ECON1100

Cheat Sheet

Formler, begreper og oppsummering

Matematikk I

eksamenssett.no

Formler

Derivasjonsregler

• $\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1}$
• $\frac{d}{dx} e^{f(x)} = f'(x)e^{f(x)}$
• $\frac{d}{dx} \ln(f(x)) = \frac{f'(x)}{f(x)}$
• $\frac{d}{dx} a^x = a^x \ln(a)$
• $[fg]' = f'g + fg'$ (Produktregelen)
• $\left[\frac{f}{g}\right]' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$ (Brøkregelen)
• $[f(g(x))]' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$ (Kjerneregelen)

Integrasjonsregler

• $\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1)$
• $\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C$
• $\int e^{ax} \, dx = \frac{1}{a} e^{ax} + C$
• $\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)$

Lineær approksimasjon

• $f(x) \approx f(a) + f'(a)(x - a)$ (en variabel)
• $f(x,y) \approx f(a,b) + f_x(a,b)(x-a) + f_y(a,b)(y-b)$ (to variabler)

Implisitt derivasjon og nivåkurver

• $\frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y}$ (Helning til nivåkurven $F(x,y) = c$ )

Elastisitet

• $El_x f(x) = \frac{x}{f(x)} \cdot f'(x)$
• $El_x(Kx^p) = p$ (Potensregel for elastisitet)
• $El_x\!\left(\frac{f}{g}\right) = El_x f - El_x g$

Homogene funksjoner

• $f(tx, ty) = t^k f(x,y) \implies \text{homogen av grad } k$
• $K^\alpha L^{1-\alpha} \text{ er homogen av grad } 1$

Optimering i en variabel

•FOB: $f'(x_0) = 0$
•AOB: $f''(x_0) > 0 \implies \text{min}, \quad f''(x_0) < 0 \implies \text{maks}$
•Voksende: $f'(x) \geq 0$ , avtakende: $f'(x) \leq 0$
•Konveks: $f''(x) \geq 0$ , konkav: $f''(x) \leq 0$

Optimering i to variabler

•FOB: $f_x = 0, \quad f_y = 0$
•Hessian: $D = f_{xx} f_{yy} - (f_{xy})^2$
• $D > 0, f_{xx} > 0 \implies \text{lokalt min}$
• $D > 0, f_{xx} < 0 \implies \text{lokalt maks}$
• $D < 0 \implies \text{sadelpunkt}$

Lagrange-optimering

• $\mathcal{L} = f(x,y) - \lambda(g(x,y) - c)$
•FOB: $f_x = \lambda g_x, \quad f_y = \lambda g_y, \quad g(x,y) = c$
• $\frac{f_x}{f_y} = \frac{g_x}{g_y}$ (Tangentbetingelsen)
• $\frac{d f(x^*,y^*)}{d\theta} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \theta}$ (Omhyllingsteoremet)
• $\frac{dU^*}{dm} = \lambda, \quad \frac{dU^*}{dp_i} = -\lambda x_i^*$

Logaritme- og eksponentialregler

• $\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$
• $\ln(a/b) = \ln(a) - \ln(b)$
• $\ln(a^r) = r \ln(a)$
• $a^x = e^{x \ln a}$
• $e^{a+b} = e^a \cdot e^b$

Nøkkelformler per tema

Funksjoner av en og flere variabler

• $f(x) \approx f(a) + f'(a)(x - a)$ (Lineær approksimasjon i en variabel)
• $f(x,y) \approx f(a,b) + f_x(a,b)(x-a) + f_y(a,b)(y-b)$ (Lineær approksimasjon i to variabler)
• $f^{-1}(f(x)) = x$ (Invers funksjon)

Eksponential- og logaritmefunksjoner

• $\frac{d}{dx} e^{f(x)} = f'(x) \cdot e^{f(x)}$
• $a^x = e^{x \ln a}$ (Omskrivingsregel)
• $\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b), \quad \ln(a^r) = r \ln(a)$

Derivasjon og implisitt derivasjon

• $\frac{\partial f}{\partial x}$ : deriver mhp. $x$, hold $y$ konstant
• $\frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y}$ (Implisitt derivasjon for $F(x,y) = c$)
• $\ln g(x) \text{ derivert: } \frac{g'(x)}{g(x)} \quad \text{(Logaritmisk derivasjon)}$
• $\frac{df(x,y(x))}{dx} = f_x + f_y\,y'(x)$ (Total derivasjon)

Integrasjon

• $\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)$ (Analysens fundamentalteorem)
• $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ (Delvis integrasjon)

Optimering (stasjonærpunkter og andreordenstest)

•FOB (en variabel): $f'(x_0) = 0$
•AOB (en variabel): $f''(x_0) > 0 \implies \text{min}, \quad f''(x_0) < 0 \implies \text{maks}$
•FOB (to variabler): $f_x = 0, \quad f_y = 0$
•Hessian-determinant: $D = f_{xx} f_{yy} - (f_{xy})^2$
• $D > 0, f_{xx} > 0 \implies \text{lokalt min}; \quad D > 0, f_{xx} < 0 \implies \text{lokalt maks}; \quad D < 0 \implies \text{sadelpunkt}$

Lagranges metode

• $\mathcal{L}(x,y,\lambda) = f(x,y) - \lambda(g(x,y) - c)$ (Lagrange-funksjonen)
• $\frac{f_x}{f_y} = \frac{g_x}{g_y}$ (Tangentbetingelsen -- eliminer lambda)
• $El_x f = \frac{x}{f(x)} \cdot f'(x)$ (Elastisitetsformel)
• $\frac{dU^*}{dm} = \lambda, \quad \frac{dU^*}{dp_i} = -\lambda x_i^*$ (Spesialtilfeller av omhyllingsteoremet)

Homogene funksjoner

• $f(tx, ty) = t^k f(x,y)$ (Homogen av grad $k$)
• $K^\alpha L^{1-\alpha} \text{ er homogen av grad } 1 \text{ (konstant skalautbytte)}$

Hjørneløsninger og randoptimering

• $f' > 0 \text{ i hele } [a,b] \implies \text{maks i } x=b, \text{ min i } x=a$
• $\text{Global ekstremverdi} = \max/\min \text{ av indre stasjonærpunkter OG randpunkter}$

Vanlige feil å unngå

Funksjoner av en og flere variabler

•Glemme å beregne funksjonsverdien f(a) i tillegg til den deriverte f'(a) i lineær approksimasjon.
•Forveksle verdimengde og definisjonsmengde -- ln(x) har verdimengde (-inf, inf) men definisjonsmengde (0, inf).
•Pasta at e^(x^2) har invers på hele R -- den er ikke injektiv fordi f(-x) = f(x).
•Feil i lineær approksimasjon i to variabler -- glemme et av de to partiellderivert-leddene.

Eksponential- og logaritmefunksjoner

•Glemme at derivasjonen av a^x er a^x * ln(a), ikke bare a^x.
•Feil ved derivasjon av ln(f(x)) -- glemme å dele på f(x), skrive bare f'(x).
•Forveksle ln(x^2) = 2ln(x) (gjelder for x > 0) med ln(x)^2 (som er noe helt annet).
•Feil i omskriving: 5^z = e^(z*ln 5), IKKE e^(5z).

Derivasjon og implisitt derivasjon

•Glemme at y holdes konstant når du deriverer mhp. x -- mange deriverer bade x og y samtidig.
•Feil i implisitt derivasjon: glemme y'(x)-leddet når du deriverer y^2 mhp. x. Det blir 2y*y'(x), IKKE bare 2y.
•Forsøke a 'lose' generelle funksjoner -- k'(p) ER svaret, det kan ikke forenkles.
•Glemme å forenkle for du deriverer. For eksempel: (x^2 - 3x)/x = x - 3, som er mye enklere å derivere.
•Feil fortegn i implisitt derivasjon -- det er MINUS F_x/F_y.
•Bruke potensregelen på x^x eller x^(ln x) -- når variabelen står i bade grunntall og eksponent MÅ du bruke logaritmisk derivasjon.
•Glemme y'(x)-leddet i total derivasjon: df/dx = f_x + f_y*y'(x), ikke bare f_x.
•I kjerneregel for flere kjerner: glemme å sette inn uttrykkene for de indre funksjonene i de partiellderiverte av den generelle funksjonen.

Integrasjon

•Glemme integrasjonskonstanten C i ubestemte integraler.
•Feil i potensregelen for integrasjon: eksponenten øker med 1, og du deler på den NYE eksponenten.
•Glemme at int(1/x) = ln|x|, IKKE x^0/0 (som er udefinert).
•Feil fortegn i bestemte integraler: det er F(b) - F(a), ikke F(a) - F(b).
•Forveksle derivasjon og integrasjon -- derivasjon av x^n gir n*x^(n-1), mens integrasjon gir x^(n+1)/(n+1).

Optimering (stasjonærpunkter og andreordenstest)

•Forveksle stasjonærpunkt og ekstrempunkt -- et sadelpunkt er stasjonært men IKKE et ekstrempunkt.
•Glemme krysstermen (f_xy)^2 i Hessian-determinanten.
•Evaluere andrederiverte generelt i stedet for i det spesifikke stasjonærpunktet -- f_yy = 6y er IKKE konstant!
•Miste løsninger ved å dele på null. Sjekk alltid casene x = 0 og y = 0 separat når du loser FOB-systemet.
•Konkludere at et lokalt ekstrempunkt er globalt uten å sjekke om f_xx og D har riktig fortegn i HELE definisjonsområdet.
•Tro at f''(x0) = 0 automatisk betyr vendepunkt -- den andrederiverte må også skifte fortegn (moteksempel: x^4).
•Glemme hjørneløsninger når definisjonsområdet er begrenset -- et globalt ekstrempunkt kan ligge på randen selv om FOB ikke gir noe indre stasjonærpunkt.

Lagranges metode

•Glemme bibetingelsen (tredje FOB) -- mange setter kun opp de to første betingelsene.
•Feil når du deler de to første FOB på hverandre -- pass på å snu broker riktig.
•Glemme å sjekke casen y = 0 (eller x = 0) separat når du deler på y i FOB.
•Regnefeil når du setter x inn i bibetingelsen -- vis mellomregning så sensor kan følge resonnementet.
•Glemme å forenkle det endelige uttrykket for x* og y* -- 'åpenbar forenkling skal gjøres for full uttelling'.
•Bruke andreordensbetingelser for bibetingelser -- det læres IKKE i ECON1100, oppgavene spor kun om 'eventuelle' ekstrempunkter.
•Feil i omhyllingsteoremet: derivere f(x*,y*) direkte i stedet for å derivere L mhp. parameteren -- bruk L, det er hele poenget.

Homogene funksjoner

•Gjette homogenitetsgraden ut fra høyeste ledd uten å faktorisere -- alle ledd må gi samme potens av t.
•Tro at en sum med ledd av ulik grad (f.eks. x^2 + x) er homogen -- det er den ikke.
•Glemme å sette inn t i ALLE variabler, også i nevneren av en brok.
•Forveksle homogenitetsgrad med graden til polynomet -- det er potensen av t som teller.

Hjørneløsninger og randoptimering

•Kun lose FOB og overse at ekstrempunktet kan ligge på randen av et begrenset definisjonsområde.
•Tro at en funksjon uten indre stasjonærpunkt ikke har noe globalt ekstrempunkt -- den kan ha en hjørneløsning.
•Forsøke å vise at et randpunkt er globalt minimum ved å sette inn tilfeldige x-verdier -- bruk fortegnet til den deriverte i stedet.
•Glemme å sjekke ALLE hjorner når definisjonsområdet er et lukket område i to variabler.

Eksamenstips

Funksjoner av en og flere variabler

•Lineær approksimasjon testes nesten hvert eneste ar -- bade som sant/usant-pastand (verifiser at en gitt formel stemmer) og som regneoppgave (finn approksimasjonen). Drill bade en- og to-variabel-formelen.
•Sant/usant-oppgaven spor alltid om definisjonsmengde og egenskaper til standardfunksjoner (ln, e^x, x^n, brok). Et typisk eksempel: 'g(x) = ln(x)/x er kun definert for x > 0' -- sant, fordi telleren krever det.
•Inverse funksjoner dukker opp som sant/usant: sjekk ALLTID først om funksjonen er strengt monoton (deriver og se på fortegnet) for du påstår at en invers finnes. Løs deretter eksplisitt for x.
•Skriv eksplisitt ut bade f(a), f'(a) (eller f_x, f_y) og selve approksimasjonsformelen -- det gir delpoeng selv ved regnefeil.
•Husk at ln(x) kan være negativ (for 0 < x < 1) og gar mot minus uendelig når x gar mot 0 -- derfor har ln(x) ikke noe globalt minimum.
•Vaer obs på at funksjoner med begrenset definisjonsområde (f.eks. sqrt(x) på [0, inf)) kan ha en hjørneløsning som globalt ekstrempunkt selv om FOB ikke gir noe stasjonærpunkt. Se egen seksjon om hjørneløsninger.

Eksponential- og logaritmefunksjoner

•Oppgave 1 tester nesten alltid derivasjon av e^(f(x)) eller uttrykk med ln. Ha disse reglene 100% klare.
•Når du ser a^x (f.eks. 5^z), skriv om til e^(x*ln a) for du deriverer -- det gjør det enklere.
•Sant/usant-oppgaver spor ofte om egenskaper til ln: kan ln(x) være negativ? (Ja, for 0 < x < 1.) Har ln(x) et globalt minimum? (Nei, ln(x) -> -inf.)
•Vis mellomregning når du bruker logaritmeregler -- sensor gir poeng for riktig fremgangsmate.

Derivasjon og implisitt derivasjon

•Oppgave 1 (ren derivasjon) gir 15-22 poeng og er de enkleste poengene på eksamen. Bruk 20-30 minutter her og sikre deg alle poeng.
•Sjekk alltid om uttrykket kan forenkles for du deriverer -- det sparer tid og reduserer feilkilder.
•Implisitt derivasjon og nivåkurvers helning dukker opp nesten hvert ar (bade i sant/usant og i Lagrange/funksjonsanalyse). Drill formelen dy/dx = -F_x/F_y.
•Logaritmisk derivasjon (x^x, (xy)^(xy), x^(ln x)) gar igjen flere ar. Ovelse: ta ln på begge sider, deriver, gang opp igjen med funksjonen.
•Den siste deloppgaven i Oppgave 1 inneholder nesten alltid en generell/ukjent funksjon k(p) eller en sammensatt modell -- la k'(p) sta, det ER svaret.
•Differensialet df = f_x dx + f_y dy testes som sant/usant: husk BEGGE ledd, mange glemmer dy-leddet.

Integrasjon

•Integrasjon har ikke en egen oppgave, men dukker opp som sant/usant nesten hvert ar i to former: (1) regn ut et bestemt integral og sjekk om svaret stemmer (f.eks. 'integral fra 0 til 2 av (3x^2 - x/2 + 1) dx = 9'), eller (2) sjekk om en oppgitt antiderivert/integral stemmer.
•For sant/usant der en antiderivert er oppgitt: DERIVER høyresiden og se om du får tilbake integranden -- det er raskere og sikrere enn å integrere.
•Vanlig felle: integralet av 1/sqrt(x) = 2*sqrt(x) + C, ikke noe annet. Drill standardintegralene (x^n, 1/x, e^(ax)).
•Sjekk alltid svaret ditt ved å derivere den antideriverte -- du bor fa tilbake den opprinnelige funksjonen.
•Hvis du ser et integral, forenkle integranden først (del ut brok, bruk regneregler for eksponentialer).

Optimering (stasjonærpunkter og andreordenstest)

•Funksjonsanalyse (en variabel) og Hessian-klassifisering (to variabler) gir til sammen ofte 40+ poeng og er de mest forutsigbare oppgavene. Drill begge grundig.
•Skriv opp alle tre andrederiverte (f_xx, f_yy, f_xy) eksplisitt for du beregner D = f_xx*f_yy - (f_xy)^2. Dette gir delpoeng.
•Bruk ABC-formelen systematisk for nullpunkter, og faktoriser gjerne f'(x) for å sette opp et fortegnsdiagram -- det gir voksende/avtakende OG klassifisering samtidig.
•Sjekk alltid om (0,0) er en løsning av FOB-systemet -- det er ofte tilfellet.
•Når f_xx eller D avhenger av x/y og skifter fortegn, kan du påpeke at ingen stasjonærpunkter er globale -- det gir plusspoeng.
•Husk hjørneløsninger: på funksjoner definert på et lukket intervall/område (f.eks. [0,1]) kan globale ekstrempunkter ligge i hjornene. Se egen seksjon.

Lagranges metode

•Lagrange-oppgaven gir 20-30 poeng og har typisk tre-fire deler: (a) sett opp L og FOB, (b) løs for x* og y*, (c)/(d) tilleggsanalyse (elastisitet, omhyllingsteoremet eller parametervariasjon).
•Du trenger ikke derivere mhp. lambda eksplisitt -- det holder å huske at bibetingelsen må være med som tredje betingelse.
•Vis alltid mellomregning når du setter løsningen tilbake inn i bibetingelsen. Selv ved regnefeil gir riktig metode uttelling.
•Elastisitetsoppgaver: Først finn deriverte av y*(p,q) mhp. p og q, deretter multipliser med p/y* eller q/y*. Alternativt: bruk potensregelen El_x(Kx^p) = p direkte.
•Omhyllingsteoremet (gjenganger som siste del): dU*/dm = lambda, dU*/dp_i = -lambda*x_i*, dC*/dq = lambda. Oppgi gjerne svaret som funksjon av lambda hvis tillatt.
•Utnytt symmetri: hvis problemet er symmetrisk i x og y (samme priser/eksponenter), kan du finne x* og argumentere for at y* er symmetrisk -- men si det eksplisitt.
•Cobb-Douglas-produksjon (K^a L^(1-a)) i kostnadsminimering gar igjen -- ov på å løse for faktoretterspørselen.

Homogene funksjoner

•Homogenitet testes nesten hvert ar, oftest som sant/usant. Fremgangsmaten er mekanisk: sett inn tx, ty, faktoriser ut t, les av eksponenten. Sikre poeng!
•Cobb-Douglas K^a L^(1-a) er ALLTID homogen av grad 1 -- husk dette utenat.
•Vis hele utregningen f(tx,ty) = ... = t^k f(x,y) -- en påstand uten utregning gir null i sant/usant.
•Hvis funksjonen IKKE er homogen (ledd av ulik grad), si det og begrunn -- det er like ofte svaret.

Hjørneløsninger og randoptimering

•Hjørneløsninger dukker opp jevnlig i sant/usant (typisk med sqrt(x) eller en begrenset funksjon). Sjekk alltid definisjonsområdet FORST.
•Argumenter via fortegnet til den deriverte: 'f'(x) > 0 i hele området, og x = a er minste verdi i definisjonsmengden, derfor er å en hjørneløsning'. Dette er det sensor vil ha.
•Det gir ikke full uttelling a bare sette inn tall -- du må vise hvorfor randpunktet er ekstremalt.
•I to-variabel-oppgaver med lukket område (f.eks. [0,1]x[0,1]): finn indre ekstrempunkt og sammenlign med funksjonsverdiene i hjornene.

ECON1100

Cheat Sheet

Formler, begreper og oppsummering

Matematikk I

eksamenssett.no

Formler

Derivasjonsregler

• $\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1}$
• $\frac{d}{dx} e^{f(x)} = f'(x)e^{f(x)}$
• $\frac{d}{dx} \ln(f(x)) = \frac{f'(x)}{f(x)}$
• $\frac{d}{dx} a^x = a^x \ln(a)$
• $[fg]' = f'g + fg'$ (Produktregelen)
• $\left[\frac{f}{g}\right]' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$ (Brøkregelen)
• $[f(g(x))]' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$ (Kjerneregelen)

Integrasjonsregler

• $\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1)$
• $\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C$
• $\int e^{ax} \, dx = \frac{1}{a} e^{ax} + C$
• $\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)$

Lineær approksimasjon

• $f(x) \approx f(a) + f'(a)(x - a)$ (en variabel)
• $f(x,y) \approx f(a,b) + f_x(a,b)(x-a) + f_y(a,b)(y-b)$ (to variabler)

Implisitt derivasjon og nivåkurver

• $\frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y}$ (Helning til nivåkurven $F(x,y) = c$ )

Elastisitet

• $El_x f(x) = \frac{x}{f(x)} \cdot f'(x)$
• $El_x(Kx^p) = p$ (Potensregel for elastisitet)
• $El_x\!\left(\frac{f}{g}\right) = El_x f - El_x g$

Homogene funksjoner

• $f(tx, ty) = t^k f(x,y) \implies \text{homogen av grad } k$
• $K^\alpha L^{1-\alpha} \text{ er homogen av grad } 1$

Optimering i en variabel

•FOB: $f'(x_0) = 0$
•AOB: $f''(x_0) > 0 \implies \text{min}, \quad f''(x_0) < 0 \implies \text{maks}$
•Voksende: $f'(x) \geq 0$ , avtakende: $f'(x) \leq 0$
•Konveks: $f''(x) \geq 0$ , konkav: $f''(x) \leq 0$

Optimering i to variabler

•FOB: $f_x = 0, \quad f_y = 0$
•Hessian: $D = f_{xx} f_{yy} - (f_{xy})^2$
• $D > 0, f_{xx} > 0 \implies \text{lokalt min}$
• $D > 0, f_{xx} < 0 \implies \text{lokalt maks}$
• $D < 0 \implies \text{sadelpunkt}$

Lagrange-optimering

• $\mathcal{L} = f(x,y) - \lambda(g(x,y) - c)$
•FOB: $f_x = \lambda g_x, \quad f_y = \lambda g_y, \quad g(x,y) = c$
• $\frac{f_x}{f_y} = \frac{g_x}{g_y}$ (Tangentbetingelsen)
• $\frac{d f(x^*,y^*)}{d\theta} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \theta}$ (Omhyllingsteoremet)
• $\frac{dU^*}{dm} = \lambda, \quad \frac{dU^*}{dp_i} = -\lambda x_i^*$

Logaritme- og eksponentialregler

• $\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$
• $\ln(a/b) = \ln(a) - \ln(b)$
• $\ln(a^r) = r \ln(a)$
• $a^x = e^{x \ln a}$
• $e^{a+b} = e^a \cdot e^b$

Nøkkelformler per tema

Funksjoner av en og flere variabler

• $f(x) \approx f(a) + f'(a)(x - a)$ (Lineær approksimasjon i en variabel)
• $f(x,y) \approx f(a,b) + f_x(a,b)(x-a) + f_y(a,b)(y-b)$ (Lineær approksimasjon i to variabler)
• $f^{-1}(f(x)) = x$ (Invers funksjon)

Eksponential- og logaritmefunksjoner

• $\frac{d}{dx} e^{f(x)} = f'(x) \cdot e^{f(x)}$
• $a^x = e^{x \ln a}$ (Omskrivingsregel)
• $\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b), \quad \ln(a^r) = r \ln(a)$

Derivasjon og implisitt derivasjon

• $\frac{\partial f}{\partial x}$ : deriver mhp. $x$, hold $y$ konstant
• $\frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y}$ (Implisitt derivasjon for $F(x,y) = c$)
• $\ln g(x) \text{ derivert: } \frac{g'(x)}{g(x)} \quad \text{(Logaritmisk derivasjon)}$
• $\frac{df(x,y(x))}{dx} = f_x + f_y\,y'(x)$ (Total derivasjon)

Integrasjon

• $\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)$ (Analysens fundamentalteorem)
• $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ (Delvis integrasjon)

Optimering (stasjonærpunkter og andreordenstest)

•FOB (en variabel): $f'(x_0) = 0$
•AOB (en variabel): $f''(x_0) > 0 \implies \text{min}, \quad f''(x_0) < 0 \implies \text{maks}$
•FOB (to variabler): $f_x = 0, \quad f_y = 0$
•Hessian-determinant: $D = f_{xx} f_{yy} - (f_{xy})^2$
• $D > 0, f_{xx} > 0 \implies \text{lokalt min}; \quad D > 0, f_{xx} < 0 \implies \text{lokalt maks}; \quad D < 0 \implies \text{sadelpunkt}$

Lagranges metode

• $\mathcal{L}(x,y,\lambda) = f(x,y) - \lambda(g(x,y) - c)$ (Lagrange-funksjonen)
• $\frac{f_x}{f_y} = \frac{g_x}{g_y}$ (Tangentbetingelsen -- eliminer lambda)
• $El_x f = \frac{x}{f(x)} \cdot f'(x)$ (Elastisitetsformel)
• $\frac{dU^*}{dm} = \lambda, \quad \frac{dU^*}{dp_i} = -\lambda x_i^*$ (Spesialtilfeller av omhyllingsteoremet)

Homogene funksjoner

• $f(tx, ty) = t^k f(x,y)$ (Homogen av grad $k$)
• $K^\alpha L^{1-\alpha} \text{ er homogen av grad } 1 \text{ (konstant skalautbytte)}$

Hjørneløsninger og randoptimering

• $f' > 0 \text{ i hele } [a,b] \implies \text{maks i } x=b, \text{ min i } x=a$
• $\text{Global ekstremverdi} = \max/\min \text{ av indre stasjonærpunkter OG randpunkter}$

Vanlige feil å unngå

Funksjoner av en og flere variabler

•Glemme å beregne funksjonsverdien f(a) i tillegg til den deriverte f'(a) i lineær approksimasjon.
•Forveksle verdimengde og definisjonsmengde -- ln(x) har verdimengde (-inf, inf) men definisjonsmengde (0, inf).
•Pasta at e^(x^2) har invers på hele R -- den er ikke injektiv fordi f(-x) = f(x).
•Feil i lineær approksimasjon i to variabler -- glemme et av de to partiellderivert-leddene.

Eksponential- og logaritmefunksjoner

•Glemme at derivasjonen av a^x er a^x * ln(a), ikke bare a^x.
•Feil ved derivasjon av ln(f(x)) -- glemme å dele på f(x), skrive bare f'(x).
•Forveksle ln(x^2) = 2ln(x) (gjelder for x > 0) med ln(x)^2 (som er noe helt annet).
•Feil i omskriving: 5^z = e^(z*ln 5), IKKE e^(5z).

Derivasjon og implisitt derivasjon

•Glemme at y holdes konstant når du deriverer mhp. x -- mange deriverer bade x og y samtidig.
•Feil i implisitt derivasjon: glemme y'(x)-leddet når du deriverer y^2 mhp. x. Det blir 2y*y'(x), IKKE bare 2y.
•Forsøke a 'lose' generelle funksjoner -- k'(p) ER svaret, det kan ikke forenkles.
•Glemme å forenkle for du deriverer. For eksempel: (x^2 - 3x)/x = x - 3, som er mye enklere å derivere.
•Feil fortegn i implisitt derivasjon -- det er MINUS F_x/F_y.
•Bruke potensregelen på x^x eller x^(ln x) -- når variabelen står i bade grunntall og eksponent MÅ du bruke logaritmisk derivasjon.
•Glemme y'(x)-leddet i total derivasjon: df/dx = f_x + f_y*y'(x), ikke bare f_x.
•I kjerneregel for flere kjerner: glemme å sette inn uttrykkene for de indre funksjonene i de partiellderiverte av den generelle funksjonen.

Integrasjon

•Glemme integrasjonskonstanten C i ubestemte integraler.
•Feil i potensregelen for integrasjon: eksponenten øker med 1, og du deler på den NYE eksponenten.
•Glemme at int(1/x) = ln|x|, IKKE x^0/0 (som er udefinert).
•Feil fortegn i bestemte integraler: det er F(b) - F(a), ikke F(a) - F(b).
•Forveksle derivasjon og integrasjon -- derivasjon av x^n gir n*x^(n-1), mens integrasjon gir x^(n+1)/(n+1).

Optimering (stasjonærpunkter og andreordenstest)

•Forveksle stasjonærpunkt og ekstrempunkt -- et sadelpunkt er stasjonært men IKKE et ekstrempunkt.
•Glemme krysstermen (f_xy)^2 i Hessian-determinanten.
•Evaluere andrederiverte generelt i stedet for i det spesifikke stasjonærpunktet -- f_yy = 6y er IKKE konstant!
•Miste løsninger ved å dele på null. Sjekk alltid casene x = 0 og y = 0 separat når du loser FOB-systemet.
•Konkludere at et lokalt ekstrempunkt er globalt uten å sjekke om f_xx og D har riktig fortegn i HELE definisjonsområdet.
•Tro at f''(x0) = 0 automatisk betyr vendepunkt -- den andrederiverte må også skifte fortegn (moteksempel: x^4).
•Glemme hjørneløsninger når definisjonsområdet er begrenset -- et globalt ekstrempunkt kan ligge på randen selv om FOB ikke gir noe indre stasjonærpunkt.

Lagranges metode

•Glemme bibetingelsen (tredje FOB) -- mange setter kun opp de to første betingelsene.
•Feil når du deler de to første FOB på hverandre -- pass på å snu broker riktig.
•Glemme å sjekke casen y = 0 (eller x = 0) separat når du deler på y i FOB.
•Regnefeil når du setter x inn i bibetingelsen -- vis mellomregning så sensor kan følge resonnementet.
•Glemme å forenkle det endelige uttrykket for x* og y* -- 'åpenbar forenkling skal gjøres for full uttelling'.
•Bruke andreordensbetingelser for bibetingelser -- det læres IKKE i ECON1100, oppgavene spor kun om 'eventuelle' ekstrempunkter.
•Feil i omhyllingsteoremet: derivere f(x*,y*) direkte i stedet for å derivere L mhp. parameteren -- bruk L, det er hele poenget.

Homogene funksjoner

•Gjette homogenitetsgraden ut fra høyeste ledd uten å faktorisere -- alle ledd må gi samme potens av t.
•Tro at en sum med ledd av ulik grad (f.eks. x^2 + x) er homogen -- det er den ikke.
•Glemme å sette inn t i ALLE variabler, også i nevneren av en brok.
•Forveksle homogenitetsgrad med graden til polynomet -- det er potensen av t som teller.

Hjørneløsninger og randoptimering

•Kun lose FOB og overse at ekstrempunktet kan ligge på randen av et begrenset definisjonsområde.
•Tro at en funksjon uten indre stasjonærpunkt ikke har noe globalt ekstrempunkt -- den kan ha en hjørneløsning.
•Forsøke å vise at et randpunkt er globalt minimum ved å sette inn tilfeldige x-verdier -- bruk fortegnet til den deriverte i stedet.
•Glemme å sjekke ALLE hjorner når definisjonsområdet er et lukket område i to variabler.

Eksamenstips

Funksjoner av en og flere variabler

•Lineær approksimasjon testes nesten hvert eneste ar -- bade som sant/usant-pastand (verifiser at en gitt formel stemmer) og som regneoppgave (finn approksimasjonen). Drill bade en- og to-variabel-formelen.
•Sant/usant-oppgaven spor alltid om definisjonsmengde og egenskaper til standardfunksjoner (ln, e^x, x^n, brok). Et typisk eksempel: 'g(x) = ln(x)/x er kun definert for x > 0' -- sant, fordi telleren krever det.
•Inverse funksjoner dukker opp som sant/usant: sjekk ALLTID først om funksjonen er strengt monoton (deriver og se på fortegnet) for du påstår at en invers finnes. Løs deretter eksplisitt for x.
•Skriv eksplisitt ut bade f(a), f'(a) (eller f_x, f_y) og selve approksimasjonsformelen -- det gir delpoeng selv ved regnefeil.
•Husk at ln(x) kan være negativ (for 0 < x < 1) og gar mot minus uendelig når x gar mot 0 -- derfor har ln(x) ikke noe globalt minimum.
•Vaer obs på at funksjoner med begrenset definisjonsområde (f.eks. sqrt(x) på [0, inf)) kan ha en hjørneløsning som globalt ekstrempunkt selv om FOB ikke gir noe stasjonærpunkt. Se egen seksjon om hjørneløsninger.

Eksponential- og logaritmefunksjoner

•Oppgave 1 tester nesten alltid derivasjon av e^(f(x)) eller uttrykk med ln. Ha disse reglene 100% klare.
•Når du ser a^x (f.eks. 5^z), skriv om til e^(x*ln a) for du deriverer -- det gjør det enklere.
•Sant/usant-oppgaver spor ofte om egenskaper til ln: kan ln(x) være negativ? (Ja, for 0 < x < 1.) Har ln(x) et globalt minimum? (Nei, ln(x) -> -inf.)
•Vis mellomregning når du bruker logaritmeregler -- sensor gir poeng for riktig fremgangsmate.

Derivasjon og implisitt derivasjon

•Oppgave 1 (ren derivasjon) gir 15-22 poeng og er de enkleste poengene på eksamen. Bruk 20-30 minutter her og sikre deg alle poeng.
•Sjekk alltid om uttrykket kan forenkles for du deriverer -- det sparer tid og reduserer feilkilder.
•Implisitt derivasjon og nivåkurvers helning dukker opp nesten hvert ar (bade i sant/usant og i Lagrange/funksjonsanalyse). Drill formelen dy/dx = -F_x/F_y.
•Logaritmisk derivasjon (x^x, (xy)^(xy), x^(ln x)) gar igjen flere ar. Ovelse: ta ln på begge sider, deriver, gang opp igjen med funksjonen.
•Den siste deloppgaven i Oppgave 1 inneholder nesten alltid en generell/ukjent funksjon k(p) eller en sammensatt modell -- la k'(p) sta, det ER svaret.
•Differensialet df = f_x dx + f_y dy testes som sant/usant: husk BEGGE ledd, mange glemmer dy-leddet.

Integrasjon

•Integrasjon har ikke en egen oppgave, men dukker opp som sant/usant nesten hvert ar i to former: (1) regn ut et bestemt integral og sjekk om svaret stemmer (f.eks. 'integral fra 0 til 2 av (3x^2 - x/2 + 1) dx = 9'), eller (2) sjekk om en oppgitt antiderivert/integral stemmer.
•For sant/usant der en antiderivert er oppgitt: DERIVER høyresiden og se om du får tilbake integranden -- det er raskere og sikrere enn å integrere.
•Vanlig felle: integralet av 1/sqrt(x) = 2*sqrt(x) + C, ikke noe annet. Drill standardintegralene (x^n, 1/x, e^(ax)).
•Sjekk alltid svaret ditt ved å derivere den antideriverte -- du bor fa tilbake den opprinnelige funksjonen.
•Hvis du ser et integral, forenkle integranden først (del ut brok, bruk regneregler for eksponentialer).

Optimering (stasjonærpunkter og andreordenstest)

•Funksjonsanalyse (en variabel) og Hessian-klassifisering (to variabler) gir til sammen ofte 40+ poeng og er de mest forutsigbare oppgavene. Drill begge grundig.
•Skriv opp alle tre andrederiverte (f_xx, f_yy, f_xy) eksplisitt for du beregner D = f_xx*f_yy - (f_xy)^2. Dette gir delpoeng.
•Bruk ABC-formelen systematisk for nullpunkter, og faktoriser gjerne f'(x) for å sette opp et fortegnsdiagram -- det gir voksende/avtakende OG klassifisering samtidig.
•Sjekk alltid om (0,0) er en løsning av FOB-systemet -- det er ofte tilfellet.
•Når f_xx eller D avhenger av x/y og skifter fortegn, kan du påpeke at ingen stasjonærpunkter er globale -- det gir plusspoeng.
•Husk hjørneløsninger: på funksjoner definert på et lukket intervall/område (f.eks. [0,1]) kan globale ekstrempunkter ligge i hjornene. Se egen seksjon.

Lagranges metode

•Lagrange-oppgaven gir 20-30 poeng og har typisk tre-fire deler: (a) sett opp L og FOB, (b) løs for x* og y*, (c)/(d) tilleggsanalyse (elastisitet, omhyllingsteoremet eller parametervariasjon).
•Du trenger ikke derivere mhp. lambda eksplisitt -- det holder å huske at bibetingelsen må være med som tredje betingelse.
•Vis alltid mellomregning når du setter løsningen tilbake inn i bibetingelsen. Selv ved regnefeil gir riktig metode uttelling.
•Elastisitetsoppgaver: Først finn deriverte av y*(p,q) mhp. p og q, deretter multipliser med p/y* eller q/y*. Alternativt: bruk potensregelen El_x(Kx^p) = p direkte.
•Omhyllingsteoremet (gjenganger som siste del): dU*/dm = lambda, dU*/dp_i = -lambda*x_i*, dC*/dq = lambda. Oppgi gjerne svaret som funksjon av lambda hvis tillatt.
•Utnytt symmetri: hvis problemet er symmetrisk i x og y (samme priser/eksponenter), kan du finne x* og argumentere for at y* er symmetrisk -- men si det eksplisitt.
•Cobb-Douglas-produksjon (K^a L^(1-a)) i kostnadsminimering gar igjen -- ov på å løse for faktoretterspørselen.

Homogene funksjoner

•Homogenitet testes nesten hvert ar, oftest som sant/usant. Fremgangsmaten er mekanisk: sett inn tx, ty, faktoriser ut t, les av eksponenten. Sikre poeng!
•Cobb-Douglas K^a L^(1-a) er ALLTID homogen av grad 1 -- husk dette utenat.
•Vis hele utregningen f(tx,ty) = ... = t^k f(x,y) -- en påstand uten utregning gir null i sant/usant.
•Hvis funksjonen IKKE er homogen (ledd av ulik grad), si det og begrunn -- det er like ofte svaret.

Hjørneløsninger og randoptimering

•Hjørneløsninger dukker opp jevnlig i sant/usant (typisk med sqrt(x) eller en begrenset funksjon). Sjekk alltid definisjonsområdet FORST.
•Argumenter via fortegnet til den deriverte: 'f'(x) > 0 i hele området, og x = a er minste verdi i definisjonsmengden, derfor er å en hjørneløsning'. Dette er det sensor vil ha.
•Det gir ikke full uttelling a bare sette inn tall -- du må vise hvorfor randpunktet er ekstremalt.
•I to-variabel-oppgaver med lukket område (f.eks. [0,1]x[0,1]): finn indre ekstrempunkt og sammenlign med funksjonsverdiene i hjornene.