TMA4110

Cheat Sheet

Formler, begreper og oppsummering

Matematikk 3

eksamenssett.no

Formler

Komplekse tall

• $i^2 = -1$
• $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ , $\ z\bar{z} = |z|^2$

Nøkkelformler per tema

Andreordens lineære differensiallikninger

•Karakteristisk likning: $r^2+pr+q=0$
•Reelle distinkte røtter: $y=C_1e^{r_1t}+C_2e^{r_2t}$

Vanlige feil å unngå

Komplekse tall

•Forveksle imaginærdelen $\operatorname{Im}(z)$ med $bi$ — den er det reelle tallet $b$ , ikke $bi$ .
•Glemme å sjekke kvadranten når man finner argumentet; $\arctan(b/a)$ alene gir feil vinkel i 2. og 3. kvadrant.

Eksamenstips

Komplekse tall

•Lær deg å bytte raskt mellom kartesisk og polar form — velg formen som passer operasjonen: kartesisk for $+/-$ , polar/eksponentiell for $\times$ , potenser og røtter.
•Ved potenser og røtter: ALLTID gå via polarform $re^{i\theta}$ . Det sparer mye tid sammenlignet med å multiplisere ut.
•Tegn alltid en skisse i det komplekse planet for å bestemme riktig kvadrant og argument.
•Husk standardverdiene: $1+i = \sqrt{2}e^{i\pi/4}$ , $i = e^{i\pi/2}$ , $-1 = e^{i\pi}$ , $-i = e^{i3\pi/2}$ .

Lineære likningssystemer

•Antall frie variabler $=n-\text{rang}(A)$
•Rang $=$ antall pivoter $\le\min(m,n)$
•Generell løsning: $\mathbf{x}=\mathbf{p}+\mathbf{x}_h$ (partikulær + homogen)
•Rang-nullitet: $\dim(\text{Nul}\,A)+\text{rang}(A)=n$
•Inkonsistent $\iff$ rad $[\,0\;\cdots\;0\mid b\,],\;b\neq0$
•Entydig løsning $\iff$ konsistent og rang $=n$
•Homogent system: alltid konsistent (triviell løsning $\mathbf{x}=\mathbf{0}$ )
•Parametrisk vektorform: $\mathbf{x}=\mathbf{p}+t_1\mathbf{v}_1+\cdots+t_k\mathbf{v}_k$

Matriser og matriseregning

•Matriseprodukt: $\displaystyle c_{ij}=\sum_{k=1}^{n} a_{ik}b_{kj}$
•Transponert av produkt: $(AB)^T=B^TA^T$
•Invers $2\times 2$ : $\displaystyle A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$
•Invers av produkt: $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$
•Invers/transponert kommuterer: $(A^{-1})^T=(A^T)^{-1}$
•Determinant av produkt: $\det(AB)=\det(A)\det(B)$
•LU-løsning: løs $L\mathbf{y}=\mathbf{b}$ deretter $U\mathbf{x}=\mathbf{y}$

Determinanter

• $\det\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}=ad-bc$
• $\displaystyle \det A=\sum_{j} a_{ij}C_{ij},\quad C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$
•Triangulær: $\det A=a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}$
• $\det(kA)=k^n\det A,\quad \det A^{\mathsf T}=\det A$
• $\det(AB)=\det A\cdot\det B,\quad \det(A^{-1})=\dfrac{1}{\det A}$
• $\det A=\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n$
•Cramer: $x_i=\dfrac{\det A_i(\mathbf{b})}{\det A}$
• $A$ invertibel $\iff \det A\neq 0$

Vektorrom og underrom

•Underromskrav: $\mathbf{0}\in H$ , lukket under $+$ og under skalarmultiplikasjon
• $\operatorname{Span}\{\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_p\}=\{c_1\mathbf{v}_1+\cdots+c_p\mathbf{v}_p:c_i\in\mathbb{R}\}$
•Lineær uavhengighet: $c_1\mathbf{v}_1+\cdots+c_p\mathbf{v}_p=\mathbf{0}\Rightarrow c_1=\cdots=c_p=0$
• $\operatorname{Nul}A=\{\mathbf{x}:A\mathbf{x}=\mathbf{0}\}\subseteq\mathbb{R}^n$
• $\operatorname{Col}A=\operatorname{Span}\{\text{kolonner}\}\subseteq\mathbb{R}^m$
• $\operatorname{rang}A=\dim\operatorname{Col}A=\#\text{pivotkolonner}$
•Rangteoremet: $\operatorname{rang}A+\dim\operatorname{Nul}A=n$

Basis og dimensjon

•Basis: lineært uavhengig OG $W=\mathrm{Span}\{\mathbf{b}_1,\dots,\mathbf{b}_k\}$
• $\dim\mathbb{R}^n=n,\quad \dim P_n=n+1,\quad \dim M_{m\times n}=mn$
•Rang–nullitet: $\mathrm{rang}(A)+\dim\mathrm{Nul}(A)=n$ (antall kolonner)
•Koordinater: $\mathbf{x}=c_1\mathbf{b}_1+\cdots+c_n\mathbf{b}_n \iff [\mathbf{x}]_B=(c_1,\dots,c_n)^T$
•Standard overgangsmatrise: $\mathbf{x}=P_B[\mathbf{x}]_B$ , $\ P_B=[\mathbf{b}_1\ \cdots\ \mathbf{b}_n]$
•Overgangsmatrise: $[\mathbf{x}]_C=\underset{C\leftarrow B}{P}[\mathbf{x}]_B$ , kolonner $=[\mathbf{b}_i]_C$
•Invers retning: $\underset{B\leftarrow C}{P}=\left(\underset{C\leftarrow B}{P}\right)^{-1}$
• $\dim\mathrm{Col}(A)=\dim\mathrm{Row}(A)=\mathrm{rang}(A)=$ antall pivoter

Lineæravbildninger

•Standardmatrise: $A=[\,T(\mathbf{e}_1)\ \cdots\ T(\mathbf{e}_n)\,]$ , og $T(\mathbf{x})=A\mathbf{x}$
•Rotasjon mot klokka: $R_\theta=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}$
•Rangteoremet: $\dim(\ker T)+\operatorname{rang}(A)=n$
•Injektiv $\iff \ker T=\{\mathbf{0}\}\iff \operatorname{rang}(A)=n$
•Surjektiv $\iff \operatorname{im} T=\mathbb{R}^m\iff \operatorname{rang}(A)=m$
•Sammensetning: matrise til $T\circ S$ er $AB$ (innerst først = lengst til høyre)
•Kvadratisk: bijektiv $\iff \det A\ne 0 \iff A$ invertibel

Egenverdier og egenvektorer

•Karakteristisk likning: $\det(A-\lambda I)=0$
•Egenvektorlikning: $(A-\lambda I)\mathbf{v}=\mathbf{0}$ , $\mathbf{v}\neq\mathbf{0}$
•Egenrom: $E_\lambda=\ker(A-\lambda I)$ , $\dim E_\lambda=n-\operatorname{rang}(A-\lambda I)$
•Multiplisitet: $1\le g_\lambda\le a_\lambda$ ; diagonaliserbar $\iff g_\lambda=a_\lambda$ for alle $\lambda$
• $2\times2$ : $\lambda^2-\operatorname{tr}(A)\,\lambda+\det(A)=0$ , med $\lambda_1+\lambda_2=\operatorname{tr}(A)$ , $\lambda_1\lambda_2=\det(A)$
•Polarform: $\lambda=a+bi=re^{i\theta}$ , $r=\sqrt{a^2+b^2}$ , $\theta=\arg\lambda$
•Komplekse egenverdier (reell matrise) opptrer i par: $a\pm bi$
•Diagonalisering: $A=PDP^{-1}$ med $P=[\mathbf{v}_1\;\cdots\;\mathbf{v}_n]$ , $D=\operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$

Diagonalisering

• $A=PDP^{-1}$ — kolonnene i $P$ er egenvektorer, diagonalen i $D$ er egenverdiene
• $\det(A-\lambda I)=0$ — karakteristisk likning for egenverdiene
• $\lambda^2-(\mathrm{tr}A)\lambda+\det A=0$ — karakteristisk likning for $2\times2$ -matriser
• $A^k=PD^kP^{-1}$ der $D^k=\mathrm{diag}(\lambda_1^k,\dots,\lambda_n^k)$
• $A^{-1}=PD^{-1}P^{-1}$ når ingen egenverdi er $0$
• $\det A=\lambda_1\cdots\lambda_n$ og $\mathrm{tr}A=\lambda_1+\cdots+\lambda_n$
•Spektralsetningen: symmetrisk $A=QDQ^T$ med $Q^TQ=I$
•For matrise-ODE $\mathbf{x}'=A\mathbf{x}$ : $\displaystyle \mathbf{x}=\sum_i c_i e^{\lambda_i t}v_i$

Indreprodukt og ortogonalitet

• $\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=u_1v_1+\cdots+u_nv_n$
• $\|\mathbf{v}\|=\sqrt{\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}},\quad \|\mathbf{v}\|^2=\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}$
• $\cos\theta=\dfrac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\|\,\|\mathbf{v}\|}$
• $\mathbf{u}\perp\mathbf{v}\iff\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=0;\quad \|\mathbf{u}+\mathbf{v}\|^2=\|\mathbf{u}\|^2+\|\mathbf{v}\|^2$
• $c_j=\dfrac{\mathbf{y}\cdot\mathbf{u}_j}{\mathbf{u}_j\cdot\mathbf{u}_j}$ (koordinater i ortogonal basis)
• $\displaystyle \operatorname{proj}_W\mathbf{y}=\sum_j\dfrac{\mathbf{y}\cdot\mathbf{u}_j}{\mathbf{u}_j\cdot\mathbf{u}_j}\mathbf{u}_j$
• $\displaystyle \mathbf{v}_k=\mathbf{x}_k-\sum_{j<k}\dfrac{\mathbf{x}_k\cdot\mathbf{v}_j}{\mathbf{v}_j\cdot\mathbf{v}_j}\mathbf{v}_j$ (Gram-Schmidt)
• $A=QR,\quad Q^TQ=I,\quad R=Q^TA$
• $|\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}|\le\|\mathbf{u}\|\,\|\mathbf{v}\|$ (Cauchy-Schwarz)
• $(\operatorname{Col}A)^\perp=\operatorname{Nul}(A^T)$

Minste kvadraters metode

•Normallikningene: $A^{T}A\hat{\mathbf{x}}=A^{T}\mathbf{b}$
•Entydig løsning (uavhengige kolonner): $\hat{\mathbf{x}}=(A^{T}A)^{-1}A^{T}\mathbf{b}$
•Projeksjon på kolonnerom: $\hat{\mathbf{b}}=A\hat{\mathbf{x}}=A(A^{T}A)^{-1}A^{T}\mathbf{b}$
•Projeksjonsmatrise: $P=A(A^{T}A)^{-1}A^{T},\ P^{2}=P,\ P^{T}=P$
•Residual ortogonalt: $A^{T}(\mathbf{b}-A\hat{\mathbf{x}})=\mathbf{0}$
•Pytagoras: $\lVert\mathbf{b}\rVert^{2}=\lVert\hat{\mathbf{b}}\rVert^{2}+\lVert\mathbf{b}-\hat{\mathbf{b}}\rVert^{2}$
•QR-løsning: $R\hat{\mathbf{x}}=Q^{T}\mathbf{b}$ for $A=QR$

Lineære differensiallikningssystemer

•Karakteristisk likning: $\det(A-\lambda I)=0$
•Grunnløsning: $\mathbf{x}=e^{\lambda t}\mathbf{v}$ når $A\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}$
•Generell løsning ( $2\times2$ , distinkte): $\mathbf{x}=c_1 e^{\lambda_1 t}\mathbf{v}_1+c_2 e^{\lambda_2 t}\mathbf{v}_2$
•Komplekst par $\lambda=a\pm bi$ : $\mathbf{x}_1=e^{at}(\mathbf{p}\cos bt-\mathbf{q}\sin bt)$ , $\mathbf{x}_2=e^{at}(\mathbf{p}\sin bt+\mathbf{q}\cos bt)$
•Eulers formel: $e^{(a+bi)t}=e^{at}(\cos bt+i\sin bt)$
•Begynnelsesverdi: $\mathbf{x}(t)=e^{At}\mathbf{x}_0$ , $\mathbf{x}(t)=\Phi(t)\Phi(0)^{-1}\mathbf{x}_0$
•Diagonalisering: $e^{At}=Pe^{Dt}P^{-1}$
•Spor/det: $\operatorname{spor}(A)=\lambda_1+\lambda_2$ , $\det(A)=\lambda_1\lambda_2$
•Stabilitetstest ( $2\times2$ ): asymptotisk stabil $\iff$ $\operatorname{spor}(A)<0$ og $\det(A)>0$
•Abels formel: $\det\Phi(t)=\det\Phi(0)\,e^{\operatorname{spor}(A)\,t}$

Markov-kjeder og stokastiske matriser

•Oppdatering: $\mathbf{x}_{k+1}=P\mathbf{x}_k$ , altså $\mathbf{x}_k=P^k\mathbf{x}_0$
•Stokastisk matrise: $p_{ij}\ge 0$ og $\displaystyle \sum_i p_{ij}=1$ for hver kolonne $j$
•Ekvivalent: $\mathbf{e}^TP=\mathbf{e}^T$ med $\mathbf{e}=(1,\dots,1)^T$
•Likevekt: $P\mathbf{q}=\mathbf{q}$ , altså $\mathbf{q}\in\mathrm{Nul}(P-I)$ med $\displaystyle \sum q_i=1$
• $\lambda=1$ er alltid egenverdi, og alle egenverdier oppfyller $|\lambda|\le 1$
•Regulær $P$ : $\lim_{k\to\infty}P^k=\mathbf{q}\mathbf{e}^T$ (alle kolonner lik $\mathbf{q}$ )
•Diagonalisering: $P=SDS^{-1}\Rightarrow P^k=SD^kS^{-1}$
•Konvergensfart: feilen avtar som $|\lambda_2|^k$
• $2\times2$ : $\lambda_1=1$ og $\lambda_2=\operatorname{sp}(P)-1$
•Dobbeltstokastisk $\displaystyle \Rightarrow \mathbf{q}=\frac1n(1,\dots,1)^T$

Lineære likningssystemer

•Glemme fortegnsbytte ved flytting av frie variabler: fra $x_1+2x_3=5$ blir $x_1=5-2x_3$ , ikke $x_1=5+2x_3$
•Tro at et lineært system kan ha nøyaktig 2 eller 3 løsninger — det er enten 0, 1 eller uendelig mange
•Forveksle trappeform (ikke entydig) med redusert trappeform (entydig)
•Velge basisvariabler i stedet for ikke-pivot-variabler som frie parametre
•Glemme å sjekke høyrekolonnen for inkonsistens: en rad $[0\;\cdots\;0\mid b]$ med $b\neq0$ betyr ingen løsning
•Multiplisere en rad med $0$ — ulovlig radoperasjon som ødelegger informasjon
•Tro at et homogent system kan være inkonsistent — det er alltid konsistent
•Telle antall likninger i stedet for antall pivoter (rang) når man finner frie variabler

Matriser og matriseregning

•Anta at $AB=BA$ — matrisemultiplikasjon er IKKE kommutativ.
•Glemme å snu rekkefølgen i $(AB)^T=B^TA^T$ og $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$ .
•Forsøke å multiplisere matriser med inkompatible dimensjoner (indre dimensjoner må matche).
•Bruke $2\times 2$ -inversformelen på større matriser — den gjelder bare for $2\times 2$ .
•Forveksle venstremultiplikasjon (radoperasjon, $EA$ ) med høyremultiplikasjon (kolonneoperasjon, $AE$ ) for elementærmatriser.
•Plassere multiplikatorene i $L$ med feil fortegn — i LU lagres multiplikatoren som ble trukket fra, med positivt fortegn.
•Glemme at LU krever radbytter (og dermed $PA=LU$ ) når et pivot blir null.

Determinanter

•Blande $\det(kA)=k^n\det A$ (hele matrisen) med å skalere kun ÉN rad, som gir faktor $k$ .
•Glemme fortegnet $(-1)^{i+j}$ i kofaktoren, eller bruke feil fortegnsmønster.
•Tro at $\det(A+B)=\det A+\det B$ — determinanten er ikke additiv, kun multiplikativ.
•Glemme å bytte fortegn på determinanten etter en radombytting under radreduksjon.
•Bruke Sarrus' regel på $4\times 4$ (eller større) matriser — den gjelder kun for $3\times 3$ .
•Bruke Cramers regel når $\det A=0$ ; da er formelen udefinert.
•Bytte ut feil kolonne i $A_i(\mathbf{b})$ — det er kolonne $i$ som erstattes av $\mathbf{b}$ , ikke rad $i$ .

Vektorrom og underrom

•Glemmer å sjekke at $\mathbf{0}\in H$ — den vanligste grunnen til at en mengde IKKE er et underrom (f.eks. $x+y=1$ ).
•Bruker pivotkolonnene fra TRAPPEFORMEN som basis for $\operatorname{Col}A$ i stedet for de originale kolonnene i $A$ .
•Forveksler hvilket rom $\operatorname{Nul}A$ ( $\subseteq\mathbb{R}^n$ ) og $\operatorname{Col}A$ ( $\subseteq\mathbb{R}^m$ ) lever i.
•Bruker $n=$ antall rader i rangteoremet; $n$ er antall KOLONNER.
•Tror at et spennende sett alltid er en basis — det må også være lineært uavhengig (med mindre antallet er nøyaktig $\dim$ ).
•Antar at løsningsmengden til $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ er et underrom også når $\mathbf{b}\neq\mathbf{0}$ (den mangler $\mathbf{0}$ ).

Basis og dimensjon

•Tror at et utspennende sett alene er en basis — glemmer kravet om lineær uavhengighet (eller motsatt).
•Bruker kolonnene fra trappeformen som basis for $\mathrm{Col}(A)$ . Man skal bruke de tilsvarende kolonnene fra den ORIGINALE matrisen.
•Forveksler $\dim\mathrm{Nul}(A)$ med rangen. Nullitet = antall FRIE variable, rang = antall pivoter.
•Setter opp overgangsmatrisen med radvektorer i stedet for kolonnevektorer.
•Forveksler retningen på basisskiftet — $\underset{C\leftarrow B}{P}$ tar $B$ -koordinater INN og gir $C$ -koordinater UT, ikke omvendt.
•Glemmer at mer enn $n$ vektorer i $\mathbb{R}^n$ alltid er lineært avhengige, og under $n$ aldri kan utspenne.
•Regner determinanten feil for triangulære matriser — den er produktet av diagonalelementene, ikke summen.

Lineæravbildninger

•Bytter om rader og kolonner i standardmatrisen — kolonnene skal være $T(\mathbf{e}_i)$ , ikke radene.
•Forveksler rekkefølgen i sammensetning: matrisen til $T\circ S$ er $AB$ (ikke $BA$ ); funksjonen som anvendes først står til høyre.
•Bruker basis for det RADREDUSERTE kolonnerommet — basis for bildet skal være de ORIGINALE pivotkolonnene i $A$ .
•Tror $n>m$ kan gi injektiv eller $n<m$ kan gi surjektiv — dimensjonene umuliggjør dette.
•Glemmer at $T(\mathbf{0})=\mathbf{0}$ er nødvendig; avbildninger som $T(x)=x+1$ er ikke lineære.
•Setter rangteoremet til $m$ i stedet for $n$ : summen er alltid antall KOLONNER $n$ .

Egenverdier og egenvektorer

•Bruke $\det(A)-\lambda=0$ i stedet for $\det(A-\lambda I)=0$ — husk å trekke $\lambda$ fra HELE diagonalen før determinanten regnes.
•Glemme at nullvektoren ikke er en egenvektor; egenrommet inneholder $\mathbf{0}$ , men $\mathbf{0}$ teller ikke som egenvektor.
•Anta at algebraisk multiplisitet $=$ geometrisk multiplisitet. Sjekk alltid rangen til $A-\lambda I$ ved doble egenverdier.
•Tro at en defekt $2\times2$ -matrise med dobbel egenverdi er diagonaliserbar — kontroller $\dim E_\lambda$ .
•Feil kvadrant i polarform: $\arctan(b/a)$ må justeres med $\pi$ når $a<0$ .
•Glemme at komplekse egenverdier til reelle matriser alltid kommer i konjugerte par; oppgi begge.
•Bytte om radoperasjoner slik at man får feil egenvektor — verifiser ved å regne $A\mathbf{v}$ og sjekke $A\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}$ .

Diagonalisering

•Bytter om rekkefølgen på egenverdiene i $D$ i forhold til egenvektorene i $P$ — de MÅ stemme kolonne for kolonne.
•Tror at $A^k=P^kD^kP^{-k}$ . Riktig er $A^k=PD^kP^{-1}$ ; $P$ og $P^{-1}$ opphøyes IKKE.
•Antar at alle matriser er diagonaliserbare. En gjentatt egenverdi med for lite egenrom (Jordan-blokk) gir ikke-diagonaliserbar matrise.
•Glemmer å normalisere egenvektorene til lengde $1$ når man skal lage en ortogonal $Q$ — da blir $Q^TQ\neq I$ .
•Bruker $Q^{-1}$ i stedet for å utnytte $Q^{-1}=Q^T$ for symmetriske matriser, noe som gir unødvendig regnearbeid.
•Forveksler algebraisk og geometrisk multiplisitet; det er likhet mellom dem for hver egenverdi som avgjør diagonaliserbarhet.
•Konkluderer at to matriser med samme karakteristiske polynom er similære — det er ikke nok (jf. $I$ vs. Jordan-blokk).

Indreprodukt og ortogonalitet

•Bruke projeksjonssummen $\displaystyle \operatorname{proj}_W\mathbf{y}=\sum\frac{\mathbf{y}\cdot\mathbf{u}_j}{\mathbf{u}_j\cdot\mathbf{u}_j}\mathbf{u}_j$ når basisen IKKE er ortogonal — formelen gjelder kun for ortogonal basis.
•I Gram-Schmidt projisere på de opprinnelige $\mathbf{x}_j$ i stedet for de allerede ortogonaliserte $\mathbf{v}_j$ , slik at resultatet ikke blir ortogonalt.
•Glemme å normalisere ( $\div\|\mathbf{v}_k\|$ ) når man skal ha en ortonormal basis eller kolonnene i $Q$ .
•Tro at $UU^T=I$ for alle matriser med ortonormale kolonner — dette holder bare når $U$ er kvadratisk; generelt gjelder bare $U^TU=I$ .
•Forveksle $\|c\mathbf{v}\|=|c|\,\|\mathbf{v}\|$ med $c\,\|\mathbf{v}\|$ — man må ta absoluttverdi av skalaren.
•Regne $\|\mathbf{v}\|=\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}$ i stedet for $\sqrt{\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}}$ (glemme kvadratroten).

Minste kvadraters metode

•Blande sammen $\hat{\mathbf{x}}$ (parametervektoren) og $\hat{\mathbf{b}}=A\hat{\mathbf{x}}$ (projeksjonen/de tilpassede verdiene).
•Skrive $AA^{T}$ i stedet for $A^{T}A$ i normallikningene — rækkefølgen er avgjørende og gir feil dimensjon.
•Tro at residualet er ortogonalt på nullrommet; det er ortogonalt på kolonnerommet $\operatorname{Col}A=(\operatorname{Nul}A^{T})^{\perp}$ .
•Glemme konstantkolonnen av 1-ere i designmatrisen når modellen har et konstantledd $\beta_0$ .
•Forveksle minimering av $\lVert\mathbf{b}-A\mathbf{x}\rVert$ (riktig) med minimering av $\lVert\mathbf{x}\rVert$ (et annet problem).
•Prøve å invertere $A^{T}A$ når kolonnene er lineært avhengige — da er den singulær og man må radredusere normallikningene i stedet.
•Regnefeil i $A^{T}A$ : husk at diagonalelementet $(A^{T}A)_{jj}$ er summen av kvadratene i kolonne $j$ .

Lineære differensiallikningssystemer

•Glemmer å sjekke at egenvektorene er lineært uavhengige — ved sammenfallende egenverdier kan man trenge generaliserte egenvektorer (ledd med $te^{\lambda t}$ ).
•Bytter om real- og imaginærdel i formelen for komplekse løsninger, eller glemmer faktoren $e^{at}$ .
•Forveksler frekvens ( $b$ , imaginærdelen) med amplitude/vekst ( $a$ , realdelen) ved stabilitetsvurdering.
•Tror at $\det(A)>0$ alene gir stabilitet — man må også ha $\operatorname{spor}(A)<0$ ; ellers kan begge egenverdier være positive.
•Regner fortegnsfeil i $\det(A-\lambda I)$ , særlig krysstleddet $-bc$ i en $2\times2$ -matrise.
•Antar at $e^{At}=\operatorname{diag}(e^{\lambda_i t})$ uten å transformere med $P$ og $P^{-1}$ for ikke-diagonale $A$ .

Andreordens lineære differensiallikninger

•Glemmer å gange ansatzen med $t$ når høyresiden allerede er en homogen løsning — man ender med $0=g(t)$ .
•Bruker $y_p=At$ i stedet for $y_p=At+B$ når høyresiden er $12t$ (polynomet må være fullstendig).
•Tar bare med $\cos\omega t$ når høyresiden er $\cos\omega t$ , og får et system uten løsning.
•Setter inn initialbetingelsene før partikulærløsningen er lagt til.
•Regner fortegnsfeil i diskriminanten og forveksler dobbeltrot med komplekst rotpar.
•Skriver den komplekse løsningen som $C_1e^{\alpha t}\cos\beta t$ uten sinusleddet, og mister en dimensjon.
•Blander $p$ og $q$ i systemmatrisen: den korrekte er $\begin{pmatrix}0&1\\-q&-p\end{pmatrix}$ , ikke omvendt.

Markov-kjeder og stokastiske matriser

•Setter opp matrisen radvis i stedet for kolonnevis, slik at man i praksis regner med $P^T$ .
•Glemmer å regne ut sannsynligheten for «å bli værende», så kolonnesummen ikke blir 1.
•Normaliserer likevektsvektoren til euklidsk lengde 1 i stedet for komponentsum 1.
•Tror at enhver stokastisk matrise har entydig likevekt — absorberende tilstander gir uendelig mange.
•Tror at $P$ må ha bare positive elementer for å være regulær; det holder at én potens er positiv.
•Blander «regulær» med «inverterbar» — det er to helt ulike begreper her.
•Regner $\mathbf{x}_k$ ved å gange fra høyre ( $\mathbf{x}_kP$ ), som er feil med kolonnekonvensjonen.

Lineære likningssystemer

•Skriv alltid den utvidede matrisen $[A\mid\mathbf{b}]$ tydelig med skillestrek før du radreduserer
•Tell pivoter etter radreduksjon: rang avgjør om løsningen er entydig, uendelig eller inkonsistent
•Når du skal vise type løsning for parameter $k$ / $h$ : reduser til trappeform og se hvilke verdier som gir nullrad $0=0$ (uendelig) eller $0=b\neq0$ (ingen)
•Ved uendelig mange løsninger: oppgi alltid svaret på parametrisk vektorform $\mathbf{p}+t\mathbf{v}$ , ikke bare i ord
•For homogene systemer: husk at $\mathbf{x}=\mathbf{0}$ alltid er med — spørsmålet er om det finnes ikke-trivielle løsninger (fri variabel?)
•Verifiser løsningen ved å sette den inn i den opprinnelige likningen — det fanger fortegns- og regnefeil
•Bruk RREF (Gauss-Jordan) når du skal lese av løsningen direkte uten tilbakesubstitusjon

Matriser og matriseregning

•Sjekk alltid dimensjonene før du multipliserer matriser — det avslører raskt feil.
•Verifiser en utregnet invers ved å sjekke at $AA^{-1}=I$ .
•Bruk inverterbarhetsteoremet: hvis du viser ett av de ekvivalente utsagnene (f.eks. $\det A\neq 0$ ), følger alle de andre.
•For LU: hold orden på multiplikatorene mens du eliminerer, og før dem rett inn i $L$ med riktig posisjon og fortegn.
•Når du skal løse flere systemer med samme $A$ , bruk LU-faktorisering i stedet for å regne ut $A^{-1}$ — det er både raskere og mer numerisk stabilt.
•Husk regnereglene for transponering ( $(AB)^T=B^TA^T$ ) og invers ( $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$ ) — de testes ofte i konseptuelle oppgaver.
•Tegn opp $[A\,|\,I]$ ryddig ved Gauss-Jordan, så du ikke roter til radoperasjonene.

Determinanter

•Velg alltid raden/kolonnen med flest nuller for kofaktorutvikling — det sparer mye regning.
•Sjekk om matrisen er triangulær før du regner: da er $\det$ bare produktet av diagonalen.
•Bruk $\det A=0$ som rask test for singularitet og for å sette opp karakteristisk likning $\det(A-\lambda I)=0$ .
•For parametermatriser: sett $\det=0$ for å finne verdiene der matrisen blir singulær / systemet får ikke-entydig løsning.
•Kontroller $3\times 3$ -resultat med $\det A=\lambda_1\lambda_2\lambda_3$ eller via $\det A^{\mathsf T}=\det A$ ved å regne langs en annen rad.
•Cramers regel er fin for å finne ÉN ukjent uten å løse hele systemet — men radreduksjon er raskere for fullt system med mange ukjente.
•Husk desimalkomma i svar: f.eks. $y=4{,}5$ , ikke $4.5$ .

Vektorrom og underrom

•Vis at noe er et underrom raskt ved å skrive det som et spenn — spenn er alltid underrom.
•For å avgjøre uavhengighet av $n$ vektorer i $\mathbb{R}^n$ : regn determinanten. $\det\neq 0$ betyr uavhengige.
•Bruk rangteoremet til å sjekke svaret: $\#$ pivoter $+\;\#$ frie variabler skal være lik antall kolonner $n$ .
•Radreduser ÉN gang og les av alt: pivotkolonner gir $\operatorname{Col}A$ -basis (originale kolonner), frie variabler gir $\operatorname{Nul}A$ -basis og nulliteten.
•Når oppgaven spør 'for hvilke $h$ ': sett opp determinant eller løs systemet og finn betingelsen $\det=0$ eller en konsistensbetingelse.
•Husk tellereglene: flere ukjente enn likninger i et homogent system $\Rightarrow$ alltid ikke-trivielle løsninger.

Basis og dimensjon

•For å sjekke om $n$ vektorer er en basis for $\mathbb{R}^n$ : regn determinanten av matrisen med vektorene som kolonner. $\det\neq 0 \Rightarrow$ basis.
•Bruk basis-teoremet: i et $k$ -dim. rom trenger du bare sjekke ÉN av betingelsene (uavhengighet eller spenn) for $k$ vektorer.
•Ved basis for nullrom: radreduser til redusert trappeform, parametriser med frie variable, og les av én basisvektor per fri variabel.
•Husk å verifisere koordinatsvar ved å regne $c_1\mathbf{b}_1+\cdots+c_n\mathbf{b}_n$ og sjekke at du får $\mathbf{x}$ tilbake.
•For overgangsmatrise når én av basene er standardbasen $E$ : matrisen er bare basisvektorene som kolonner (eller dens invers, avhengig av retning).
•Bruk rang–nullitet til rask kontroll: $\dim\mathrm{Col}+\dim\mathrm{Nul}$ må alltid bli antall kolonner.
•Skriv alltid opp dimensjonen sammen med en basis — eksamen ber ofte om begge, og dimensjonen er gratis når du har basen.

Lineæravbildninger

•Begynn alltid med å finne standardmatrisen $A$ — da blir alle spørsmål om kjerne, bilde, injektiv/surjektiv til standard radreduksjon.
•For kjernen: radreduser, finn frie variabler, skriv løsningen som span av basisvektorer. For bildet: identifiser pivotkolonner og bruk originalkolonnene.
•Bruk pivot-regelen som hurtigtest: pivot i hver kolonne = injektiv, pivot i hver rad = surjektiv.
•For kvadratiske matriser holder det å regne $\det A$ : er den $\ne 0$ er avbildningen bijektiv.
•Ved sammensetning, dobbeltsjekk dimensjonene ( $m\times p$ gang $p\times n$ ) og at indre dimensjoner matcher før du multipliserer.
•Kjenn igjen geometriske matriser (rotasjon, speiling, projeksjon, skalering) — de dukker opp ofte og lar deg resonnere uten utregning.

Egenverdier og egenvektorer

•Bruk $\operatorname{tr}(A)$ og $\det(A)$ som rask kontroll: summen av egenverdiene skal være sporet og produktet determinanten.
•Verifiser hver egenvektor ved å regne $A\mathbf{v}$ og sjekke at det blir $\lambda\mathbf{v}$ — koster lite tid, fanger regnefeil.
•Ved doble egenverdier: regn alltid $\operatorname{rang}(A-\lambda I)$ for å avgjøre diagonaliserbarhet — dette er en klassisk eksamenstest.
•For triangulære/diagonale matriser kan du lese egenverdiene rett av diagonalen — ikke kast bort tid på determinanten.
•Oppgi komplekse egenverdier både på rektangulær form $a\pm bi$ og polarform $re^{i\theta}$ hvis oppgaven spør om geometrisk tolkning.
•Husk diskriminanten $\operatorname{tr}(A)^2-4\det(A)$ : negativ gir komplekse egenverdier, null gir dobbel reell, positiv gir to distinkte reelle.

Diagonalisering

•For $2\times2$ -matriser: bruk $\lambda^2-(\mathrm{tr}A)\lambda+\det A=0$ som snarvei til egenverdiene — raskt og pålitelig.
•Sjekk alltid svaret: $PD=AP$ er enklere å verifisere enn å regne ut $PDP^{-1}$ .
•Når oppgaven ber om $A^k$ med konkret $k$ , regn ut $PD^kP^{-1}$ — ikke gang $A$ med seg selv mange ganger.
•Hvis matrisen er symmetrisk, spar tid: egenvektorer for ulike egenverdier er garantert ortogonale, og du bruker $Q^T$ i stedet for å invertere.
•For å avgjøre om en matrise med gjentatt egenverdi er diagonaliserbar, beregn rangen til $A-\lambda I$ : $\dim$ egenrom $=n-\mathrm{rang}(A-\lambda I)$ .
•Egenvektorer kan skaleres fritt — velg pene heltallskomponenter (f.eks. $\binom{1}{-2}$ framfor brøker) for å forenkle $P^{-1}$ .
•Husk at egenverdi $0$ betyr at $A$ ikke er invertibel, men matrisen kan fortsatt være diagonaliserbar.

Indreprodukt og ortogonalitet

•Sjekk alltid at en påstått ortogonal mengde faktisk er ortogonal ved å regne ut prikkproduktene før du bruker projeksjonsformlene.
•For hånd: skaler Gram-Schmidt-vektorene for å fjerne brøker (f.eks. $(\tfrac12,-\tfrac12,1)\to(1,-1,2)$ ), men husk å normalisere til slutt hvis oppgaven ber om ortonormal basis eller $Q$ .
•Avstand fra et punkt til et underrom = $\|\mathbf{z}\|=\|\mathbf{y}-\operatorname{proj}_W\mathbf{y}\|$ . Regn alltid ut $\mathbf{z}$ og kontroller at $\mathbf{z}$ er ortogonal til basisen.
•I QR-oppgaver: bruk $R=Q^TA$ for å finne $R$ raskt, og kontroller at diagonalelementene er positive ( $R_{kk}=\|\mathbf{v}_k\|$ ).
•Bruk koordinatformelen $\displaystyle c_j=\frac{\mathbf{y}\cdot\mathbf{u}_j}{\mathbf{u}_j\cdot\mathbf{u}_j}$ for ortogonal basis i stedet for å sette opp og radredusere et likningssystem — det sparer mye tid.
•Husk Pytagoras-kontroll: $\|\mathbf{y}\|^2=\|\hat{\mathbf{y}}\|^2+\|\mathbf{z}\|^2$ kan brukes til å verifisere en projeksjonsberegning.

Minste kvadraters metode

•Sett alltid opp designmatrisen $A$ og $\mathbf{b}$ først, og skriv normallikningene eksplisitt før du regner.
•For $2\times2$ -systemer er Cramer eller inversformelen $\displaystyle \frac{1}{\det}\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}$ raskest.
•Verifiser svaret ved å sjekke at residualet $\mathbf{r}=\mathbf{b}-A\hat{\mathbf{x}}$ er ortogonalt på kolonnene ( $A^{T}\mathbf{r}=\mathbf{0}$ ) — dette fanger regnefeil.
•Hvis $A^{T}A$ blir diagonal, er kolonnene ortogonale og hver parameter løses uavhengig — utnytt dette.
•Husk at hvis $\mathbf{b}$ allerede ligger i $\operatorname{Col}A$ , er residualet null og minste kvadraters løsning er den eksakte løsningen.
•Ved kurvetilpasning: les nøye om modellen har konstantledd, og om data ligger eksakt på kurven (da blir feilen null).
•Ved spørsmål om projeksjon: $A\hat{\mathbf{x}}$ er svaret på «projiser $\mathbf{b}$ på $\operatorname{Col}A$ » — du trenger ikke regne ut projeksjonsmatrisen $P$ eksplisitt.

Lineære differensiallikningssystemer

•Skriv alltid den karakteristiske likningen eksplisitt og faktoriser nøye; dobbeltsjekk med $\operatorname{spor}(A)=\lambda_1+\lambda_2$ og $\det(A)=\lambda_1\lambda_2$ .
•Når egenverdiene er komplekse, regn ut $e^{\lambda t}\mathbf{v}$ for ÉN av dem og ta real- og imaginærdel — du trenger ikke begge konjugerte.
•Bruk spor/determinant-testen for å klassifisere $2\times2$ -systemer raskt før du tegner faseportrett.
•For begynnelsesverdiproblemer: sett opp den generelle løsningen først, sett så inn $t=0$ og løs det lineære systemet for $c_1,c_2$ .
•Husk at en 2. ordens ODE kan løses enten direkte eller via systemform — egenverdiene til systemmatrisen er nøyaktig røttene i ODE-ens karakteristiske likning.
•Verifiser et svar ved å sette løsningen tilbake i $\mathbf{x}'=A\mathbf{x}$ hvis du har tid.

Andreordens lineære differensiallikninger

•Finn alltid røttene FØRST, og sammenlikn dem med høyresiden — det avslører resonans på ti sekunder.
•Ved polynom på høyresiden: bruk et fullstendig polynom av samme grad, også om $g$ mangler ledd.
•Ved $\cos\omega t$ eller $\sin\omega t$ : ta alltid med begge ledd i ansatzen.
•Initialbetingelsene settes inn i $y=y_h+y_p$ , aldri i $y_h$ alene — dette er den vanligste tabben.
•Kontroller svaret ved å sette $t=0$ inn i det ferdige uttrykket for $y$ og $y'$ .
•Er høyresiden $\tan t$ , $\sec t$ eller lignende, skal du bruke variasjon av parametre, ikke ubestemte koeffisienter.
•Klarer du ikke å bestemme koeffisientene, sjekk om du har glemt en $t$ -faktor (resonans) før du leter etter regnefeil.

Markov-kjeder og stokastiske matriser

•Skriv alltid opp tilstandsrekkefølgen først, og fyll matrisen KOLONNEVIS ut fra «hvis vi er i tilstand $j$ nå».
•Kontroller at hver kolonnesum er 1 før du regner videre — feil oppsett gir feil svar på hele oppgaven.
•«I det lange løp» / «steady state» / «likevektsfordelingen» betyr alltid: løs $(P-I)\mathbf{q}=\mathbf{0}$ og normaliser.
•Gang $P-I$ med 10 eller 100 for å slippe desimaler i radreduksjonen.
•Normaliser til komponentsum 1, ikke til lengde 1 — dette er en klassisk poengtapper.
•Bruk $P\mathbf{e}_j=$ kolonne $j$ når oppgaven starter i en bestemt tilstand.
•Kontroller svaret ved å regne ut $P\mathbf{q}$ ; det koster ett minutt og fanger alle regnefeil.
•Spør oppgaven om $P^k$ eller om fordelingen etter mange steg, lønner det seg å diagonalisere.