Hva sier Greens teorem?

Greens teorem omformer et lukket linjeintegral i planet til et dobbeltintegral. La C være en stykkevis glatt, enkel, lukket kurve som er positivt orientert (mot klokka), og la R være området C avgrenser. Hvis P og Q har kontinuerlige partiellderiverte i et åpent område som inneholder R, gjelder:

Greens teorem:

\(\displaystyle \oint_C P\,dx + Q\,dy = \iint_R \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA\)

Integranden \(Q_x - P_y\) er z-komponenten av \(\nabla\times\mathbf{F}\) for \(\mathbf{F}=P\mathbf{i}+Q\mathbf{j}\).

Orientering

Positiv orientering betyr mot klokka, slik at området R alltid ligger til venstre for kjøreretningen. Gjennomløpes kurven med klokka (negativt), bytter linjeintegralet fortegn. For områder med hull orienteres ytre rand mot klokka og indre rand med klokka.

Areal via Greens teorem

Velger vi P og Q slik at \(Q_x - P_y = 1\), gir dobbeltintegralet nøyaktig arealet av R. De tre standardformlene er:

\(\displaystyle A = \oint_C x\,dy = -\oint_C y\,dx = \frac{1}{2}\oint_C (x\,dy - y\,dx)\)

Unngå vanskelige linjeintegraler

Den vanligste eksamensbruken: et linjeintegral langs en trekant eller et rektangel krever én parametrisering per kant. Greens teorem erstatter dette med ett dobbeltintegral. Ekstra kraftig er det når integranden \(Q_x - P_y\) forenkles til en konstant eller når «stygge» ledd som \(e^{\sqrt{x}}\) eller \(\cos(y^2)\) forsvinner ved derivasjon.

Eksempel 1: Beregn \(\oint_C (y\,dx + x^2\,dy)\) der C er randen av rektangelet \(0\le x\le 2,\ 0\le y\le 1\), positivt orientert.

Identifiser: \(P=y,\ Q=x^2\).

Integrand: \(Q_x - P_y = 2x - 1\).

\(\displaystyle \int_0^1\int_0^2 (2x-1)\,dx\,dy\)

Indre: \([x^2 - x]_0^2 = 4 - 2 = 2\).

Ytre: \(\int_0^1 2\,dy = 2\).

Svar: \(2\).

Eksempel 2: Beregn \(\oint_C ((y+e^{\sqrt{x}})\,dx + (2x+\cos(y^2))\,dy)\) der C avgrenser området mellom \(y=x^2\) og \(x=y^2\), positivt orientert.

\(P=y+e^{\sqrt{x}},\ Q=2x+\cos(y^2)\).

\(Q_x = 2\) (leddet \(\cos(y^2)\) deriveres mhp. x og gir 0).

\(P_y = 1\) (leddet \(e^{\sqrt{x}}\) deriveres mhp. y og gir 0).

Integrand: \(Q_x - P_y = 2 - 1 = 1\).

Integralet blir arealet: \(\iint_R 1\,dA\).

Skjæring: \(x^4 = x \Rightarrow x=0,1\), så \(0\le x\le 1\), \(x^2 \le y \le \sqrt{x}\).

\(A = \int_0^1 (\sqrt{x} - x^2)\,dx = \left[\tfrac{2}{3}x^{3/2} - \tfrac{1}{3}x^3\right]_0^1 = \tfrac{2}{3} - \tfrac{1}{3} = \tfrac{1}{3}\).

Svar: \(\dfrac{1}{3}\).

Eksempel 3 (areal): Beregn arealet av ellipsen \(\tfrac{x^2}{a^2}+\tfrac{y^2}{b^2}=1\) med \(A=\tfrac{1}{2}\oint_C(x\,dy-y\,dx)\).

Parametriser: \(x=a\cos t,\ y=b\sin t,\ 0\le t\le 2\pi\).

\(dx = -a\sin t\,dt,\quad dy = b\cos t\,dt\).

\(x\,dy - y\,dx = a\cos t\cdot b\cos t\,dt - b\sin t\cdot(-a\sin t)\,dt\)

\(= ab(\cos^2 t + \sin^2 t)\,dt = ab\,dt\).

\(A = \tfrac{1}{2}\int_0^{2\pi} ab\,dt = \tfrac{1}{2}\cdot ab\cdot 2\pi = \pi ab\).

Sammenheng med andre teoremer

Greens teorem er det plane spesialtilfellet av Stokes' teorem (sirkulasjonsform) og kan også skrives på fluks(divergens)-form: \(\oint_C \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,ds = \iint_R (P_x + Q_y)\,dA\). Hvis \(Q_x = P_y\) overalt, er feltet konservativt og det lukkede linjeintegralet er null.

Studieguide: Greens teorem

Studieguide: Greens teorem