Konvolusjon: definisjon og egenskaper

For to kausale funksjoner på \([0,\infty)\) defineres Laplace-konvolusjonen som et integral fra 0 til \(t\). Den er kommutativ, assosiativ og distributiv, og har Diracs delta som identitetselement.

Konvolusjon (halvakse): \((f*g)(t)=\displaystyle\int_0^t f(\tau)g(t-\tau)\,d\tau\)

Konvolusjonsteoremet: \(\mathcal{L}\{f*g\}=F(s)\,G(s)\)

Egenskaper: \(f*g=g*f\); \((f*g)*h=f*(g*h)\); \(f*(g+h)=f*g+f*h\); \(\delta*f=f\).

Merk: \(f*1=\int_0^t f(\tau)\,d\tau\) (1 er IKKE identitetselement).

Halvakse vs. reell akse

Fourier-konvolusjonen integrerer over hele reelle aksen, \(\int_{-\infty}^{\infty} f(\tau)g(t-\tau)\,d\tau\). For kausale funksjoner (null for negativt argument) faller \(f(\tau)=0\) for \(\tau<0\) og \(g(t-\tau)=0\) for \(\tau>t\) bort, slik at grensene reduseres til 0 og \(t\) — da sammenfaller de to definisjonene. Fourier-versjonen av teoremet er \(\mathcal{F}\{f*g\}=\sqrt{2\pi}\,\hat f(\omega)\hat g(\omega)\) (Kreyszig-normering).

Volterra-integralligninger

En Volterra-ligning av andre slag har formen \(y(t)=f(t)+\int_0^t k(t-\tau)y(\tau)\,d\tau\), der den ukjente \(y\) står både utenfor og under integralet. Når kjernen \(k\) er en differansekjerne (avhenger av \(t-\tau\)), er integralet konvolusjonen \(k*y\), og Laplace gjør ligningen algebraisk.

Løsningsoppskrift (Volterra med Laplace):

1) Ta Laplace av hele ligningen.

2) Bruk \(\mathcal{L}\{k*y\}=K(s)Y(s)\).

3) Løs algebraisk: \(Y(s)=\dfrac{F(s)}{1-K(s)}\).

4) Inverstransformér (evt. delbrøk eller konvolusjon) for å finne \(y(t)\).

Eksempel 1: Løs \(y(t)=t+\int_0^t (t-\tau)y(\tau)\,d\tau\).

Kjernen \(t-\tau\) gir konvolusjonen \(t*y\), med \(\mathcal{L}\{t\}=\frac{1}{s^2}\).

Transform: \(Y=\dfrac{1}{s^2}+\dfrac{1}{s^2}Y\).

Samle \(Y\): \(Y\Big(1-\dfrac{1}{s^2}\Big)=\dfrac{1}{s^2}\ \Rightarrow\ Y\cdot\dfrac{s^2-1}{s^2}=\dfrac{1}{s^2}\).

Løs: \(Y=\dfrac{1}{s^2-1}\).

Inverstransform: \(y(t)=\sinh t\), siden \(\mathcal{L}\{\sinh t\}=\frac{1}{s^2-1}\).

Eksempel 2 (Abels integralligning): Løs \(\int_0^t \dfrac{y(\tau)}{\sqrt{t-\tau}}\,d\tau=t\).

Venstresiden er konvolusjonen \(t^{-1/2}*y\), med \(\mathcal{L}\{t^{-1/2}\}=\Gamma(\tfrac12)s^{-1/2}=\sqrt{\pi/s}\).

Transform: \(\sqrt{\pi/s}\;Y(s)=\dfrac{1}{s^2}\).

Løs for \(Y\): \(Y=\dfrac{1}{s^2}\sqrt{\dfrac{s}{\pi}}=\dfrac{1}{\sqrt{\pi}}\,s^{-3/2}\).

Bruk \(\mathcal{L}\{\sqrt t\}=\dfrac{\sqrt\pi}{2}s^{-3/2}\), så \(s^{-3/2}=\dfrac{2}{\sqrt\pi}\mathcal{L}\{\sqrt t\}\).

Dermed \(Y=\dfrac{1}{\sqrt\pi}\cdot\dfrac{2}{\sqrt\pi}\mathcal{L}\{\sqrt t\}=\dfrac{2}{\pi}\mathcal{L}\{\sqrt t\}\).

Svar: \(y(t)=\dfrac{2\sqrt t}{\pi}\).

Inverstransform via konvolusjon

Konvolusjonsteoremet er også nyttig for å invertere et produkt \(F(s)G(s)\) direkte, uten delbrøkoppspalting. Dette er spesielt verdifullt når én faktor ikke er rasjonell (f.eks. \(\frac{1}{\sqrt s}\)).

Eksempel 3: Finn \(\mathcal{L}^{-1}\Big\{\dfrac{1}{s^2(s^2+1)}\Big\}\).

Skriv som produkt: \(\dfrac{1}{s^2}\cdot\dfrac{1}{s^2+1}=\mathcal{L}\{t\}\,\mathcal{L}\{\sin t\}\).

Konvolusjonsteoremet: \(=\mathcal{L}\{t*\sin t\}\).

\(t*\sin t=\int_0^t \tau\sin(t-\tau)\,d\tau\). Delvis integrasjon gir \(t-\sin t\).

Svar: \(\mathcal{L}^{-1}\Big\{\dfrac{1}{s^2(s^2+1)}\Big\}=t-\sin t\).

Studieguide: Konvolusjon og integralligninger