ECON1100

Studieguide

God oversikt over pensum med forklaringer, formler, vanlige feil og eksamenstips.

Introduksjon

ECON1100 Matematikk for okonomer er et grunnleggende emne ved Universitetet i Oslo som gir studentene det matematiske verktoysettet for a analysere okonomiske modeller. Kurset dekker funksjoner av en og flere variabler, derivasjon (inkludert partiell og implisitt), integrasjon, optimering, og Lagranges metode med bibetingelser.

Eksamen bestar av 5 oppgaver a 100 poeng totalt, med fast struktur: Oppgave 1 (15 p) er ren derivasjon av funksjoner i flere variabler, Oppgave 2 (25 p) er sant/usant med begrunnelse, Oppgave 3 (20 p) er Lagrange-optimering, Oppgave 4 (20 p) er funksjonsanalyse i en variabel (voksende/avtakende, nullpunkter, lineaer approksimasjon), og Oppgave 5 (20 p) er klassifisering av stasjonaerpunkter med andreordensbetingelser for funksjoner i to variabler.

Viktig: Eksamen krever bade korrekt utregning og riktig fremgangsmate. Riktig metode gir uttelling selv ved smaregnefeil, men manglende begrunnelse gir trekk. Poengene i hver oppgave fordeles likt mellom deloppgavene. Apenbar forenkling skal gjores for full uttelling.

Funksjoner av en og flere variabler

Funksjoner i en og to variabler, definisjonsmengde og verdimengde, inverse funksjoner, og lineaer approksimasjon i en og to variabler.

Oversikt

Funksjoner er grunnmuren i all matematisk analyse i ECON1100. En funksjon $f: D \to \mathbb{R}$ tilordner hvert element i definisjonsmengden $D$ en unik verdi. For okonomisk analyse arbeider vi bade med funksjoner av en variabel $f(x)$ og flere variabler $f(x,y)$.

Definisjonsmengde og verdimengde

Definisjonsmengden er mengden av alle $x$-verdier der funksjonen er definert. Typiske begrensninger:

$\ln(x)$: krever $x > 0$
$\sqrt{x}$: krever $x \geq 0$
$\frac{1}{x}$: krever $x \neq 0$
$\frac{\ln(x)}{x}$: krever $x > 0$ (bade teller og nevner stiller krav)

Verdimengden er mengden av alle mulige funksjonsverdier. Pa H2024 Oppgave 2c ble studentene spurt om verdimengden til $y = \ln(x)$ kan bli negativ. Svaret er sant: $\ln(x) < 0$ for alle $x \in (0, 1)$.

Inverse funksjoner

En funksjon $f$ har en invers $f^{-1}$ dersom den er strengt monoton (strengt voksende eller strengt avtakende). Den inverse tilfredsstiller $f^{-1}(f(x)) = x$ og $f(f^{-1}(y)) = y$.

Pa H2023 Oppgave 2b ble det spurt om $f(x) = e^{x^2}$ har en invers gitt ved $g(y) = \sqrt{\ln(y)}$. Funksjonen $e^{x^2}$ er ikke injektiv pa hele $\mathbb{R}$ (fordi $f(-x) = f(x)$), sa den har ikke en global invers. Men pa $[0, \infty)$ er den strengt voksende med invers $g(y) = \sqrt{\ln(y)}$.

Lineaer approksimasjon

Lineaer approksimasjon (tangentplanapproksimajonen) er sentralt pa eksamen. For en funksjon av en variabel rundt punktet $a$:

$ $f(x) \approx f(a) + f'(a)(x - a)$ $For en funksjon av to variabler rundt punktet $(a, b)$:$ $f(x,y) \approx f(a,b) + f_x(a,b)(x - a) + f_y(a,b)(y - b)$ $Pa H2024 Oppgave 2a matte studentene verifisere om $-2x + 3y + 4$ er den lineaere approksimasjonen til $f(x,y) = y^2 - 3xy + 4x$ rundt $(2,1)$. Losningen krever at du beregner $f(2,1)$, $f_x(2,1)$, og $f_y(2,1)$, og setter inn i formelen. Svaret var usant -- den korrekte approksimasjonen er $x - 4y + 5$.<div class="eksempel-boks"><h4>Eksempel 1: Lineaer approksimasjon i en variabel (H2024, Oppgave 4c)</h4>Oppgave: Finn den lineaere approksimasjonen til $f(x) = x^2 - 4x + 4$ rundt punktet $(3, f(3))$.Losning: Vi trenger $f(3)$ og $f'(3)$:$ $f(3) = 9 - 12 + 4 = 1$ $$ $f'(x) = 2x - 4 \implies f'(3) = 2$ $

Den lineaere approksimasjonen: $f(x) \approx 1 + 2(x - 3) = 2x - 5$

Eksempel 2: Lineaer approksimasjon i to variabler (H2023, Oppgave 2a)

Oppgave: Er $6x - 2y - 1$ den lineaere approksimasjonen for $f(x,y) = x^2 + 2xy - y^2$ rundt $(1, 2)$?

Losning: Beregn: $f(1,2) = 1 + 4 - 4 = 1$. Partiellderiverte: $f_x = 2x + 2y \implies f_x(1,2) = 6$, $f_y = 2x - 2y \implies f_y(1,2) = -2$.

Approksimasjonen: $f(x,y) \approx 1 + 6(x-1) - 2(y-2) = 6x - 2y - 1$. Sant!

Nøkkelformler

•$ $f(x) \approx f(a) + f'(a)(x - a)$ $ (Lineaer approksimasjon i en variabel)
•$ $f(x,y) \approx f(a,b) + f_x(a,b)(x-a) + f_y(a,b)(y-b)$ $ (Lineaer approksimasjon i to variabler)
•$ $f^{-1}(f(x)) = x$ $ (Invers funksjon)

Vanlige feil

⚠️Glemme a beregne funksjonsverdien f(a) i tillegg til den deriverte f'(a) i lineaer approksimasjon.
⚠️Forveksle verdimengde og definisjonsmengde -- ln(x) har verdimengde (-inf, inf) men definisjonsmengde (0, inf).
⚠️Pasta at e^(x^2) har invers pa hele R -- den er ikke injektiv fordi f(-x) = f(x).
⚠️Feil i lineaer approksimasjon i to variabler -- glemme et av de to partiellderivert-leddene.

Eksamenstips

💡Lineaer approksimasjon testes nesten hvert ar, bade i Oppgave 2 (sant/usant) og Oppgave 4c. Drill denne formelen.
💡Oppgave 2 spor alltid om definisjonsmengde og egenskaper til standard funksjoner (ln, e^x, x^n). Kan de grunnleggende egenskapene!
💡Skriv eksplisitt ut bade f(a), f'(a), og selve approksimasjonsformelen -- det gir delpoeng selv ved regnefeil.
💡Husk at ln(x) kan vaere negativ (for x mellom 0 og 1) og at ln(x) gar mot minus uendelig nar x gar mot 0.

Laster...

Introduksjon