Ubestemte og bestemte integraler

Et ubestemt integral \(\int f(x)\,dx=F(x)+C\) gir hele familien av antideriverte, mens et bestemt integral \(\int_a^b f(x)\,dx\) gir et tall. Sammenhengen er analysens fundamentalsetning.

Analysens fundamentalsetning: Hvis \(F'=f\), så er \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx=\big[F(x)\big]_a^b=F(b)-F(a)\).

Potensregelen: \(\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C\) for \(n\neq -1\), og \(\int x^{-1}\,dx=\ln|x|+C\).

Standardintegraler: \(\int e^x\,dx=e^x+C\), \(\int\sin x\,dx=-\cos x+C\), \(\int\cos x\,dx=\sin x+C\), \(\int\frac{1}{x^2+a^2}\,dx=\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}+C\).

Substitusjon

Substitusjon reverserer kjerneregelen. Når integranden inneholder en indre funksjon \(g(x)\) og (en konstant ganger) dens deriverte \(g'(x)\), setter vi \(u=g(x)\) slik at \(du=g'(x)\,dx\).

\(\displaystyle\int f(g(x))\,g'(x)\,dx=\int f(u)\,du\). Ved bestemte integraler gjøres grensene om: \(x=a\Rightarrow u=g(a)\), \(x=b\Rightarrow u=g(b)\).

Eksempel 1: Regn ut \(\int \dfrac{x}{x^2+1}\,dx\).

La \(u=x^2+1\Rightarrow du=2x\,dx\Rightarrow x\,dx=\tfrac{1}{2}\,du\)

\(\int \dfrac{x}{x^2+1}\,dx=\dfrac{1}{2}\int\dfrac{1}{u}\,du\)

\(=\dfrac{1}{2}\ln|u|+C\)

\(=\dfrac{1}{2}\ln(x^2+1)+C\)

Delvis integrasjon

Delvis integrasjon reverserer produktregelen og brukes på produkter der den ene faktoren forenkles ved derivasjon.

\(\displaystyle\int u\,dv=uv-\int v\,du\). Velg \(u\) etter ALPE-prioritet: Arcus, Logaritme, Potens, Eksponential/trig — den som kommer først velges som \(u\).

Eksempel 2: Regn ut \(\int x e^{x}\,dx\).

\(u=x,\ dv=e^x\,dx\Rightarrow du=dx,\ v=e^x\)

\(\int x e^x\,dx=xe^x-\int e^x\,dx\)

\(=xe^x-e^x+C\)

\(=(x-1)e^x+C\)

Eksempel 3: Regn ut \(\int \ln x\,dx\) (triks: \(dv=dx\)).

\(u=\ln x,\ dv=dx\Rightarrow du=\tfrac{1}{x}dx,\ v=x\)

\(\int\ln x\,dx=x\ln x-\int x\cdot\tfrac{1}{x}\,dx\)

\(=x\ln x-\int 1\,dx\)

\(=x\ln x-x+C\)

Delbrøkoppspalting og polynomdivisjon

Rasjonale funksjoner integreres ved å splitte dem opp i enklere brøker. Er brøken uekte (tellergrad \(\geq\) nevnergrad), gjør først polynomdivisjon.

Distinkte lineære faktorer: \(\dfrac{A}{x-a}+\dfrac{B}{x-b}\). Gjentatt faktor \((x-a)^2\): \(\dfrac{A}{x-a}+\dfrac{B}{(x-a)^2}\). Irredusibel kvadratisk: \(\dfrac{Ax+B}{x^2+bx+c}\).

Eksempel 4: Regn ut \(\int \dfrac{3x+5}{(x+1)(x+2)}\,dx\).

Sett \(\dfrac{3x+5}{(x+1)(x+2)}=\dfrac{A}{x+1}+\dfrac{B}{x+2}\)

\(3x+5=A(x+2)+B(x+1)\)

\(x=-1:\ 2=A\); \(x=-2:\ -1=-B\Rightarrow B=1\)

\(\int\left(\dfrac{2}{x+1}+\dfrac{1}{x+2}\right)dx=2\ln|x+1|+\ln|x+2|+C\)

Eksempel 5: Uekte brøk — \(\int \dfrac{x^2+1}{x-1}\,dx\).

Polynomdivisjon: \(x^2+1=(x-1)(x+1)+2\)

\(\dfrac{x^2+1}{x-1}=x+1+\dfrac{2}{x-1}\)

\(\int\left(x+1+\dfrac{2}{x-1}\right)dx=\dfrac{x^2}{2}+x+2\ln|x-1|+C\)

Integral av trigonometriske uttrykk

Like potenser av sinus/cosinus reduseres med halvvinkelidentiteter; odde potenser løses ved å skille ut én faktor og substituere.

\(\sin^2 x=\dfrac{1-\cos 2x}{2}\), \(\cos^2 x=\dfrac{1+\cos 2x}{2}\), \(\sin^2 x+\cos^2 x=1\).

Eksempel 6: Regn ut \(\int \sin^2 x\,dx\).

\(\sin^2 x=\dfrac{1-\cos 2x}{2}\)

\(\int\dfrac{1-\cos 2x}{2}\,dx=\dfrac{x}{2}-\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\sin 2x}{2}+C\)

\(=\dfrac{x}{2}-\dfrac{\sin 2x}{4}+C\)

Eksempel 7: Odde potens — \(\int \sin^3 x\,dx\).

\(\sin^3 x=\sin x(1-\cos^2 x)\)

La \(u=\cos x\Rightarrow du=-\sin x\,dx\)

\(\int\sin x(1-\cos^2 x)\,dx=-\int(1-u^2)\,du\)

\(=-u+\dfrac{u^3}{3}+C=\dfrac{\cos^3 x}{3}-\cos x+C\)

Studieguide: Integrasjon og integrasjonsteknikker

Studieguide: Integrasjon og integrasjonsteknikker