Matriser og grunnoperasjoner

En matrise med m rader og n kolonner kalles en \(m\times n\)-matrise. Addisjon og subtraksjon gjøres elementvis og krever at matrisene har nøyaktig samme dimensjon. Skalarmultiplikasjon ganger hvert element med samme tall og er alltid definert.

Dimensjonsregler

Addisjon \(A+B\): krever lik dimensjon, resultat samme dimensjon.

Produkt \(AB\): krever at kolonner i \(A\) = rader i \(B\). Hvis \(A\) er \(m\times n\) og \(B\) er \(n\times p\), blir \(AB\) en \(m\times p\)-matrise.

Matrisemultiplikasjon er ikke kommutativ: generelt \(AB\neq BA\).

Et enkelt element i produktet beregnes som prikkproduktet av en rad i \(A\) og en kolonne i \(B\): \((AB)_{ij}=\sum_k A_{ik}B_{kj}\).

Eksempel 1: Matriseprodukt

Regn ut \(\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}\).

Dimensjonssjekk: \((2\times 2)(2\times 2)\Rightarrow\) definert, resultat \(2\times 2\).

Element (1,1): \(1\cdot 5+2\cdot 7=5+14=19\)

Element (1,2): \(1\cdot 6+2\cdot 8=6+16=22\)

Element (2,1): \(3\cdot 5+4\cdot 7=15+28=43\)

Element (2,2): \(3\cdot 6+4\cdot 8=18+32=50\)

Svar: \(\begin{pmatrix}19&22\\43&50\end{pmatrix}\)

Determinant og invertibilitet

Determinanten er et tall som forteller om en kvadratisk matrise er invertibel. For en \(2\times 2\)-matrise: \(\det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc\). For \(3\times 3\) bruker vi kofaktorutvikling langs en rad eller kolonne (helst en med nuller).

Determinant-egenskaper

\(A\) invertibel \(\iff\det(A)\neq 0\) (ellers er \(A\) singulær).

\(\det(AB)=\det(A)\det(B)\), \(\quad\det(A^{-1})=1/\det(A)\), \(\quad\det(A^T)=\det(A)\).

\(\det(kA)=k^n\det(A)\) for \(n\times n\). Triangulær matrise: \(\det=\) produkt av diagonalen.

Radombytting gir fortegnsskifte; to like rader gir \(\det=0\).

Invers matrise

For en \(2\times 2\)-matrise har vi en direkte formel. For større matriser bruker vi Gauss-eliminasjon: radreduser \([A\,|\,I]\) til \([I\,|\,A^{-1}]\).

Invers av 2x2

\(A^{-1}=\dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}\): bytt diagonalelementene, snu fortegn på antidiagonalen, del på determinanten.

Eksempel 2: Løs matriselikningen \(AX+C=B\)

La \(A=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}\), \(B=\begin{pmatrix}5\\3\end{pmatrix}\), \(C=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\).

Isoler \(X\): \(AX=B-C\Rightarrow X=A^{-1}(B-C)\).

\(B-C=\begin{pmatrix}5-1\\3-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}\)

\(\det(A)=2\cdot 1-1\cdot 1=1\), så \(A^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}\)

\(X=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4-2\\-4+4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}\)

Kontroll: \(A\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}+C=\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\3\end{pmatrix}=B\) ✓

Matriselikninger

Nøkkelen til matriselikninger er å huske at multiplikasjon ikke er kommutativ. Står \(A\) til venstre for \(X\) (\(AX=B\)), multipliserer du med \(A^{-1}\) fra venstre: \(X=A^{-1}B\). Står \(A\) til høyre (\(XA=B\)), multipliserer du fra høyre: \(X=BA^{-1}\). Ved \(AX+C=B\) flytter du først \(C\): \(AX=B-C\), deretter \(X=A^{-1}(B-C)\).

Studieguide: Matriser og determinanter