Studieguide for ECON1100 Matematikk I

Oversikt

Funksjoner er grunnmuren i all matematisk analyse i ECON1100. En funksjon $f: D \to \mathbb{R}$ tilordner hvert element i definisjonsmengden $D$ en unik verdi. For okonomisk analyse arbeider vi bade med funksjoner av en variabel $f(x)$ og flere variabler $f(x,y)$.

Definisjonsmengde og verdimengde

Definisjonsmengden er mengden av alle $x$-verdier der funksjonen er definert. Typiske begrensninger:

• $\ln(x)$: krever $x > 0$
• $\sqrt{x}$: krever $x \geq 0$
• $\frac{1}{x}$: krever $x \neq 0$
• $\frac{\ln(x)}{x}$: krever $x > 0$ (bade teller og nevner stiller krav)

Verdimengden er mengden av alle mulige funksjonsverdier. Pa H2024 Oppgave 2c ble studentene spurt om verdimengden til $y = \ln(x)$ kan bli negativ. Svaret er sant: $\ln(x) < 0$ for alle $x \in (0, 1)$.

Inverse funksjoner

En funksjon $f$ har en invers $f^{-1}$ dersom den er strengt monoton (strengt voksende eller strengt avtakende). Den inverse tilfredsstiller $f^{-1}(f(x)) = x$ og $f(f^{-1}(y)) = y$.

Pa H2023 Oppgave 2b ble det spurt om $f(x) = e^{x^2}$ har en invers gitt ved $g(y) = \sqrt{\ln(y)}$. Funksjonen $e^{x^2}$ er ikke injektiv pa hele $\mathbb{R}$ (fordi $f(-x) = f(x)$), sa den har ikke en global invers. Men pa $[0, \infty)$ er den strengt voksende med invers $g(y) = \sqrt{\ln(y)}$.

Lineaer approksimasjon

Lineaer approksimasjon (tangentplanapproksimajonen) er sentralt pa eksamen. For en funksjon av en variabel rundt punktet $a$:

$$f(x) \approx f(a) + f'(a)(x - a)$$

For en funksjon av to variabler rundt punktet $(a, b)$:

$$f(x,y) \approx f(a,b) + f_x(a,b)(x - a) + f_y(a,b)(y - b)$$

Pa H2024 Oppgave 2a matte studentene verifisere om $-2x + 3y + 4$ er den lineaere approksimasjonen til $f(x,y) = y^2 - 3xy + 4x$ rundt $(2,1)$. Losningen krever at du beregner $f(2,1)$, $f_x(2,1)$, og $f_y(2,1)$, og setter inn i formelen. Svaret var usant -- den korrekte approksimasjonen er $x - 4y + 5$.