Total- og koeffisientmatrise

Et lineært likningssystem kodes effektivt som matriser. Koeffisientmatrisen \(A\) inneholder koeffisientene til de ukjente, mens totalmatrisen (utvidet koeffisientmatrise) \([A\mid b]\) i tillegg har en kolonne for konstantleddene. For \(2x+3y=7,\ x-y=1\) er totalmatrisen \(\left[\begin{array}{cc|c}2&3&7\\1&-1&1\end{array}\right]\). Hver rad er én likning, hver av de første kolonnene er én variabel, og kolonnen etter streken er høyresiden.

Tre elementære radoperasjoner (bevarer løsningsmengden):

1. Bytte to rader: \(R_i\leftrightarrow R_j\).
2. Gange en rad med en konstant \(\neq 0\): \(R_i\to cR_i\).
3. Legge til et multiplum av en rad til en annen: \(R_i\to R_i+kR_j\).

Gauss-eliminasjon og trappeform

Målet med Gauss-eliminasjon er å radredusere totalmatrisen til trappeform: alle null-rader nederst, og hver pivot (ledende ikke-null oppføring) strengt til høyre for pivoten over. Med Gauss-Jordan reduserer vi videre til redusert trappeform, der hver pivot er 1 og eneste ikke-null i sin kolonne — da kan løsningen leses direkte.

Antall pivoter kalles rangen til matrisen. Pivotkolonner svarer til bundne variabler; kolonner uten pivot svarer til frie variabler.

Eksempel 1: Løs \(x+y+z=6,\ x+2y+3z=14,\ x+3y+6z=25\).

Totalmatrise: \(\left[\begin{array}{ccc|c}1&1&1&6\\1&2&3&14\\1&3&6&25\end{array}\right]\)

\(R_2\to R_2-R_1,\ R_3\to R_3-R_1\): \(\left[\begin{array}{ccc|c}1&1&1&6\\0&1&2&8\\0&2&5&19\end{array}\right]\)

\(R_3\to R_3-2R_2\): \(\left[\begin{array}{ccc|c}1&1&1&6\\0&1&2&8\\0&0&1&3\end{array}\right]\)

Tilbakesubstitusjon: \(z=3\)

\(y+2\cdot 3=8\Rightarrow y=2\)

\(x+2+3=6\Rightarrow x=1\)

Løsning: \((x,y,z)=(1,2,3)\). Kontroll: \(1+6+18=25\) ✓

Én, uendelig mange eller ingen løsning

Etter radreduksjon leses løsningstypen direkte:

Klassifisering av løsninger:

Entydig løsning: konsistent, og antall pivoter = antall ukjente (ingen frie variabler).
Uendelig mange: konsistent, men minst én fri variabel (\(\operatorname{rang}<\) antall ukjente).
Ingen løsning: en rad \([0\ 0\ \cdots\ 0\mid c]\) med \(c\neq 0\) (selvmotsigelse \(0=c\)).

Rang-kriteriet (Rouché–Capelli): konsistent \(\iff \operatorname{rang}(A)=\operatorname{rang}([A\mid b])\).

Et homogent system \(A\mathbf{x}=\mathbf{0}\) er alltid konsistent (nullvektoren passer). Det har ikke-trivielle løsninger nøyaktig når det finnes frie variabler — for eksempel alltid når det er flere ukjente enn likninger.

Konsistens-drøfting med parametere

Når koeffisientene inneholder parametere \(a,b\), radreduserer vi og isolerer en betingelsesrad. For kvadratiske systemer er determinanten nyttig: \(\det A\neq 0\) gir entydig løsning, mens \(\det A=0\) gir enten ingen eller uendelig mange (avhengig av høyresiden).

Eksempel 2: Drøft \(x+y+z=1,\ 2x+3y+z=2,\ x+y+az=b\) for alle \(a,b\).

Totalmatrise: \(\left[\begin{array}{ccc|c}1&1&1&1\\2&3&1&2\\1&1&a&b\end{array}\right]\)

\(R_2\to R_2-2R_1\): \([0\ 1\ -1\mid 0]\)

\(R_3\to R_3-R_1\): \([0\ 0\ a-1\mid b-1]\)

Betingelsesraden er \((a-1)z=b-1\).

Tilfelle 1: \(a\neq 1\Rightarrow z=\dfrac{b-1}{a-1}\) entydig → én løsning.

Tilfelle 2: \(a=1,\ b=1\Rightarrow 0=0\), \(z\) fri → uendelig mange.

Tilfelle 3: \(a=1,\ b\neq 1\Rightarrow 0=b-1\neq 0\) → ingen løsning.

Løsning på vektorform med frie variable

Når et system har frie variabler, settes disse som parametre (\(s,t,\ldots\)), de bundne uttrykkes ved dem, og alt samles på vektorform: \(\mathbf{x}=\mathbf{x}_p+s\mathbf{v}_1+t\mathbf{v}_2+\cdots\). Her er \(\mathbf{x}_p\) en partikulærløsning (alle parametre = 0), og \(\mathbf{v}_i\) spenner ut løsningsrommet til det tilhørende homogene systemet.

Eksempel 3: Skriv løsningen av \(x+2y-z=3,\ 2x+4y-2z=6\) på vektorform.

\(R_2\to R_2-2R_1\) gir \([0\ 0\ 0\mid 0]\) — likning 2 er overflødig.

Igjen står \(x+2y-z=3\), altså \(x=3-2y+z\).

Frie variabler: \(y=s,\ z=t\).

\(\mathbf{x}=\begin{bmatrix}3-2s+t\\s\\t\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3\\0\\0\end{bmatrix}+s\begin{bmatrix}-2\\1\\0\end{bmatrix}+t\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}\)

To frie parametre → løsningsmengden er et plan i \(\mathbb{R}^3\).

Antall frie variabler følger rang-nullitet-teoremet: \(\text{nullitet}=n-\operatorname{rang}(A)\), der \(n\) er antall ukjente. Geometrisk er løsningsmengden til et konsistent system en affin delmengde: et punkt (0 parametre), en linje (1), et plan (2), osv.

Studieguide: Lineære likningssystem