Lineær uavhengighet av søylevektorer

Vektorene \(\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_k\) er lineært uavhengige hvis den eneste lineærkombinasjonen som gir nullvektoren er den trivielle. Praktisk legger vi vektorene som kolonner i en matrise og bruker determinant (kvadratisk tilfelle) eller Gauss-eliminasjon og rang.

Test for uavhengighet: For \(n\) vektorer i \(\mathbb{R}^n\): sett dem som kolonner i \(A\).

\(\det A\neq 0 \Rightarrow\) lineært uavhengige.
\(\det A=0 \Rightarrow\) lineært avhengige.

Generelt: antall lineært uavhengige vektorer = rangen = antall pivoter etter Gauss-eliminasjon. I \(\mathbb{R}^n\) kan høyst \(n\) vektorer være uavhengige.

Eksempel 1: Er \((1,2,0)\), \((2,4,1)\), \((3,6,1)\) lineært uavhengige?

Sett opp matrisen med vektorene som kolonner: \(A=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&6\\0&1&1\end{pmatrix}\)

Observasjon: rad 2 er \(2\times\) rad 1, så radene er avhengige.

\(\det A=0\) (to proporsjonale rader).

Konklusjon: Vektorene er lineært avhengige.

Standardmatrise til en lineærtransformasjon

En avbildning \(T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m\) er lineær hvis \(T(a\mathbf{u}+b\mathbf{v})=aT(\mathbf{u})+bT(\mathbf{v})\). Enhver lineærtransformasjon kan skrives \(T(\mathbf{x})=A\mathbf{x}\).

Standardmatrisen: \(A=[\,T(\mathbf{e}_1)\ T(\mathbf{e}_2)\ \cdots\ T(\mathbf{e}_n)\,]\)

Kolonnene er bildene av standard-basisvektorene. Matrisen blir \(m\times n\).

Vanlige \(2\times2\)-matriser: rotasjon \(\theta\): \(\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}\); refleksjon om \(x\)-aksen: \(\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}\); projeksjon på \(x\)-aksen: \(\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\).

Eksempel 2: \(T(\mathbf{e}_1)=(1,2)\) og \(T(\mathbf{e}_2)=(3,-1)\). Finn \(A\) og \(T(2,3)\).

Kolonnene er bildene: \(A=\begin{pmatrix}1&3\\2&-1\end{pmatrix}\)

\(T(2,3)=A\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\cdot2+3\cdot3\\2\cdot2+(-1)\cdot3\end{pmatrix}\)

\(=\begin{pmatrix}2+9\\4-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}11\\1\end{pmatrix}\)

Bestemme matrise fra bilder av vektorer

Hvis \(T\) er kjent på vektorer som ikke er standard-basis, utnytter vi lineariteten. Når bildene av to uavhengige vektorer er kjent, kan vi løse for bildene av \(\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2\).

Eksempel 3: \(T(1,1)=(3,3)\) og \(T(1,-1)=(1,-1)\). Finn standardmatrisen.

\(\mathbf{e}_1=(1,0)=\tfrac12[(1,1)+(1,-1)]\)

\(T(\mathbf{e}_1)=\tfrac12[T(1,1)+T(1,-1)]=\tfrac12[(3,3)+(1,-1)]=\tfrac12(4,2)=(2,1)\)

\(\mathbf{e}_2=(0,1)=\tfrac12[(1,1)-(1,-1)]\)

\(T(\mathbf{e}_2)=\tfrac12[(3,3)-(1,-1)]=\tfrac12(2,4)=(1,2)\)

Svar: \(A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}\)

Sammensatte transformasjoner og projeksjoner

Utfører vi først \(S\), så \(T\), blir matrisen produktet \(A_T A_S\) — den siste transformasjonen står lengst til venstre. En (ortogonal) projeksjon er idempotent: \(P^2=P\), med egenverdier kun 0 og 1.

Sammensetning: \((T\circ S)(\mathbf{x})=A_T A_S\,\mathbf{x}\) (matriseproduktet er ikke kommutativt!).

Projeksjon: \(P^2=P\). To rotasjoner: \(R_\varphi R_\theta=R_{\theta+\varphi}\).

Eksempel 4: Rotasjon \(90^\circ\) mot klokka (\(S\)) etterfulgt av skalering med faktor 2 (\(T\)).

\(A_S=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}\), \(A_T=\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}\)

\(A_{T\circ S}=A_T A_S=\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&-2\\2&0\end{pmatrix}\)

Diagonalisering og egenverdier (innledende)

En egenvektor \(\mathbf{v}\neq\mathbf{0}\) oppfyller \(A\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}\). Egenverdiene finnes fra den karakteristiske likningen \(\det(A-\lambda I)=0\). Når \(A\) (\(n\times n\)) har \(n\) lineært uavhengige egenvektorer, er den diagonaliserbar: \(A=PDP^{-1}\).

Egenverdier (2×2): \(\lambda^2-(\operatorname{tr}A)\lambda+\det A=0\), der \(\operatorname{tr}A=\sum\lambda_i\) og \(\det A=\prod\lambda_i\).

Diagonalisering: \(A=PDP^{-1}\); \(P\) har egenvektorene som kolonner, \(D\) har egenverdiene på diagonalen i samme rekkefølge. Da er \(A^k=PD^kP^{-1}\).

Eksempel 5: Diagonaliser \(A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}\).

\(\det(A-\lambda I)=(2-\lambda)^2-1=\lambda^2-4\lambda+3=(\lambda-3)(\lambda-1)\)

Egenverdier: \(\lambda_1=3\), \(\lambda_2=1\).

\(\lambda=3\): \((A-3I)=\begin{pmatrix}-1&1\\1&-1\end{pmatrix}\Rightarrow v_1=v_2\), egenvektor \((1,1)\).

\(\lambda=1\): \((A-I)=\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}\Rightarrow v_1=-v_2\), egenvektor \((1,-1)\).

\(P=\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}\), \(D=\begin{pmatrix}3&0\\0&1\end{pmatrix}\), og \(A=PDP^{-1}\).

Studieguide: Vektorrom og lineærtransformasjoner

Studieguide: Vektorrom og lineærtransformasjoner