Kartesisk form og regneoperasjoner

Et komplekst tall skrives på kartesisk form som \(z = a + bi\), der \(a = \operatorname{Re}(z)\) er realdelen og \(b = \operatorname{Im}(z)\) er imaginærdelen (et reelt tall, uten \(i\)). Den komplekskonjugerte er \(\bar{z} = a - bi\).

Regneoperasjoner:

Addisjon/subtraksjon: ledd for ledd, \((a+bi) \pm (c+di) = (a\pm c) + (b\pm d)i\).

Multiplikasjon: gang ut og bruk \(i^2 = -1\).

Divisjon: multipliser teller og nevner med konjugert nevner, slik at nevneren blir reell: \(z\bar{z} = a^2 + b^2 = |z|^2\).

Eksempel: Divisjon Regn ut \(\dfrac{3 + 2i}{1 - i}\).

Multipliser med konjugert nevner \(1 + i\):

\(\dfrac{(3+2i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}\)

Teller: \(3 + 3i + 2i + 2i^2 = 3 + 5i - 2 = 1 + 5i\)

Nevner: \((1-i)(1+i) = 1 - i^2 = 1 + 1 = 2\)

\(= \dfrac{1 + 5i}{2} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{5}{2}i\)

Polarform og modulus/argument

Et komplekst tall kan også beskrives ved sin avstand fra origo (modulus) og vinkelen med positiv reell akse (argument). Polarformen er \(z = r(\cos\theta + i\sin\theta)\).

Modulus: \(r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}\)

Argument: \(\theta = \arg(z)\), bestemt av \(\tan\theta = \dfrac{b}{a}\) OG hvilken kvadrant \((a,b)\) ligger i.

Tilbake til kartesisk: \(a = r\cos\theta\), \(b = r\sin\theta\).

Eksempel: Til polarform Skriv \(z = -1 + i\) på polarform.

Modulus: \(r = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2}\)

Tallet ligger i 2. kvadrant (negativ realdel, positiv imaginærdel).

Referansevinkel: \(\arctan\!\left(\tfrac{1}{1}\right) = 45^\circ\)

Argument: \(\theta = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ\)

\(z = \sqrt{2}\,(\cos 135^\circ + i\sin 135^\circ) = \sqrt{2}\,e^{i\cdot 3\pi/4}\)

Produkt og divisjon på polarform:

\(|z_1 z_2| = |z_1||z_2|\), \(\arg(z_1 z_2) = \arg z_1 + \arg z_2\)

\(\left|\tfrac{z_1}{z_2}\right| = \tfrac{|z_1|}{|z_2|}\), \(\arg\!\left(\tfrac{z_1}{z_2}\right) = \arg z_1 - \arg z_2\)

Eulers formel og potenser

Eulers formel \(e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\) gir eksponentialformen \(z = re^{i\theta}\), som er den mest effektive formen for potenser og røtter. Spesialtilfellet \(\theta = \pi\) gir Eulers identitet \(e^{i\pi} + 1 = 0\).

De Moivres formel: \(z^n = r^n(\cos n\theta + i\sin n\theta) = r^n e^{in\theta}\)

Modulus opphøyes i \(n\), argumentet multipliseres med \(n\).

Eulers formler for trig: \(\cos\theta = \tfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}\), \(\sin\theta = \tfrac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}\)

Eksempel: Potens Regn ut \((1 + i)^8\).

Skriv \(1+i\) på eksponentialform: \(r = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt2\), \(\theta = 45^\circ = \tfrac{\pi}{4}\)

\(1 + i = \sqrt2\,e^{i\pi/4}\)

De Moivre: \((1+i)^8 = (\sqrt2)^8\,e^{i\cdot 8\pi/4} = 16\,e^{i2\pi}\)

\(e^{i2\pi} = \cos 360^\circ + i\sin 360^\circ = 1\)

\((1+i)^8 = 16\)

Løsning av komplekse likninger

Likningen \(z^n = w\) (med \(w \neq 0\)) har nøyaktig \(n\) forskjellige løsninger. De ligger jevnt fordelt på en sirkel med radius \(|w|^{1/n}\) og danner hjørnene i en regulær \(n\)-kant.

\(n\)-te røtter: Skriv \(w = re^{i\theta}\). Da er

\(z_k = r^{1/n}\,e^{i(\theta + 2\pi k)/n}\), \(\quad k = 0, 1, \dots, n-1\)

Eksempel: Tredjerøtter Finn alle løsninger av \(z^3 = 8\).

\(8 = 8\,e^{i\cdot 0}\), så \(r^{1/3} = 8^{1/3} = 2\)

\(z_k = 2\,e^{i(0 + 2\pi k)/3} = 2\,e^{i\cdot 120^\circ k}\)

\(k=0\): \(z_0 = 2(\cos 0 + i\sin 0) = 2\)

\(k=1\): \(z_1 = 2(\cos 120^\circ + i\sin 120^\circ) = 2\!\left(-\tfrac12 + i\tfrac{\sqrt3}{2}\right) = -1 + \sqrt3\,i\)

\(k=2\): \(z_2 = 2(\cos 240^\circ + i\sin 240^\circ) = -1 - \sqrt3\,i\)

Komplekse røtter i karakteristisk likning

Den viktigste ingeniøranvendelsen: ved løsning av homogene 2.-ordens differensiallikninger \(ay'' + by' + cy = 0\) setter vi opp den karakteristiske likningen \(ar^2 + br + c = 0\). Når diskriminanten er negativ, får vi komplekse røtter \(r = \alpha \pm \beta i\) (alltid i konjugerte par, fordi koeffisientene er reelle).

Løsning ved komplekse røtter \(r = \alpha \pm \beta i\):

\(y(x) = e^{\alpha x}\big(C_1\cos\beta x + C_2\sin\beta x\big)\)

Realdelen \(\alpha\) gir eksponentiell vekst/demping, imaginærdelen \(\beta\) gir svingefrekvensen. Dette følger av Eulers formel: \(e^{(\alpha \pm \beta i)x} = e^{\alpha x}(\cos\beta x \pm i\sin\beta x)\).

Eksempel: Diff.likning med komplekse røtter Løs \(y'' + 2y' + 5y = 0\).

Karakteristisk likning: \(r^2 + 2r + 5 = 0\)

\(r = \dfrac{-2 \pm \sqrt{4 - 20}}{2} = \dfrac{-2 \pm \sqrt{-16}}{2}\)

\(= \dfrac{-2 \pm 4i}{2} = -1 \pm 2i\)

Her er \(\alpha = -1\) og \(\beta = 2\)

\(y(x) = e^{-x}\big(C_1\cos 2x + C_2\sin 2x\big)\)

Studieguide: Komplekse tall

Studieguide: Komplekse tall