•R = avstand fra \(z_0\) til nærmeste singularitet
Vanlige feil å unngå
Laplace-transform og IVP
•Glemmer initialleddene i derivasjonsreglene — særlig \(-sf(0)-f'(0)\) i \(\mathcal{L}\{f''\}\). Da blir hele løsningen feil.
•Forveksler s-skift og t-skift. s-skift (faktor \(e^{at}\) i tid) gir \(F(s-a)\); t-skift (tidsforsinkelse) gir faktor \(e^{-as}\) i s-domenet.
•Bruker t-skift på \(u(t-a)g(t)\) uten å omskrive \(g\) som funksjon av \((t-a)\). Man MÅ ha formen \(u(t-a)f(t-a)\); f.eks. \(u(t-2)t=u(t-2)[(t-2)+2]\).
•Blander \(s^2+a^2\) (trig) og \(s^2-a^2\) (hyperbolsk) i nevneren. Minustegnet gir \(\sinh/\cosh\), plusstegnet gir \(\sin/\cos\).
•Overser resonans: når drivfrekvensen er lik egenfrekvensen får man en dobbel faktor \((s^2+\omega_0^2)^2\) og må bruke standardinversene med \(t\)-ledd, ikke vanlig delbrøk.
•Setter \(\mathcal{L}\{\delta(t)\}=1/s\) (forveksles med Heaviside). Riktig er \(\mathcal{L}\{\delta(t)\}=1\) og \(\mathcal{L}\{u(t)\}=1/s\).
•Faktoriserer ikke nevneren før delbrøk, eller glemmer at en kvadratisk faktor \(s^2+\omega^2\) krever teller på formen \(As+B\).
Konvolusjon og integralligninger
•Tror at vanlig produkt \(f\cdot g\) transformerer til \(F(s)G(s)\) — det er konvolusjonen \(f*g\), ikke produktet.
•Tror konstantfunksjonen 1 er identitetselement for konvolusjon. Det er Diracs \(\delta\); faktisk gir \(f*1=\int_0^t f\,d\tau\).
•Bruker feil integrasjonsgrenser: Laplace-konvolusjon går fra 0 til \(t\), ikke fra \(-\infty\) til \(\infty\) eller fra 0 til \(\infty\).
•Glemmer fortegnet på kjernen: ved \(y=f-\int (t-\tau)y\,d\tau\) blir nevneren \(s^2+1\) (gir \(\sin\)), ikke \(s^2-1\) (gir \(\sinh\)).
•Setter \(g(t-\tau)\) feil, f.eks. skriver \(g(\tau-t)\) eller \(g(t+\tau)\) i konvolusjonsintegralet.
•Roter med Gammafunksjonen: \(\mathcal{L}\{t^{-1/2}\}=\Gamma(1/2)s^{-1/2}=\sqrt{\pi}\,s^{-1/2}\), ikke \(s^{-1/2}\) alene.
Fourierrekker
•Glemmer å sjekke symmetri først, og gjør unødvendig dobbeltarbeid med å beregne koeffisienter som uansett er null.
•Blander konvensjonene \(a_0\) og \(a_0/2\): med konstantledd \(a_0\) er \(a_0=\frac{1}{2\pi}\int f\,dx\), men med \(a_0/2\) er \(a_0=\frac{1}{\pi}\int f\,dx\). Vær konsekvent.
•Fortegnsfeil i delvis integrasjon, særlig \(v=-\frac{\cos nx}{n}\) (minustegn) og \(\cos n\pi=(-1)^n\).
•Setter \(S(x_0)=f(x_0)\) i et hopppunkt i stedet for middelverdien \(\frac12[f^-+f^+]\).
•Glemmer hoppet som oppstår ved intervallendene \(x=\pm\pi\) ved periodisk utvidelse når \(f(-\pi^+)\neq f(\pi^-)\).
•Velger en uheldig \(x\)-verdi når man skal summere en tallrekke; velg \(x=0,\pi\) eller \(\pi/2\) slik at \(\cos/\sin\) blir enkle.
•Tror Gibbs-oversvinget forsvinner med flere ledd — amplituden (≈9 %) forblir, kun posisjonen flyttes.
Fourier-transform
•Bruker feil normalisering — i TMA4120 er det \(1/\sqrt{2\pi}\) i BÅDE transform og invers, ikke \(1\) i den ene og \(1/2\pi\) i den andre.
•Glemmer fortegnet i eksponenten: \(e^{-iwx}\) i transformen, \(e^{+iwx}\) i inversen.
•Feil faktor i Gaussisk transform — det skal være \(\frac{1}{\sqrt{2a}}\) og eksponent \(-w^2/(4a)\), ikke \(-aw^2\).
•Glemmer faktoren \(\sqrt{2\pi}\) i konvolusjonsteoremet (gjelder symmetrisk konvensjon).
•Behandler \(\hat f(0)\) som \(f(0)\) — \(\hat f(0)\) er proporsjonal med arealet \(\int f\,dx\), ikke funksjonsverdien.
•Bytter om derivasjonsreglene: derivasjon i rom gir \(iw\), multiplikasjon med x gir \(i\,d/dw\).
•Antar at romforskyvning endrer amplitudespekteret — den endrer bare fasen siden \(|e^{-iaw}|=1\).
Komplekse funksjoner og analytisitet
•Bytte om fortegn i CR: husk \(u_y=-v_x\) (minus), ikke \(u_y=v_x\).
•Tro at CR alene garanterer analytisitet — kontinuerlige partiellderiverte kreves også, og deriverbarhet i ett isolert punkt (som \(|z|^2\) i origo) gir IKKE analytisitet.
•Anta \(|\sin z|\le1\) i \(\mathbb{C}\); komplekse sin/cos er ubegrenset.
•Glemme \(2\pi k\)-grenene når man løser \(e^z=c\) eller \(\sin z=c\); kompleks logaritme er flerverdig.
•Glemme integrasjonsfunksjonen \(g(x)\) når man finner harmonisk konjugert ved integrasjon mhp \(y\).
•Forveksle \(\cos(iz)=\cosh z\) med \(\cosh(iz)=\cos z\) — sjekk hvilken vei \(i\)-en går.
Kompleks integrasjon og Cauchys teoremer
•Bruke Cauchys teorem (=0) selv om det finnes en singularitet inni konturen — sjekk alltid hvilke poler som ligger inni.
•Forveksle eksponenten i den deriverte formelen: det skal være \((z-z_0)^{n+1}\) i nevneren og faktor \(n!\), ikke \((z-z_0)^n\).
•Bruke \(\cos z\) direkte i konturintegrasjon — \(\cos z\) vokser eksponentielt i øvre halvplan. Bruk \(e^{iz}\) og ta realdel til slutt.
•Anta at buen alltid forsvinner: for rasjonelle uttrykk kreves \(\deg q\ge \deg p+2\) for ren ML, ellers trengs Jordans lemma.
•Glemme at \(\bar z\) ikke er analytisk — Cauchys teorem gjelder ikke, og \(\oint_{|z|=1}\bar z\,dz=2\pi i\neq 0\).
•Velge feil sektorvinkel i Fresnel: det MÅ være \(\pi/4\) for at \(iz^2=-r^2\) på strålen.
•Blande sammen polens orden med eksponenten i nevneren uten å sjekke om telleren har nullpunkt (f.eks. \(\sin z/z^3\) gir orden 2, ikke 3).
•Tro at en pol av orden \(>1\) alltid har residy ulik null — \(\cos z/z^2\) har pol av orden 2 men residy 0.
•Glemme at samme funksjon har ulike Laurentrekker i ulike ringer; man må velge riktig annulus før man bruker geometrisk rekke.
•Bruke positive potenser når \(|z|>|a|\): da må man faktorere ut \(z\) (ikke \(a\)) slik at \(|a/z|<1\).
•Forveksle vesentlig singularitet med høyordens pol — \(e^{1/z}\) har uendelig hoveddel og er vesentlig, ikke en pol.
•Bruke Taylorformelen \(f^{(n)}(z_0)/n!\) for Laurentkoeffisienter — den gjelder bare \(n\ge0\) og kun når \(f\) er analytisk i \(z_0\).
Residyteorem
•Bruke kvotientformelen \(p/q'\) på en pol av høyere orden — den gjelder kun enkle poler (der \(q'(z_0)\neq0\)).
•Glemme \((m-1)!\) eller derivere feil antall ganger \((m-1)\) ved poler av orden \(m\).
•Ta med poler som ligger utenfor (eller på) konturen i summen — kun poler strengt innenfor teller.
•Bruke \(\cos z\)/\(\sin z\) direkte i konturintegralet i stedet for \(e^{iz}\); cosinus/sinus vokser eksponentielt og ødelegger halvsirkel-estimatet.
•Glemme faktoren \(2\pi i\), eller forveksle den med \(\pi i\)/\(2\pi\).
•Anta at en hevbar singularitet alltid gir Res ≠ 0 — den gir alltid Res \(=0\).
•Feil fortegn ved negativ (med klokka) orientering av konturen.
Reelle integraler via residyer
•Bruke \(\cos z\) i stedet for \(e^{iz}\) — \(\cos z\) vokser eksponentielt i øvre halvplan og ødelegger buebidraget. Bruk \(e^{iz}\) og ta real-/imaginærdelen til slutt.
•Glemme å sjekke gradkravet \(\deg Q\ge\deg P+2\) (eller \(+1\) med Jordan) — uten dette forsvinner ikke buebidraget og metoden er ugyldig.
•Inkludere poler i nedre halvplan når man lukker i øvre halvplan. Kun poler innenfor den valgte konturen bidrar.
•For trig-integraler: ta med poler med \(|z|>1\). Kun poler innenfor enhetssirkelen \((|z|<1)\) teller.
•Bruke fullt residy \(2\pi i\) for en pol på aksen. Aksepoler gir HALVT residy \(\pm\pi i\), og integralet eksisterer bare som PV.
•Glemme faktoren \(\frac{1}{iz}\) fra \(d\theta=\frac{dz}{iz}\) i trig-substitusjonen.
•Feil fortegn på den deriverte ved dobbel pol — husk \((2i)^3=-8i\), ikke \(8i\).
Varmeligning og separasjon av variabler
•Glemmer at \(\lambda_n\) inneholder faktoren \(c\): dempingen er \(e^{-(cn\pi/L)^2t}\), ikke \(e^{-(n\pi/L)^2t}\) når \(c\ne1\).
•Bruker sinusrekke for Neumann-problemet. Isolerte ender krever cosinus-egenfunksjoner og et konstantledd \(A_0\).
•Glemmer konstantleddet \(A_0\) (mode \(n=0\)) i Neumann-løsningen, og dermed feil likevektstemperatur.
•Setter \(k>0\) eller \(k=0\) i Dirichlet-problemet — disse gir kun triviell løsning. Korrekt er \(k=-p^2<0\).
•Bruker faktoren \(\frac{1}{L}\) i stedet for \(\frac{2}{L}\) i koeffisientformelen (forveksler med \(A_0\)-formelen).
•Behandler ikke-homogene randbetingelser direkte med separasjon — man må først trekke fra stasjonærløsningen.
Sturm-Liouville og egenfunksjoner
•Glemme å sjekke tilfellene \(\lambda=0\) og \(\lambda>0\) separat — man må vise at de bare gir den trivielle løsningen før man konkluderer at egenverdiene er negative.
•Bruke \(\sin\) der randkravene krever \(\cos\) (eller motsatt). Dirichlet \(\Rightarrow\sin\), Neumann \(\Rightarrow\cos\). Sjekk alltid hvilken funksjon som oppfyller randkravene.
•Bruke feil norm: nevneren i koeffisientformelen er \(\int_0^L\sin^2=L/2\), ikke \(L\). Dette gir faktoren \(2/L\), ikke \(1/L\).
•Glemme at Neumann-problemet inkluderer \(n=0\) (konstanten) med \(\lambda_0=0\), mens Dirichlet ikke gjør det.
•Fortegnsforvirring i \(\lambda\): noen bøker skriver \(X''+\lambda X=0\) (da er \(\lambda=+(n\pi/L)^2>0\)), andre \(X''=\lambda X\) (da \(\lambda=-(n\pi/L)^2<0\)). Vær konsekvent.
•Anta at egenfunksjonene er ortogonale uten vekt — for generelle Sturm-Liouville-problemer (Bessel, Legendre) må man inkludere vektfunksjonen \(r(x)\).
Potensrekker og konvergens
•Glemmer at randen \(|z-z_0|=R\) må undersøkes separat — forholds-/rottesten sier ingenting der.
•Forveksler kvotientformen: \(R=\lim|a_n/a_{n+1}|\), ikke \(\lim|a_{n+1}/a_n|\) (den gir \(1/R\)).
•Bruker kvotientform når grensen ikke eksisterer (f.eks. ved hull i koeffisientene) — bruk Cauchy–Hadamard med limsup.
•Glemmer å substituere ved rekker i \(z^2\) e.l.: \(|w|<\rho\) gir \(|z|<\sqrt{\rho}\), ikke \(|z|<\rho\).
•Antar at punktvis konvergens medfører uniform — det gjør den ikke (jf. \(\sum x^n/n\) på \([0,1)\)).
•Velger en \(M_n\) som fortsatt avhenger av z — \(M_n\) MÅ være en konstant.
•Tror absolutt og uniform konvergens er det samme — de er uavhengige begreper.
Eksamenstips
Laplace-transform og IVP
•Skriv alltid opp de to derivasjonsreglene øverst på arket og sett inn begynnelsesbetingelsene umiddelbart — det er gratis poeng og hindrer feil.
•Ved diskontinuerlige pådrag: inverter først brøkdelen UTEN \(e^{-as}\), og legg på \(u(t-a)\) og forskyvningen \((t-a)\) helt til slutt.
•Fullfør kvadratet i nevneren når den ikke faktoriserer over de reelle tall — det gir umiddelbart formen \((s+\alpha)^2+\beta^2\) for dempet svingning.
•Bruk dekkemetoden (cover-up) for enkle reelle poler — det er raskest og gir minst regnefeil under tidspress.
•Gjenkjenn resonans-signaturen: en gjentatt faktor i nevneren betyr at svaret inneholder \(t\sin\omega t\) eller \(t\cos\omega t\). Lær standardinversene \(\dfrac{s}{(s^2+\omega^2)^2}\to\dfrac{t}{2\omega}\sin\omega t\) utenat.
•Kontroller alltid løsningen mot begynnelsesbetingelsene: sett inn \(t=0\) i \(y(t)\) og deriver for \(y'(0)\). Stemmer det ikke, er det en regnefeil i delbrøkene.
•For impulsproblemer: impulssvaret er \(\mathcal{L}^{-1}\{1/p(s)\}\). Kjenner du det, kan du bygge vilkårlige svar med konvolusjon uten ny delbrøkregning.
Konvolusjon og integralligninger
•Gjenkjenn differansekjerne \(k(t-\tau)\): da er integralet en konvolusjon og Laplace gir \(Y(s)=\frac{F(s)}{1-K(s)}\) direkte.
•Sjekk alltid svaret: regn ut konvolusjonsintegralet direkte eller verifiser at transformen stemmer (f.eks. \(\frac{1}{s}\cdot\frac1s=\frac{1}{s^2}\) for \(1*1=t\)).
•For Volterra av FØRSTE slag (\(y\) kun under integralet): du kan ofte derivere begge sider istedenfor å bruke Laplace — gir samme svar raskere.
•Bruk konvolusjon som alternativ til delbrøk ved inverstransform, særlig når en faktor er ikke-rasjonell (\(\frac{1}{\sqrt s}\)).
•Etter du har funnet \(Y(s)\): velg den enkleste invertingsmetoden — gjenkjenn standardform, delbrøk, eller konvolusjon.
Fourierrekker
•Skriv alltid ned symmetrivurderingen eksplisitt: «\(f\) er odde \(\Rightarrow a_n=0\)» gir ofte delpoeng og sparer tid.
•Lær standardintegralene \(\int x\sin nx\,dx\), \(\int x\cos nx\,dx\), \(\int x^2\cos nx\,dx\) utenat — de går igjen på nesten alle eksamener.
•Når oppgaven ber om en tallrekkesum, koble den til en spesifikk \(x\)-verdi i rekken din og husk å bruke Dirichlet hvis punktet er et hopp.
•Bruk \(\cos n\pi=(-1)^n\) og \(\sin n\pi=0\) for å forenkle uttrykk umiddelbart.
•Ved skisse av \(S(x)\): tegn minst to perioder, og marker tydelig de utfylte punktene på middelverdien i hoppene.
•Parseval er et kraftig alternativ for summer av kvadrater — kjenn igjen når oppgaven ber om \(\sum 1/n^2\) eller \(\sum 1/n^4\).
•Desimaltall skrives med komma: skriv \(0{,}5\), ikke \(0.5\).
•Verifiser residy ved enkel pol med formelen \(\operatorname{Res}_{z_0}\frac{g(z)}{h(z)}=\frac{g(z_0)}{h'(z_0)}\) når \(h(z_0)=0\), \(h'(z_0)\neq 0\).
Laurentrekker og singulariteter
•Standard fremgangsmåte: Taylorutvikl telleren, divider på nevnerens potens, les av hoveddel og residy direkte.
•For å avgjøre singularitetstype raskt: sjekk grense (hevbar), multipliser med \((z-z_0)^m\) og se om det blir analytisk (pol), ellers vesentlig.
•Husk de tre 'vesentlige-fellene': \(e^{1/z}\), \(\sin(1/z)\), \(\cos(1/z)\) — alle vesentlige.
•Ved partiellbrøk + Laurent i en midt-ring: behandle hvert ledd separat med riktig \(|z|\)-betingelse.
•Skriv alltid ut hvilken annulus rekka gjelder i — eksamenssensor krever konvergensområdet.
•Bruk \(\operatorname{Res}=p(z_0)/q'(z_0)\) som tidsbesparende snarvei for enkle poler i reelle-integral-oppgaver.
Residyteorem
•Identifiser alltid FØRST hvilke poler som ligger innenfor konturen før du regner residyer — det sparer arbeid.
•Bestem polens orden ved å se på laveste potens av \((z-z_0)\) i nevneren etter at telleren er ikke-null der.
•For raske enkle poler i nullpunkter av \(q\): bruk \(p(z_0)/q'(z_0)\) i stedet for å faktorisere.
•Ved reelle integraler: sjekk gradbetingelsen (nevner ≥ teller + 2) før du konkluderer at halvsirkelbidraget forsvinner.
•Ved trigonometriske integraler over \((-\infty,\infty)\): bytt til \(e^{iz}\), bruk Jordans lemma, og ta real-/imaginærdel til slutt.
•Når du er usikker på polens type (særlig \(\sin z/z^k\), \(e^{1/z}\)): regn ut Laurentrekka direkte og les av \(a_{-1}\).
•Husk desimalkomma {,} i numeriske svar, og oppgi residyet eksakt (brøk/kompleks form) der det er mulig.
Reelle integraler via residyer
•Identifiser integraltypen FØRST: rasjonal over hele aksen (halvsirkel), trigonometrisk over \([0,2\pi]\) (\(z=e^{i\theta}\)), eller pol på aksen (PV + halvt residy).
•Skriv alltid opp konturen eksplisitt og argumenter for at buebidraget forsvinner (ML-ulikhet eller Jordans lemma) — dette gir poeng på eksamen.
•For \(\cos\)/\(\sin\)-integraler: sett opp \(e^{imz}\), regn ut \(2\pi i\cdot\)residy, og ta til slutt real- (for \(\cos\)) eller imaginærdel (for \(\sin\)).
•Bruk \(\operatorname{Res}=P(z_0)/Q'(z_0)\) for enkle poler — det er ofte raskere enn grensemetoden, særlig for \(1+z^4\)- og \(1+z^6\)-typer.
•Forenkl med kjente identiteter: \(\cosh a-\sinh a=e^{-a}\), og \(z_0^n=-1\) for å redusere residyer til pene uttrykk.
•Sjekk svaret med et symmetriargument: integral av en odde funksjon over symmetrisk intervall er 0; jevn funksjon gir \(\int_0^\infty=\frac12\int_{-\infty}^\infty\).
•Bruk desimalkomma i numeriske svar (f.eks. \(\frac{\pi}{e}\approx 1{,}156\)).
Varmeligning og separasjon av variabler
•Identifiser randtype FØRST: faste ender (Dirichlet) → sin; isolerte ender (Neumann) → cos. Det bestemmer hele basisen.
•Hvis startbetingelsen allerede er en sum av sin/cos som matcher egenfunksjonene, kan du lese av koeffisientene direkte uten å integrere.
•Skriv alltid \(\lambda_n=\frac{cn\pi}{L}\) tydelig og sett inn tall for hver mode før du fører opp \(e^{-\lambda_n^2t}\).
•Ved ikke-homogene rand: finn stasjonærløsningen \(u_s\), løs for \(v=u-u_s\), og legg sammen til slutt — del opp arbeidet ryddig.
•Vis ortogonalitetsargumentet kort når du utleder \(B_n\); sensorer gir poeng for begrunnelsen, ikke bare formelen.
Sturm-Liouville og egenfunksjoner
•Strukturér løsningen av \(X''=\lambda X\) som tre adskilte tilfeller (\(\lambda>0,\ =0,\ <0\)) — sensor vil se at du eliminerer de to første eksplisitt.
•Skriv \(\lambda=-p^2\) fra start når du forventer oscillerende løsninger; det gjør den karakteristiske betingelsen \(\sin(pL)=0\) ryddig.
•Husk \(\sin^2\theta=\tfrac12(1-\cos2\theta)\) og \(\cos^2\theta=\tfrac12(1+\cos2\theta)\) — du trenger dem konstant for normberegninger.
•Når startfunksjonen selv er en egenfunksjon (f.eks. \(\sin(2x)\)), skriv direkte at ortogonaliteten gir én koeffisient lik 1 og resten 0 — ikke regn ut hele integralet.
•Knytt alltid egenfunksjonsutviklingen til hele PDE-løsningen: vis hvordan \(b_n\) fra startbetingelsen settes inn i \(u(x,t)=\sum b_n X_n(x)T_n(t)\).
•Ved delvis integrasjon av \(\int x\sin(nx)dx\), bruk \(\cos(n\pi)=(-1)^n\) og \(\sin(n\pi)=0\) for å rydde uttrykkene raskt.
Potensrekker og konvergens
•Standard eksamensoppgave: bestem R med forholdstest, og angi konvergensområdet eksplisitt (åpen disk om \(z_0\)).
•For rekker med \(n!\) eller \(n^n\) i koeffisientene gir forholdstesten ofte den ryddigste regningen; husk \((1+1/n)^n\to e\).
•Ved rekker i \(z^2,z^3,\dots\): substituer \(w=z^k\), løs i w, og oversett tilbake med rot.
•For uniform konvergens: skriv eksplisitt opp \(M_n\), vis \(|f_n|\le M_n\), og at \(\sum M_n\) konvergerer (oftest p-rekke eller geometrisk).
•Knytt R til singulariteter: for \(1/(1+z^2)\) gir polene i \(\pm i\) at \(R=1\) — nyttig sjekk uten å regne koeffisienter.
•Husk de fire standardrekkene (geometrisk, \(e^z\), \(\cos z\), \(\sin z\)) utenat — de brukes direkte i Laurent/residy-oppgaver.