Studieguide for ECON1100 Matematikk I

Oversikt

Funksjoner er grunnmuren i all matematisk analyse i ECON1100. En funksjon $f: D \to \mathbb{R}$ tilordner hvert element i definisjonsmengden $D$ en unik verdi. For økonomisk analyse arbeider vi bade med funksjoner av en variabel $f(x)$ og flere variabler $f(x,y)$.

Definisjonsmengde og verdimengde

Definisjonsmengden er mengden av alle $x$-verdier der funksjonen er definert. Typiske begrensninger:

• $\ln(x)$: krever $x > 0$
• $\sqrt{x}$: krever $x \geq 0$
• $\frac{1}{x}$: krever $x \neq 0$
• $\frac{\ln(x)}{x}$: krever $x > 0$ (bade teller og nevner stiller krav)

Verdimengden er mengden av alle mulige funksjonsverdier. En typisk sant/usant-pastand er om verdimengden til $y = \ln(x)$ kan bli negativ. Det kan den: $\ln(x) < 0$ for alle $x \in (0, 1)$.

Inverse funksjoner

En funksjon $f$ har en invers $f^{-1}$ dersom den er strengt monoton (strengt voksende eller strengt avtakende). Den inverse tilfredsstiller $f^{-1}(f(x)) = x$ og $f(f^{-1}(y)) = y$.

Et illustrerende tilfelle: har $f(x) = e^{x^2}$ en invers gitt ved $g(y) = \sqrt{\ln(y)}$? Funksjonen $e^{x^2}$ er ikke injektiv på hele $\mathbb{R}$ (fordi $f(-x) = f(x)$), så den har ikke en global invers. Men på $[0, \infty)$ er den strengt voksende med invers $g(y) = \sqrt{\ln(y)}$. For en strengt stigende funksjon som $f(x) = \frac{1}{1+e^{-x}}$ finner du derimot inversen ved å løse $y = f(x)$ for $x$: $g(y) = \ln\!\frac{y}{1-y}$.

Lineær approksimasjon

Lineær approksimasjon (tangentplanapproksimajonen) er sentralt på eksamen. For en funksjon av en variabel rundt punktet $a$:

$$f(x) \approx f(a) + f'(a)(x - a)$$

For en funksjon av to variabler rundt punktet $(a, b)$:

$$f(x,y) \approx f(a,b) + f_x(a,b)(x - a) + f_y(a,b)(y - b)$$

En typisk sant/usant-pastand er å verifisere om et gitt uttrykk er den lineære approksimasjonen til en funksjon rundt et punkt. Da beregner du funksjonsverdien og begge partiellderiverte i punktet og setter inn i formelen, og sjekker om det stemmer.