ECON1100 · UiO

Studieguide for ECON1100 Matematikk I

Komplett pensumoversikt for matematikk i ved UiO — med forklaringer, sentrale begreper, eksamenstips og vanlige fallgruver. Eksamensoptimalisert basert på tidligere eksamener.

Introduksjon

ECON1100 Matematikk I ved Universitetet i Oslo prøves med en skriftlig skoleeksamen på 3 timer, der eneste tillatte hjelpemiddel er ordbok. Eksamen teller 100 poeng fordelt på 4–6 oppgaver, oftest 5.

Denne studieguiden er bygd på alle 16 eksamenssettene fra vår 2018 til utsatt eksamen høst 2025 (V2018, V2018u, H2018, H2019, H2020, H2020u, H2021, H2021u, H2022, H2022u, H2023, H2023u, H2024, H2024u, H2025, H2025u) og sensorveiledningene til dem. Alle tall om hvor ofte noe kommer, er telt i disse settene.

Et fast skjelett

Oppgave 1 – derivasjon (16 av 16 sett): «finn de førsteordens (partiell)deriverte … med hensyn på alle argumenter», 15–25 poeng, og 15 poeng i de seks siste settene.
Oppgave 2 – sant eller usant med begrunnelse (finnes i 15 av 16 sett og er oppgave 2 i alle 14 sett fra H2018; V2018u hadde en flervalgsoppgave med begrunnelse): 3–7 påstander, 15–30 poeng, median 24.
Resten av settet hentes fra optimering med andreordensbetingelsen, Lagranges metode, nivåkurver og implisitt derivasjon, og en mindre oppgave om homogenitet eller funksjoner.

Hvor poengene ligger

Andel av alle poeng i de 16 settene: optimering og stasjonærpunkter 23 %, derivasjon 19 %, Lagranges metode 16 %, implisitt derivasjon og nivåkurver 12 %, homogenitet 5 %, lineær approksimasjon 5 %, funksjoner (definisjonsområde, invers, nullpunkter) 5 %, elastisiteter 5 %, eksponential- og logaritmefunksjoner 4 %, integrasjon 3 %, summer og rekker 3 %.

De nyere settene er mer standardiserte

I de åtte nyeste settene (H2022–H2025u) gir optimering 28 % av poengene, og klassifisering med andreordensbetingelsen er med i alle åtte. Invers funksjon er med i 5 av de 8. I de fire siste settene (H2024–H2025u) er det ingen oppgaver med generelle (ukjente) funksjoner, ingen graf- eller skisseoppgaver og ingen komparativ statikk — slike oppgaver sto i 11 av 16 sett, alle til og med H2023u. Kapitlene sier fra når en oppgavetype bare finnes i eldre sett.

Dette testes ikke

Følgende forekommer ikke i noen av de 16 settene eller sensorveiledningene: Cramers regel, Kuhn-Tucker og ulikhetsbibetingelser, Lagrange med to eller flere bibetingelser, rente, annuiteter og nåverdi, differensiallikninger, Taylor-polynomer, sannsynlighet, L'Hôpitals regel, gradienter, vektorer og egenverdier. Sensorveiledningene for H2024 og H2024u omtaler riktignok $f''_{xx}f''_{yy} - \left(f''_{xy}\right)^2$ som determinanten til Hessian-matrisen, og H2024 og H2025u bruker ordet «Hessian-betingelsen», men det er bare et annet navn på andreordensbetingelsen i to variabler; matriseteori utover den formelen brukes ikke.

Guiden har tolv kapitler, ett per tema. Hvert kapittel starter med hva eksamen spør om, med antall sett, og har gjennomregnede eksempler med egne tall i nummererte steg, en formelboks, eksamenstips og vanlige feil.

Funksjoner av én og flere variabler

Eksamensrelevant

Definisjonsområde (også i to variabler), verdimengde, inverse funksjoner og den deriverte til inversen, nullpunkter og standardformene Cobb-Douglas, CES og logaritmisk nytte.

Hva eksamen spør om

Temaet gir poeng i 11 av 16 eksamenssett (V2018–H2025u) når definisjonsområdet i V2018 oppgave 1 regnes med, og i alle de fire siste. Andelen av poengene har økt fra 2 % i de åtte eldste settene til 8 % i de åtte nyeste. Tre oppgavetyper går igjen:

Definisjonsområde (6 av 16 sett: V2018, V2018u, H2018, H2021, H2024, H2025) — som egen deloppgave, ofte i to variabler, eller som sant/usant-påstand.
Invers funksjon og den deriverte til inversen (6 av 16 sett, hvorav 5 av de 8 nyeste: H2019, H2023, H2023u, H2024u, H2025, H2025u) — nesten alltid som sant/usant-påstand.
Nullpunkter og likninger — nullpunkter som deloppgave i en funksjonsdrøfting (H2023 4b og H2024 4b), og et likningssystem med flere ukjente enn likninger som sant/usant-påstand (H2023u 2c).

I sant/usant-oppgaven kommer 8 av 69 påstander fra dette temaet, nest flest etter optimering.

Definisjonsområde

Definisjonsområdet er mengden av argumenter der uttrykket gir mening. Tre krav dekker alt som er spurt om i settene:

Under et kvadratrottegn må uttrykket være ikke-negativt: $\sqrt{x-3}$ krever $x \ge 3$ .
Inne i en logaritme må uttrykket være strengt positivt: $\ln x$ krever $x > 0$ .
En nevner kan ikke være null.

Er flere krav i spill samtidig, er definisjonsområdet snittet av dem. For $h(x) = \sqrt{x-1}\,\ln x$ gir kravene $x \ge 1$ og $x > 0$ , altså $x \ge 1$ . For funksjoner av to variabler blir svaret en mengde i planet: $F(x,y) = \ln(xy)$ er definert der $xy > 0$ , altså i første og tredje kvadrant. Skriv svaret som en mengde, for eksempel $D = \{(x,y) : x > 0,\ y > 0\}$ .

Verdimengde

Verdimengden er mengden av verdier funksjonen faktisk antar. To resultater brukes i påstandsoppgavene:

$e^{x}$ har verdimengde $(0,\infty)$ — den blir aldri null eller negativ.
$\ln x$ har verdimengde hele $\mathbb{R}$ — den er negativ for $0 < x < 1$ .

Funksjonene er hverandres inverse, så definisjonsområdet til den ene er verdimengden til den andre.

Inverse funksjoner

En funksjon har en invers dersom den aldri antar samme verdi to ganger. Den enkleste begrunnelsen på eksamen er monotoni: er $f'(x) > 0$ (eller $f'(x) < 0$ ) på et intervall, er $f$ strengt monoton der og har en invers på intervallet. Kravet om intervall er viktig: $f(x) = x - \dfrac1x$ har $f'(x) = 1 + \dfrac{1}{x^2} > 0$ overalt der den er definert, men $f(-1) = f(1) = 0$ , fordi definisjonsområdet $x \neq 0$ består av to intervaller. $f(x) = x^2$ har ingen invers på hele $\mathbb{R}$ , fordi $f(-2) = f(2)$ ; på $[0,\infty)$ er inversen $\sqrt{y}$ .

Inversen $f^{-1}$ er definert på verdimengden til $f$ . Den deriverte til inversen finner du uten å regne ut inversen:

$\left(f^{-1}\right)'(y_0) = \frac{1}{f'(x_0)}, \qquad \text{der } f(x_0) = y_0$

Formelen kommer fra å derivere identiteten $f\big(f^{-1}(y)\big) = y$ med kjerneregelen: $f'\big(f^{-1}(y)\big)\cdot\left(f^{-1}\right)'(y) = 1$ . Framgangsmåten er: finn $x_0$ fra $f(x_0) = y_0$ , regn ut $f'(x_0)$ , og ta den omvendte verdien. Den vanligste feilen er å sette inn $y_0$ i $f'$ i stedet for $x_0$ .

Funksjoner av flere variabler og standardformene

En funksjon $f(x,y)$ tilordner ett tall til hvert par $(x,y)$ . På eksamen jobber man med nivåkurvene $f(x,y) = c$ — indifferenskurver for nyttefunksjoner og isokvanter for produktfunksjoner. Helning og form behandles under implisitt derivasjon.

Cobb-Douglas: $AK^{\alpha}L^{\beta}$ — homogen av grad $\alpha+\beta$ , partielle elastisiteter $\alpha$ og $\beta$ .
CES: $(K^{\gamma}+L^{\gamma})^{\alpha/\gamma}$ — homogen av grad $\alpha$ .
Logaritmisk nytte: $\ln x + \ln y = \ln(xy)$ — gir faste budsjettandeler i Lagrange-oppgaven.
Rotnytte: $a\sqrt{x} + b\sqrt{y}$ — konkav, brukt i H2024.

Ekstremverdier på et lukket og begrenset område

En kontinuerlig funksjon på et lukket og begrenset område (for eksempel et rektangel med randen inkludert) har både et største og et minste punkt. Begge forutsetningene trengs: $1/x$ på $(0,\infty)$ har verken maksimum eller minimum. Når definisjonsområdet er lukket og begrenset, må randen undersøkes i tillegg til de indre stasjonærpunktene (H2025 oppgave 5).

Eksempel 1: Definisjonsområde i to variabler

Oppgave: Bestem definisjonsområdet til $f(x,y) = \sqrt{x-1}+\sqrt{4-x}+\ln(3-y)$ .

$\sqrt{x-1}$ krever $x \ge 1$ .
$\sqrt{4-x}$ krever $x \le 4$ .
$\ln(3-y)$ krever $3 - y > 0$ , altså $y < 3$ .
Alle kravene må holde samtidig, så definisjonsområdet er snittet.

Svar: $D = \{(x,y) : 1 \le x \le 4,\ y < 3\}$ — et bånd i planet som er lukket i $x$ -retning og åpent oppover mot $y = 3$ .

Definisjonsområdet D til √(x − 1) + √(4 − x) + ln(3 − y) skravert: båndet 1 ≤ x ≤ 4, y < 3, med heltrukne kanter x = 1 og x = 4 og stiplet kant y = 3 som ikke hører med — Definisjonsområdet er båndet mellom x = 1 og x = 4 under linja y = 3. De loddrette kantene hører med, den stiplede kanten y = 3 gjør det ikke.

Eksempel 2: Invers til en sammensatt funksjon

Oppgave: La $f(x) = \sqrt{e^{x} + 3}$ . Vis at $f$ har en invers, finn verdimengden og en formel for $f^{-1}$ , og regn ut $\left(f^{-1}\right)'(2)$ .

Kjerneregelen gir $f'(x) = \dfrac{e^{x}}{2\sqrt{e^{x}+3}}$ . Teller og nevner er positive, så $f'(x) > 0$ på hele $\mathbb{R}$ , som er et intervall.
$f$ er dermed strengt voksende og har en invers.
Når $x \to -\infty$ , går $e^{x} \to 0$ og $f(x) \to \sqrt3$ . Når $x \to \infty$ , går $f(x) \to \infty$ . Verdimengden er $(\sqrt3,\infty)$ , og det er definisjonsområdet til $f^{-1}$ .
Løs $y = \sqrt{e^{x}+3}$ for $x$ : $y^2 = e^{x} + 3$ , så $e^{x} = y^2 - 3$ og $f^{-1}(y) = \ln\left(y^2 - 3\right)$ for $y > \sqrt3$ .
Finn $x_0$ med $f(x_0) = 2$ : $e^{x_0} + 3 = 4$ gir $x_0 = 0$ . Da er $f'(0) = \dfrac{1}{2\cdot 2} = \dfrac14$ , så $\left(f^{-1}\right)'(2) = \dfrac{1}{f'(0)} = 4$ .
Kontroll med formelen: $\left(f^{-1}\right)'(y) = \dfrac{2y}{y^2-3}$ , som er $\dfrac{4}{1} = 4$ i $y = 2$ .

Svar: $f$ er strengt voksende og har derfor en invers $f^{-1}(y) = \ln(y^2-3)$ på verdimengden $(\sqrt3,\infty)$ , og $\left(f^{-1}\right)'(2) = 4$ .

Grafen til f(x) = √(e^x + 3) og inversen ln(y² − 3) speilet om y = x, med asymptotene y = √3 og x = √3, punktene (0, 2) og (2, 0) og tangentene med stigning 1/4 og 4 — f og f⁻¹ er speilbilder om y = x. Tangenten i (0, 2) har stigning ¼, og den speilede tangenten i (2, 0) har stigning 4 — derfor er (f⁻¹)′(2) = 1/f′(0).

Eksempel 3: Sant eller usant — derivert av invers

Påstand: $h(x) = x^3 + 2x$ har en invers, og $\left(h^{-1}\right)'(3) = \tfrac15$ .

$h'(x) = 3x^2 + 2 > 0$ for alle $x$ , så $h$ er strengt voksende og har en invers.
Finn $x_0$ med $h(x_0) = 3$ : $x_0 = 1$ passer, siden $1 + 2 = 3$ .
$h'(1) = 3 + 2 = 5$ , så $\left(h^{-1}\right)'(3) = \tfrac{1}{h'(1)} = \tfrac15$ .

Svar: Sant.

Eksempel 4: Sant eller usant — definisjonsområde

Påstand: Funksjonen $g(x) = \sqrt{x}\,\ln(5 - x)$ er definert for $0 \le x \le 5$ .

$\sqrt{x}$ krever $x \ge 0$ .
$\ln(5-x)$ krever $5 - x > 0$ , altså $x < 5$ . I $x = 5$ står det $\ln 0$ , som ikke er definert.
Definisjonsområdet er snittet $[0,5)$ .

Svar: Usant — $g$ er definert for $0 \le x < 5$ , men ikke i $x = 5$ .

Eksempel 5: Nullpunkter som første steg i en drøfting

Oppgave: Finn nullpunktene til $f(x) = x^3 - 9x$ , og avgjør hvor $f$ er positiv.

Faktoriser: $f(x) = x(x^2 - 9) = x(x-3)(x+3)$ .
Et produkt er null når en av faktorene er null: $x = -3$ , $x = 0$ eller $x = 3$ .
Fortegnslinje for de tre faktorene: produktet er negativt for $x < -3$ , positivt på $(-3,0)$ , negativt på $(0,3)$ og positivt for $x > 3$ .

Svar: Nullpunktene er $x = -3$ , $0$ og $3$ , og $f(x) > 0$ for $-3 < x < 0$ og for $x > 3$ .

Nøkkelformler

• $\left(f^{-1}\right)'(y_0) = \dfrac{1}{f'(x_0)}$ , der $f(x_0) = y_0$
• $\sqrt{g}$ : $g \ge 0$ ; $\ln g$ : $g > 0$ ; $\tfrac{1}{g}$ : $g \neq 0$
• $e^{x}$ : verdimengde $(0,\infty)$ ; $\ln x$ : verdimengde $\mathbb{R}$
• $F(K,L) = AK^{\alpha}L^{\beta}$ (Cobb-Douglas)

Vanlige feil

⚠️Å glemme ett av kravene når flere rottegn, logaritmer eller nevnere inngår i samme uttrykk.
⚠️Å sette $y_0$ inn i $f'$ i formelen for den deriverte til inversen — det er $x_0$ som skal inn.
⚠️Å påstå at verdimengden til $\ln x$ er $(0,\infty)$ — den er hele $\mathbb{R}$ .
⚠️Å hevde at $x^2$ har en invers på hele $\mathbb{R}$ .
⚠️Å blande definisjonsområde (argumentene) og verdimengde (funksjonsverdiene).

Eksamenstips

💡Definisjonsområde er spurt om i 6 av 16 sett, sist i H2024 og H2025. Gå systematisk gjennom rottegn, logaritmer og nevnere, og skriv svaret som en mengde.
💡Invers funksjon er med i 5 av de 8 nyeste settene. Begrunn at inversen finnes med fortegnet til $f'$ , ikke med en graf.
💡Bruk $\left(f^{-1}\right)'(y_0) = 1/f'(x_0)$ i stedet for å regne ut inversen. Finn $x_0$ fra $f(x_0) = y_0$ først.
💡Når definisjonsområdet er lukket og begrenset, må randen undersøkes i tillegg til de indre stasjonærpunktene.

Laster...

Laster…