eksamenssett
.no
Tren målrettet
Ungdomsskole/VGS
Høyskole
Ressurser
Skolenyttig
Forum
eksamenssett
.no
Tren målrettet
Ungdomsskole/VGS
Høyskole
Ressurser
Skolenyttig
Forum
eksamenssett
.no
Tren målrettet
Ungdomsskole/VGS
Høyskole
Ressurser
Skolenyttig
Forum
ECON1100
Cheat Sheet
Formler, begreper og oppsummering
Matematikk I
eksamenssett.no
Formler
Derivasjonsregler
•
d
d
x
x
n
=
n
x
n
−
1
\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1}
d
x
d
x
n
=
n
x
n
−
1
•
d
d
x
e
f
(
x
)
=
f
′
(
x
)
e
f
(
x
)
\frac{d}{dx} e^{f(x)} = f'(x)e^{f(x)}
d
x
d
e
f
(
x
)
=
f
′
(
x
)
e
f
(
x
)
•
d
d
x
ln
(
f
(
x
)
)
=
f
′
(
x
)
f
(
x
)
\frac{d}{dx} \ln(f(x)) = \frac{f'(x)}{f(x)}
d
x
d
ln
(
f
(
x
))
=
f
(
x
)
f
′
(
x
)
•
d
d
x
a
x
=
a
x
ln
(
a
)
\frac{d}{dx} a^x = a^x \ln(a)
d
x
d
a
x
=
a
x
ln
(
a
)
•
[
f
g
]
′
=
f
′
g
+
f
g
′
[fg]' = f'g + fg'
[
f
g
]
′
=
f
′
g
+
f
g
′
(Produktregelen)
•
[
f
g
]
′
=
f
′
g
−
f
g
′
g
2
\left[\frac{f}{g}\right]' = \frac{f'g - fg'}{g^2}
[
g
f
]
′
=
g
2
f
′
g
−
f
g
′
(Broekregelen)
•
[
f
(
g
(
x
)
)
]
′
=
f
′
(
g
(
x
)
)
⋅
g
′
(
x
)
[f(g(x))]' = f'(g(x)) \cdot g'(x)
[
f
(
g
(
x
))
]
′
=
f
′
(
g
(
x
))
⋅
g
′
(
x
)
(Kjerneregelen)
Integrasjonsregler
•
∫
x
n
d
x
=
x
n
+
1
n
+
1
+
C
(
n
≠
−
1
)
\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1)
∫
x
n
d
x
=
n
+
1
x
n
+
1
+
C
(
n
=
−
1
)
•
∫
1
x
d
x
=
ln
∣
x
∣
+
C
\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C
∫
x
1
d
x
=
ln
∣
x
∣
+
C
•
∫
e
a
x
d
x
=
1
a
e
a
x
+
C
\int e^{ax} \, dx = \frac{1}{a} e^{ax} + C
∫
e
a
x
d
x
=
a
1
e
a
x
+
C
•
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
F
(
b
)
−
F
(
a
)
\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
F
(
b
)
−
F
(
a
)
Lineaer approksimasjon
•
f
(
x
)
≈
f
(
a
)
+
f
′
(
a
)
(
x
−
a
)
f(x) \approx f(a) + f'(a)(x - a)
f
(
x
)
≈
f
(
a
)
+
f
′
(
a
)
(
x
−
a
)
(en variabel)
•
f
(
x
,
y
)
≈
f
(
a
,
b
)
+
f
x
(
a
,
b
)
(
x
−
a
)
+
f
y
(
a
,
b
)
(
y
−
b
)
f(x,y) \approx f(a,b) + f_x(a,b)(x-a) + f_y(a,b)(y-b)
f
(
x
,
y
)
≈
f
(
a
,
b
)
+
f
x
(
a
,
b
)
(
x
−
a
)
+
f
y
(
a
,
b
)
(
y
−
b
)
(to variabler)
Implisitt derivasjon og nivakurver
•
d
y
d
x
=
−
F
x
F
y
\frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y}
d
x
d
y
=
−
F
y
F
x
(Helning til nivakurven
F
(
x
,
y
)
=
c
F(x,y) = c
F
(
x
,
y
)
=
c
)
Elastisitet
•
E
l
x
f
(
x
)
=
x
f
(
x
)
⋅
f
′
(
x
)
El_x f(x) = \frac{x}{f(x)} \cdot f'(x)
E
l
x
f
(
x
)
=
f
(
x
)
x
⋅
f
′
(
x
)
Optimering i en variabel
•
FOB:
f
′
(
x
0
)
=
0
f'(x_0) = 0
f
′
(
x
0
)
=
0
•
AOB:
f
′
′
(
x
0
)
>
0
⟹
min
,
f
′
′
(
x
0
)
<
0
⟹
maks
f''(x_0) > 0 \implies \text{min}, \quad f''(x_0) < 0 \implies \text{maks}
f
′′
(
x
0
)
>
0
⟹
min
,
f
′′
(
x
0
)
<
0
⟹
maks
•
Voksende:
f
′
(
x
)
≥
0
f'(x) \geq 0
f
′
(
x
)
≥
0
, avtakende:
f
′
(
x
)
≤
0
f'(x) \leq 0
f
′
(
x
)
≤
0
•
Konveks:
f
′
′
(
x
)
≥
0
f''(x) \geq 0
f
′′
(
x
)
≥
0
, konkav:
f
′
′
(
x
)
≤
0
f''(x) \leq 0
f
′′
(
x
)
≤
0
Optimering i to variabler
•
FOB:
f
x
=
0
,
f
y
=
0
f_x = 0, \quad f_y = 0
f
x
=
0
,
f
y
=
0
•
Hessian:
D
=
f
x
x
f
y
y
−
(
f
x
y
)
2
D = f_{xx} f_{yy} - (f_{xy})^2
D
=
f
xx
f
yy
−
(
f
x
y
)
2
•
D
>
0
,
f
x
x
>
0
⟹
lokalt min
D > 0, f_{xx} > 0 \implies \text{lokalt min}
D
>
0
,
f
xx
>
0
⟹
lokalt min
•
D
>
0
,
f
x
x
<
0
⟹
lokalt maks
D > 0, f_{xx} < 0 \implies \text{lokalt maks}
D
>
0
,
f
xx
<
0
⟹
lokalt maks
•
D
<
0
⟹
sadelpunkt
D < 0 \implies \text{sadelpunkt}
D
<
0
⟹
sadelpunkt
Lagrange-optimering
•
L
=
f
(
x
,
y
)
−
λ
(
g
(
x
,
y
)
−
c
)
\mathcal{L} = f(x,y) - \lambda(g(x,y) - c)
L
=
f
(
x
,
y
)
−
λ
(
g
(
x
,
y
)
−
c
)
•
FOB:
f
x
=
λ
g
x
,
f
y
=
λ
g
y
,
g
(
x
,
y
)
=
c
f_x = \lambda g_x, \quad f_y = \lambda g_y, \quad g(x,y) = c
f
x
=
λ
g
x
,
f
y
=
λ
g
y
,
g
(
x
,
y
)
=
c
•
f
x
f
y
=
g
x
g
y
\frac{f_x}{f_y} = \frac{g_x}{g_y}
f
y
f
x
=
g
y
g
x
(Tangentbetingelsen)
Logaritme- og eksponentialregler
•
ln
(
a
b
)
=
ln
(
a
)
+
ln
(
b
)
\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)
ln
(
ab
)
=
ln
(
a
)
+
ln
(
b
)
•
ln
(
a
/
b
)
=
ln
(
a
)
−
ln
(
b
)
\ln(a/b) = \ln(a) - \ln(b)
ln
(
a
/
b
)
=
ln
(
a
)
−
ln
(
b
)
•
ln
(
a
r
)
=
r
ln
(
a
)
\ln(a^r) = r \ln(a)
ln
(
a
r
)
=
r
ln
(
a
)
•
a
x
=
e
x
ln
a
a^x = e^{x \ln a}
a
x
=
e
x
l
n
a
•
e
a
+
b
=
e
a
⋅
e
b
e^{a+b} = e^a \cdot e^b
e
a
+
b
=
e
a
⋅
e
b
Nøkkelformler per tema
Funksjoner av en og flere variabler
•
f
(
x
)
≈
f
(
a
)
+
f
′
(
a
)
(
x
−
a
)
f(x) \approx f(a) + f'(a)(x - a)
f
(
x
)
≈
f
(
a
)
+
f
′
(
a
)
(
x
−
a
)
(Lineaer approksimasjon i en variabel)
•
f
(
x
,
y
)
≈
f
(
a
,
b
)
+
f
x
(
a
,
b
)
(
x
−
a
)
+
f
y
(
a
,
b
)
(
y
−
b
)
f(x,y) \approx f(a,b) + f_x(a,b)(x-a) + f_y(a,b)(y-b)
f
(
x
,
y
)
≈
f
(
a
,
b
)
+
f
x
(
a
,
b
)
(
x
−
a
)
+
f
y
(
a
,
b
)
(
y
−
b
)
(Lineaer approksimasjon i to variabler)
•
f
−
1
(
f
(
x
)
)
=
x
f^{-1}(f(x)) = x
f
−
1
(
f
(
x
))
=
x
(Invers funksjon)
Eksponential- og logaritmefunksjoner
•
d
d
x
e
f
(
x
)
=
f
′
(
x
)
⋅
e
f
(
x
)
\frac{d}{dx} e^{f(x)} = f'(x) \cdot e^{f(x)}
d
x
d
e
f
(
x
)
=
f
′
(
x
)
⋅
e
f
(
x
)
•
a
x
=
e
x
ln
a
a^x = e^{x \ln a}
a
x
=
e
x
l
n
a
(Omskrivingsregel)
•
ln
(
a
b
)
=
ln
(
a
)
+
ln
(
b
)
,
ln
(
a
r
)
=
r
ln
(
a
)
\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b), \quad \ln(a^r) = r \ln(a)
ln
(
ab
)
=
ln
(
a
)
+
ln
(
b
)
,
ln
(
a
r
)
=
r
ln
(
a
)
Derivasjon og implisitt derivasjon
•
∂
f
∂
x
\frac{\partial f}{\partial x}
∂
x
∂
f
: deriver mhp. \(x\), hold \(y\) konstant
•
d
y
d
x
=
−
F
x
F
y
\frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y}
d
x
d
y
=
−
F
y
F
x
(Implisitt derivasjon for \(F(x,y) = c\))
Integrasjon
•
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
F
(
b
)
−
F
(
a
)
\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
F
(
b
)
−
F
(
a
)
(Analysens fundamentalteorem)
•
∫
u
d
v
=
u
v
−
∫
v
d
u
\int u \, dv = uv - \int v \, du
∫
u
d
v
=
uv
−
∫
v
d
u
(Delvis integrasjon)
Optimering (stasjonaerpunkter og andreordenstest)
•
FOB (en variabel):
f
′
(
x
0
)
=
0
f'(x_0) = 0
f
′
(
x
0
)
=
0
•
AOB (en variabel):
f
′
′
(
x
0
)
>
0
⟹
min
,
f
′
′
(
x
0
)
<
0
⟹
maks
f''(x_0) > 0 \implies \text{min}, \quad f''(x_0) < 0 \implies \text{maks}
f
′′
(
x
0
)
>
0
⟹
min
,
f
′′
(
x
0
)
<
0
⟹
maks
•
FOB (to variabler):
f
x
=
0
,
f
y
=
0
f_x = 0, \quad f_y = 0
f
x
=
0
,
f
y
=
0
•
Hessian-determinant:
D
=
f
x
x
f
y
y
−
(
f
x
y
)
2
D = f_{xx} f_{yy} - (f_{xy})^2
D
=
f
xx
f
yy
−
(
f
x
y
)
2
•
D
>
0
,
f
x
x
>
0
⟹
lokalt min
;
D
>
0
,
f
x
x
<
0
⟹
lokalt maks
;
D
<
0
⟹
sadelpunkt
D > 0, f_{xx} > 0 \implies \text{lokalt min}; \quad D > 0, f_{xx} < 0 \implies \text{lokalt maks}; \quad D < 0 \implies \text{sadelpunkt}
D
>
0
,
f
xx
>
0
⟹
lokalt min
;
D
>
0
,
f
xx
<
0
⟹
lokalt maks
;
D
<
0
⟹
sadelpunkt
Lagranges metode
•
L
(
x
,
y
,
λ
)
=
f
(
x
,
y
)
−
λ
(
g
(
x
,
y
)
−
c
)
\mathcal{L}(x,y,\lambda) = f(x,y) - \lambda(g(x,y) - c)
L
(
x
,
y
,
λ
)
=
f
(
x
,
y
)
−
λ
(
g
(
x
,
y
)
−
c
)
(Lagrange-funksjonen)
•
f
x
f
y
=
g
x
g
y
\frac{f_x}{f_y} = \frac{g_x}{g_y}
f
y
f
x
=
g
y
g
x
(Tangentbetingelsen -- eliminer lambda)
•
E
l
x
f
=
x
f
(
x
)
⋅
f
′
(
x
)
El_x f = \frac{x}{f(x)} \cdot f'(x)
E
l
x
f
=
f
(
x
)
x
⋅
f
′
(
x
)
(Elastisitetsformel)
Vanlige feil å unngå
Funksjoner av en og flere variabler
•
Glemme a beregne funksjonsverdien f(a) i tillegg til den deriverte f'(a) i lineaer approksimasjon.
•
Forveksle verdimengde og definisjonsmengde -- ln(x) har verdimengde (-inf, inf) men definisjonsmengde (0, inf).
•
Pasta at e^(x^2) har invers pa hele R -- den er ikke injektiv fordi f(-x) = f(x).
•
Feil i lineaer approksimasjon i to variabler -- glemme et av de to partiellderivert-leddene.
Eksponential- og logaritmefunksjoner
•
Glemme at derivasjonen av a^x er a^x * ln(a), ikke bare a^x.
•
Feil ved derivasjon av ln(f(x)) -- glemme a dele pa f(x), skrive bare f'(x).
•
Forveksle ln(x^2) = 2ln(x) (gjelder for x > 0) med ln(x)^2 (som er noe helt annet).
•
Feil i omskriving: 5^z = e^(z*ln 5), IKKE e^(5z).
Derivasjon og implisitt derivasjon
•
Glemme at y holdes konstant nar du deriverer mhp. x -- mange deriverer bade x og y samtidig.
•
Feil i implisitt derivasjon: glemme y'(x)-leddet nar du deriverer y^2 mhp. x. Det blir 2y*y'(x), IKKE bare 2y.
•
Forsoke a 'lose' generelle funksjoner -- k'(p) ER svaret, det kan ikke forenkles.
•
Glemme a forenkle for du deriverer. For eksempel: (x^2 - 3x)/x = x - 3, som er mye enklere a derivere.
•
Feil fortegn i implisitt derivasjon -- det er MINUS F_x/F_y.
Integrasjon
•
Glemme integrasjonskonstanten C i ubestemte integraler.
•
Feil i potensregelen for integrasjon: eksponenten oker med 1, og du deler pa den NYE eksponenten.
•
Glemme at int(1/x) = ln|x|, IKKE x^0/0 (som er udefinert).
•
Feil fortegn i bestemte integraler: det er F(b) - F(a), ikke F(a) - F(b).
•
Forveksle derivasjon og integrasjon -- derivasjon av x^n gir n*x^(n-1), mens integrasjon gir x^(n+1)/(n+1).
Optimering (stasjonaerpunkter og andreordenstest)
•
Forveksle stasjonaerpunkt og ekstrempunkt -- et sadelpunkt er stasjonaert men IKKE et ekstrempunkt.
•
Glemme krysstermen (f_xy)^2 i Hessian-determinanten.
•
Evaluere andrederiverte generelt i stedet for i det spesifikke stasjonaerpunktet -- f_yy = 6y er IKKE konstant!
•
Miste losninger ved a dele pa null. Sjekk alltid casene x = 0 og y = 0 separat nar du loser FOB-systemet.
•
Konkludere at et lokalt ekstrempunkt er globalt uten a sjekke funksjonens oppforsel mot uendelig.
Lagranges metode
•
Glemme bibetingelsen (tredje FOB) -- mange setter kun opp de to forste betingelsene.
•
Feil nar du deler de to forste FOB pa hverandre -- pass pa a snu broker riktig.
•
Glemme a sjekke casen y = 0 (eller x = 0) separat nar du deler pa y i FOB.
•
Regnefeil nar du setter x inn i bibetingelsen -- vis mellomregning sa sensor kan folge resonnementet.
•
Glemme a forenkle det endelige uttrykket for x* og y* -- 'apenbar forenkling skal gjores for full uttelling'.
Eksamenstips
Funksjoner av en og flere variabler
•
Lineaer approksimasjon testes nesten hvert ar, bade i Oppgave 2 (sant/usant) og Oppgave 4c. Drill denne formelen.
•
Oppgave 2 spor alltid om definisjonsmengde og egenskaper til standard funksjoner (ln, e^x, x^n). Kan de grunnleggende egenskapene!
•
Skriv eksplisitt ut bade f(a), f'(a), og selve approksimasjonsformelen -- det gir delpoeng selv ved regnefeil.
•
Husk at ln(x) kan vaere negativ (for x mellom 0 og 1) og at ln(x) gar mot minus uendelig nar x gar mot 0.
Eksponential- og logaritmefunksjoner
•
Oppgave 1 tester nesten alltid derivasjon av e^(f(x)) eller uttrykk med ln. Ha disse reglene 100% klare.
•
Nar du ser a^x (f.eks. 5^z), skriv om til e^(x*ln a) for du deriverer -- det gjor det enklere.
•
Sant/usant-oppgaver spor ofte om egenskaper til ln: kan ln(x) vaere negativ? (Ja, for 0 < x < 1.) Har ln(x) et globalt minimum? (Nei, ln(x) -> -inf.)
•
Vis mellomregning nar du bruker logaritmeregler -- sensor gir poeng for riktig fremgangsmate.
Derivasjon og implisitt derivasjon
•
Oppgave 1 gir 15 poeng og er de enkleste poengene pa eksamen. Bruk 20-30 minutter her og virkelig sikre deg alle poeng.
•
Sjekk alltid om uttrykket kan forenkles for du deriverer -- det sparer tid og reduserer feilkilder.
•
Implisitt derivasjon dukker alltid opp i sant/usant-oppgaven (Oppgave 2). Drill formelen dy/dx = -F_x/F_y.
•
Nar oppgaven inneholder en generell funksjon k(p), er det alltid siste deloppgave i Oppgave 1 og gir de 'vanskeligste' poengene.
Integrasjon
•
Integrasjon testes sjeldnere enn derivasjon pa ECON1100-eksamen, men kan dukke opp i sant/usant-oppgaver.
•
Sjekk alltid svaret ditt ved a derivere den antideriverte -- du bor fa tilbake den opprinnelige funksjonen.
•
Husk sammenhengen mellom derivasjon og integrasjon: integrasjon er den omvendte operasjonen.
•
Hvis du ser et integral pa eksamen, forenkle integranden forst (f.eks. del ut brok, bruk regneregler for eksponentialer).
Optimering (stasjonaerpunkter og andreordenstest)
•
Oppgave 4 og 5 gir til sammen 40 poeng og er svart forutsigbare. Drill disse oppgavetypene grundig.
•
I Oppgave 5: Skriv opp alle tre andrederiverte (f_xx, f_yy, f_xy) eksplisitt for du beregner D. Dette gir delpoeng.
•
I Oppgave 4: Bruk ABC-formelen systematisk for nullpunkter. Vis alltid mellomregning.
•
Sjekk alltid om (0,0) er en losning av FOB-systemet -- det er ofte tilfellet.
•
Studentene trenger ikke kommentere om lokale ekstrempunkter er globale, men det kan gi plusspoeng.
Lagranges metode
•
Lagrange-oppgaven gir 20 poeng og har alltid tre deler: (a) sett opp L og FOB, (b) los, (c) tilleggsanalyse (elastisitet eller parametervariasjon).
•
Du trenger ikke derivere mhp. lambda eksplisitt -- det holder a huske at bibetingelsen ma vaere med som tredje betingelse.
•
Vis alltid mellomregning nar du setter losningen tilbake inn i bibetingelsen. Selv ved regnefeil gir riktig metode uttelling.
•
Elastisitetsoppgaver (typisk del c): Forst finn deriverte av y*(p,q) mhp. p og q, deretter multipliser med p/y* eller q/y*.
•
Nar alpha = 1/2 forenkles uttrykkene betraktelig -- bruk dette til a sjekke at svaret er rimelig.
ECON1100 Formelark | Eksamenssett