'(z) = (2 + \ln 5) \cdot e^{(2 + \ln 5)z} = (2 + \ln 5) \cdot e^{2z} \cdot 5^z$$

Alternativt kan man bruke produktregelen direkte: $f'(z) = 2e^{2z} \cdot 5^z + e^{2z} \cdot 5^z \ln 5 = (2 + \ln 5)e^{2z} \cdot 5^z$.

Eksempel 2: Partiellderivasjon med ln (H2024, Oppgave 1c)

Oppgave: Finn de forsteordens deriverte av $p(u,v) = v^2 u + \ln(u) v^3$ med hensyn pa alle variabler.

Losning:

$$\frac{\partial p}{\partial u} = v^2 + \frac{1}{u} v^3$$

$$\frac{\partial p}{\partial v} = 2vu + 3v^2 \ln(u)$$

Merk at $\ln(u)$ behandles som en konstant nar vi deriverer mhp. $v$, og vice versa.

Studieguide: Eksponential- og logaritmefunksjoner

Studieguide: Eksponential- og logaritmefunksjoner