Definisjon og konvensjon

I TMA4120 (Kreyszig) brukes den symmetriske konvensjonen. Fourier-transformen av \(f\) og dens inverse er definert med samme normaliseringsfaktor \(1/\sqrt{2\pi}\).

Transform: \(\hat f(w)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,e^{-iwx}\,dx\)

Invers: \(f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\hat f(w)\,e^{+iwx}\,dw\)

Her er \(w\) vinkelfrekvensen. En tilstrekkelig betingelse for eksistens er at \(f\) er absolutt integrerbar (\(\int|f|\,dx<\infty\)) og stykkevis glatt. Da går også \(\hat f(w)\to0\) når \(|w|\to\infty\) (Riemann–Lebesgue).

Merk symmetri: er \(f\) reell og jevn, blir \(\hat f\) reell og jevn (cosinus-transform); er \(f\) reell og odde, blir \(\hat f\) rent imaginær og odde (sinus-transform). Dualitet: \(\mathcal F\{\hat f\}(x)=f(-x)\).

Operasjonsregler

Linearitet: \(\mathcal F\{af+bg\}=a\hat f+b\hat g\)

Derivasjon (rom): \(\mathcal F\{f'\}=iw\,\hat f(w)\), og generelt \(\mathcal F\{f^{(n)}\}=(iw)^n\hat f(w)\)

Multiplikasjon med x: \(\mathcal F\{xf(x)\}=i\,\dfrac{d}{dw}\hat f(w)\)

Romforskyvning: \(\mathcal F\{f(x-a)\}=e^{-iaw}\hat f(w)\)

Frekvensforskyvning: \(\mathcal F\{e^{iw_0x}f(x)\}=\hat f(w-w_0)\)

Skalering (\(a>0\)): \(\mathcal F\{f(ax)\}=\dfrac{1}{a}\hat f\!\big(\tfrac{w}{a}\big)\)

Konvolusjon: \(\mathcal F\{f*g\}=\sqrt{2\pi}\,\hat f(w)\hat g(w)\)

Standardpar

To transformpar dukker opp gang på gang på eksamen.

Eksempel 1 — Rektangelpuls. Finn \(\hat f(w)\) for \(f(x)=1\) når \(|x|

\(\hat f(w)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\displaystyle\int_{-a}^{a}e^{-iwx}\,dx\)

\(=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\left[\dfrac{e^{-iwx}}{-iw}\right]_{-a}^{a}=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot\dfrac{e^{-iaw}-e^{iaw}}{-iw}\)

\(=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot\dfrac{2\sin(aw)}{w}=\sqrt{\dfrac{2}{\pi}}\,\dfrac{\sin(aw)}{w}\)

Grenseverdi i \(w=0\): \(\hat f(0)=\sqrt{\tfrac{2}{\pi}}\,a\). Nullpunkter i \(w=k\pi/a\).

Eksempel 2 — Gaussisk. Finn \(\hat f(w)\) for \(f(x)=e^{-ax^2}\), \(a>0\).

\(\hat f(w)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^2-iwx}\,dx\)

Komplettér kvadratet: \(-ax^2-iwx=-a\Big(x+\dfrac{iw}{2a}\Big)^2-\dfrac{w^2}{4a}\)

\(\hat f(w)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\,e^{-w^2/4a}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{-a(x+iw/2a)^2}\,dx\)

Skift kontur (Gaussisk integral): \(\displaystyle\int e^{-a(\cdot)^2}dx=\sqrt{\dfrac{\pi}{a}}\)

\(\hat f(w)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\sqrt{\dfrac{\pi}{a}}\,e^{-w^2/4a}=\dfrac{1}{\sqrt{2a}}\,e^{-w^2/(4a)}\)

Spesielt \(a=\tfrac12\): \(\mathcal F\{e^{-x^2/2}\}=e^{-w^2/2}\) — egenfunksjon med egenverdi 1.

Parsevals identitet

\(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}|f(x)|^2\,dx=\int_{-\infty}^{\infty}|\hat f(w)|^2\,dw\)

I symmetrisk konvensjon er det ingen ekstra faktor — energien er bevart. Identiteten brukes ofte til å beregne bestemte integraler.

Eksempel 3 — Parseval på rektangelpuls. Beregn \(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\dfrac{\sin^2(aw)}{w^2}\,dw\).

Venstreside: \(\displaystyle\int_{-a}^{a}1^2\,dx=2a\)

Høyreside: \(\displaystyle\int|\hat f|^2dw=\dfrac{2}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\dfrac{\sin^2(aw)}{w^2}\,dw\)

Parseval: \(2a=\dfrac{2}{\pi}\displaystyle\int\dfrac{\sin^2(aw)}{w^2}\,dw\)

\(\Rightarrow \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\dfrac{\sin^2(aw)}{w^2}\,dw=\pi a\)

Anvendelse: PDE

Fordi derivasjon blir \(iw\)-multiplikasjon, løses PDE på \((-\infty,\infty)\) elegant. For varmeligningen \(u_t=c^2u_{xx}\) gir transform i \(x\): \(\hat u_t=-c^2w^2\hat u\), en ODE i \(t\) med løsning \(\hat u(w,t)=\hat u_0(w)e^{-c^2w^2t}\). Invers transform (konvolusjon med varmekjernen) gir \(u(x,t)\).

Studieguide: Fourier-transform

Studieguide: Fourier-transform