1. Globale og lokale maks/min – fortegnsskjema

Et kritisk (stasjonært) punkt er der \(f'(x)=0\) eller \(f'\) ikke eksisterer. For å klassifisere bruker vi enten fortegnsskjema for \(f'\) eller andrederiverttesten.

Monotoni og krumning

\(f'(x)>0\Rightarrow f\) vokser, \(f'(x)<0\Rightarrow f\) avtar.

Fortegnsskift i \(f'\): \(+\to-\) gir toppunkt, \(-\to+\) gir bunnpunkt, ingen skift gir terrassepunkt.

Andrederiverttest: \(f'(a)=0\) og \(f''(a)>0\Rightarrow\) lokalt min; \(f''(a)<0\Rightarrow\) lokalt maks.

\(f''(x)>0\): konveks (krummer opp). \(f''(x)<0\): konkav (krummer ned). Vendepunkt der \(f''\) skifter fortegn.

Globalt ekstremum på lukket intervall \([a,b]\)

Sammenlign \(f\) i alle kritiske punkter inni \((a,b)\) OG i endepunktene \(a\) og \(b\). Største verdi er globalt maks, minste er globalt min.

Eksempel: Finn og klassifiser stasjonære punkter til \(f(x)=x^3-3x\).

\(f'(x)=3x^2-3\)

\(3x^2-3=0\Rightarrow x^2=1\Rightarrow x=\pm1\)

Fortegn \(f'\): \(+\) for \(x<-1\), \(-\) for \(-11\)

\(x=-1\): toppunkt, \(f(-1)=-1+3=2\)

\(x=1\): bunnpunkt, \(f(1)=1-3=-2\)

2. Optimeringsproblemer med bibetingelse

Fremgangsmåte: identifiser målfunksjon og bibetingelse, eliminer én variabel via bibetingelsen, derivér og sett \(=0\), og verifiser ekstremaltypen.

Oppskrift

1) Skriv målfunksjon med to variabler. 2) Bruk bibetingelsen til å erstatte den ene. 3) Derivér funksjonen av én variabel. 4) Løs \(f'=0\), sjekk fortegn/\(f''\). 5) Oppgi svar med enheter.

Eksempel: 100 m gjerde mot en vegg gir tre sider. Maksimer arealet.

La \(x\) = sidene vinkelrett på veggen, \(y\) = siden langs veggen

Bibetingelse: \(2x+y=100\Rightarrow y=100-2x\)

Målfunksjon: \(A=xy=x(100-2x)=100x-2x^2\)

\(A'=100-4x=0\Rightarrow x=25\)

\(y=100-50=50\), og \(A''=-4<0\) gir maksimum

\(A=25\cdot50=1250\text{ m}^2\)

Eksempel: Sylinder med \(V=1000\text{ cm}^3\) og minst overflate.

\(S=2\pi r^2+2\pi r h\), bibetingelse \(V=\pi r^2 h=1000\)

\(h=\dfrac{1000}{\pi r^2}\Rightarrow S(r)=2\pi r^2+\dfrac{2000}{r}\)

\(S'(r)=4\pi r-\dfrac{2000}{r^2}=0\Rightarrow 4\pi r^3=2000\)

\(r^3=\dfrac{500}{\pi}\Rightarrow r\approx5{,}42\text{ cm}\), \(h=2r\approx10{,}84\text{ cm}\)

3. Relaterte rater

Her endres flere størrelser over tid, knyttet via en likning. Vi deriverer implisitt med hensyn på \(t\).

Nøkkelprinsipp

1) Sett opp relasjonen mellom størrelsene. 2) Derivér hele likningen med hensyn på \(t\) (kjerneregel gir et \(\tfrac{d\cdot}{dt}\)-ledd per variabel). 3) Sett inn tallverdier FØRST etter derivasjon. 4) Løs for den ukjente raten.

Eksempel (stige): 5 m stige, bunnen sklir ut med \(2\text{ m/s}\). Hvor fort synker toppen når bunnen er 3 m ut?

\(x^2+y^2=25\); ved \(x=3\): \(y=\sqrt{25-9}=4\)

Derivér: \(2x\dfrac{dx}{dt}+2y\dfrac{dy}{dt}=0\)

\(\dfrac{dy}{dt}=-\dfrac{x}{y}\dfrac{dx}{dt}=-\dfrac{3}{4}\cdot2=-1{,}5\text{ m/s}\)

Toppen synker med \(1{,}5\) m/s

Eksempel (vannkar, kjegle): \(r=\tfrac{h}{2}\), innfylling \(\tfrac{dV}{dt}=2\text{ m}^3/\text{min}\). Vannstandsfart ved \(h=4\)?

\(V=\dfrac{1}{3}\pi r^2 h=\dfrac{1}{3}\pi\left(\dfrac{h}{2}\right)^2 h=\dfrac{\pi}{12}h^3\)

\(\dfrac{dV}{dt}=\dfrac{\pi}{4}h^2\dfrac{dh}{dt}\)

Ved \(h=4\): \(2=\dfrac{\pi}{4}\cdot16\cdot\dfrac{dh}{dt}=4\pi\dfrac{dh}{dt}\)

\(\dfrac{dh}{dt}=\dfrac{1}{2\pi}\approx0{,}159\text{ m/min}\)

4. Modellering og tolkning av endringsrate

Den deriverte ER endringsraten. I fysikk: \(s'(t)=v(t)\) (fart), \(s''(t)=a(t)\) (akselerasjon). I økonomi: \(K'(x)\) er grensekostnad, \(I'(x)\) grenseinntekt.

Tolkninger

Fart \(=0\): objektet snur/står stille. Vekstrate for \(P(t)=P_0 e^{kt}\): \(P'(t)=kP_0 e^{kt}=kP(t)\). Minimum gjennomsnittskostnad: \(K'(x)=\bar{K}(x)\).

Eksempel: \(s(t)=t^3-6t^2+9t\). Når står partikkelen stille?

\(v(t)=s'(t)=3t^2-12t+9=3(t-1)(t-3)\)

\(v=0\Rightarrow t=1\) og \(t=3\)

\(a(t)=s''(t)=6t-12\); \(a(1)=-6\), \(a(3)=6\)

5. Tangentlinjer, lineær tilnærming og Newtons metode

Sentrale formler

Tangentlinje: \(y=f(a)+f'(a)(x-a)\).

Lineær tilnærming: \(f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)\) for \(x\) nær \(a\).

Differensial: \(dy=f'(x)\,dx\) tilnærmer \(\Delta y\).

Newtons metode: \(x_{n+1}=x_n-\dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}\).

Eksempel (lineær tilnærming): Estimer \(\sqrt{4{,}1}\).

\(f(x)=\sqrt{x}\), \(f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\), \(a=4\)

\(f(4)=2\), \(f'(4)=\dfrac{1}{4}\)

\(L(4{,}1)=2+\dfrac{1}{4}(0{,}1)=2{,}025\)

Eksakt \(\sqrt{4{,}1}\approx2{,}0248\) – meget god tilnærming

Eksempel (Newtons metode): Én iterasjon på \(f(x)=x^2-2\), \(x_0=1{,}5\).

\(f(1{,}5)=2{,}25-2=0{,}25\), \(f'(x)=2x\Rightarrow f'(1{,}5)=3\)

\(x_1=1{,}5-\dfrac{0{,}25}{3}\approx1{,}4167\)

Konvergerer mot \(\sqrt{2}\approx1{,}41421\)

Studieguide: Anvendelser av derivasjon