TMA4100 · NTNU

Studieguide for TMA4100 Matematikk 1

Komplett pensumoversikt for matematikk 1 ved NTNU — med forklaringer, sentrale begreper, eksamenstips og vanlige fallgruver. Eksamensoptimalisert basert på tidligere eksamener.

Introduksjon

Denne studieguiden dekker pensum i TMA4100 Matematikk 1 ved NTNU: grenser og kontinuitet, derivasjon, anvendt optimering, integrasjon med anvendelser (volum, buelengde, rotasjonsflater), uegentlige integraler, førsteordens differensiallikninger, følger og induksjon, rekker og potensrekker, taylorrekker, Newtons metode og numeriske metoder (trapes, Simpson, Euler).

Alt er kalibrert mot 26 eksamenssett fra 2013 til 2025 (ordinær eksamen i desember og kontinuasjonseksamen i august) og NTNUs egne løsningsforslag. Hver seksjon starter med hvor ofte temaet og de enkelte oppgavetypene faktisk er gitt, målt som «i n av 26 sett» og «i n av de 8 nyeste» (2022–2025). Integrasjon er med på alle 26 settene; grenser og kontinuitet, differensiallikninger, rekker, derivasjon, taylorrekker og optimering på 18–23 av 26. Følger kommer sjelden på desembereksamen, men har vært en hel oppgave på alle fire kontinuasjonseksamener 2022–2025.

Emnet TMA4100 undervises ikke lenger (fra studieåret 2025/26); eksamenene 2013–2025 er likevel den beste beskrivelsen av hva som testes i envariabel kalkulus ved NTNU.

Grenser og kontinuitet

Eksamensrelevant

Grenseverdier og kontinuitet slik de kommer på TMA4100-eksamen: bestemme en konstant via Taylor-grenser, vise at en likning har nøyaktig én løsning med skjæringssetningen og monotoni, 0/0-grenser, grenser med integralfunksjon og korte bevis.

Slik kommer det på eksamen

Grenser og kontinuitet var med i 23 av 26 eksamenssett 2013–2025 og i 7 av de 8 nyeste (2022h–2025k). Oppgavetypene, etter hvor mange sett de kom i:

Kontinuitet: 11 av 26 sett (2 av de 8 nyeste). I 7 av dem skal du vise at en gitt funksjon er kontinuerlig; i 4 (2016h, 2016k, 2018k, 2023h) skal du bestemme en konstant slik at $f$ blir kontinuerlig, via en Taylor-grense eller en stykkevis funksjon.
Vis at likningen har nøyaktig én løsning (skjæringssetningen + monotoni): 10 av 26 sett (3 av de 8 nyeste). I tillegg «minst én løsning» i 3 av 26.
0/0-grense med L'Hôpital eller Taylor som egen oppgave: 6 av 26 sett (2 av de 8 nyeste). Regner du med 0/0-grenser inne i andre oppgaver, står de i minst 8 av 26.
Grense med faktorisering eller $x\to\infty$ : 3 av 26 sett.
Grense der telleren er en integralfunksjon: 2 av 26 sett.
Én gang hver: grense med parameter (2025h), ensidige grenser (2023h), forklar et grenseresonnement (2023h), kontinuitet med skviseteoremet (2025k), bevis for at $|f|$ er kontinuerlig (2024k), feilsøk en L'Hôpital-besvarelse (2020h), ε–δ-bevis (2019h).

Merk trenden: i de 8 nyeste settene er 22 % av alle oppgaver bevis/«vis at» og 14 % forklar/drøft. Du må kunne begrunne, ikke bare regne.

1. Bestem konstanten slik at $f$ blir kontinuerlig

$f$ er kontinuerlig i $a$ når $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$ . Oppgaven er derfor alltid en grenseoppgave i forkledning: regn ut grensen, og sett konstanten lik den.

Taylor-varianten: $f(x)=\frac{\text{teller}}{\text{nevner}}$ for $x\neq0$ og $f(0)=C$ . Skriv opp Maclaurin-rekkene fra formelarket til teller og nevner har et første ledd som ikke er null, og del med den felles potensen.
Stykkevis variant: Sjekk bare skjøtepunktene. Venstregrense = høyregrense = funksjonsverdi gir én likning per skjøt.

Rekkene du trenger oftest: $e^u=1+u+\frac{u^2}{2}+\frac{u^3}{6}+\dots$ , $\sin u=u-\frac{u^3}{6}+\dots$ , $\cos u=1-\frac{u^2}{2}+\frac{u^4}{24}-\dots$ , $\ln(1+u)=u-\frac{u^2}{2}+\frac{u^3}{3}-\dots$ , $\arctan u=u-\frac{u^3}{3}+\dots$

Eksempel 1 — bestem $C$

La $f(x)=\dfrac{\ln(1+x^2)-x^2}{x^2(1-\cos x)}$ for $x\neq0$ og $f(0)=C$ . Bestem $C$ slik at $f$ er kontinuerlig i $0$ .

Vi trenger $C=\lim_{x\to0}f(x)$ . Innsetting gir $\frac00$ .
Teller: $\ln(1+u)=u-\frac{u^2}{2}+O(u^3)$ med $u=x^2$ gir $\ln(1+x^2)-x^2=-\frac{x^4}{2}+O(x^6)$ .
Nevner: $1-\cos x=\frac{x^2}{2}+O(x^4)$ , så $x^2(1-\cos x)=\frac{x^4}{2}+O(x^6)$ .
Del med $x^4$ : $\dfrac{-\frac12+O(x^2)}{\frac12+O(x^2)}\to-1$ .

Svar: $C=-1$ .

Grafen til f(x) = (ln(1 + x²) − x²)/(x²(1 − cos x)) på [−3, 3]. Kurven nærmer seg −1 når x går mot 0, og punktet (0, −1) fyller hullet, så C = −1. — Grafen nærmer seg −1 fra begge sider, så f(0) = C = −1 fyller hullet.

2. Skjæringssetningen: «minst én» og «nøyaktig én» løsning

Skriv likningen som $f(x)=0$ . Deretter to deler:

Eksistens: $f$ kontinuerlig på $[a,b]$ og $f(a)$ , $f(b)$ med motsatt fortegn gir minst én løsning i $(a,b)$ . Si eksplisitt hvorfor $f$ er kontinuerlig.
Entydighet: Vis at $f'\gt0$ (eller $f'\lt0$ ) på hele området. En strengt monoton funksjon treffer $0$ høyst én gang.

Varianter fra de nyeste settene: likningen inneholder $|x-a|$ , eller skal bare løses for $x\ge0$ . Da deler du området der absoluttverdien skifter uttrykk, og argumenterer på hvert delintervall (ingen løsning på det ene, nøyaktig én på det andre). Skal du telle flere nullpunkter, gir fortegnsskift på disjunkte intervaller «minst $n$ », og grad eller monotoni-intervaller gir «høyst $n$ ».

Eksempel 2 — nøyaktig én løsning

Vis at $2x-\cos x=1$ har nøyaktig én reell løsning.

La $f(x)=2x-\cos x-1$ , som er kontinuerlig på $\mathbb R$ .
$f(0)=-2\lt0$ og $f(1)=1-\cos1\gt0$ (siden $\cos1\lt1$ ). Skjæringssetningen gir en løsning i $(0,1)$ .
$f'(x)=2+\sin x\ge1\gt0$ , så $f$ er strengt voksende og har høyst ett nullpunkt.

Svar: Nøyaktig én løsning, og den ligger i $(0,1)$ (numerisk $x\approx0{,}835$ ).

Grafen til f(x) = 2x − cos x − 1 på [−0,5; 1,5] med f(0) = −2, f(1) = 1 − cos 1 ≈ 0,46 og det eneste nullpunktet x ≈ 0,835 markert. — f(0) < 0 < f(1), og f er strengt voksende: grafen krysser x-aksen nøyaktig én gang, i x ≈ 0,835.

3. 0/0-grenser: Taylor eller L'Hôpital

L'Hôpital: hvis $\lim\frac{f}{g}$ er på formen $\frac00$ eller $\frac{\infty}{\infty}$ , og $\lim\frac{f'}{g'}$ finnes, er grensene like. Sjekk formen før hver bruk — å bruke regelen på et uttrykk som ikke er ubestemt, er den klassiske feilen i «feilsøk en besvarelse»-oppgaver. Når teller og nevner er sammensatt av standardfunksjoner, er Taylor ofte kortere og tryggere enn tre runder L'Hôpital.

Andre ubestemte former gjøres om først: $0\cdot\infty$ skrives som brøk; $1^\infty$ , $0^0$ og $\infty^0$ løses ved å ta logaritmen og bruke kontinuiteten til $e^u$ til slutt. Et eksempel på det siste er $\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^n=e$ , der $n\ln(1+\frac1n)$ kan tolkes som en Newton-kvotient for $\ln t$ i $t=1$ .

4. Faktorisering og grenser mot uendelig

$\frac00$ for en rasjonal funksjon i $x=a$ : $x-a$ er en faktor i teller og nevner — faktoriser og forkort.
$\infty-\infty$ med kvadratrøtter: gang med den konjugerte.
Rasjonal funksjon når $x\to\pm\infty$ : del på den høyeste potensen i nevneren.

5. Grense med parameter

«Finn $a$ slik at grensen eksisterer» løses med Taylor: skriv telleren som en rekke, og krev at alle ledd av lavere orden enn nevneren forsvinner. Hvert slikt krav gir én likning for parametrene. Deretter står grensen igjen som koeffisienten foran leddet av samme orden som nevneren.

6. Grenser med integralfunksjon

Er telleren $F(x)=\int_0^{u(x)}g(t)\,dt$ med $u(0)=0$ , er uttrykket $\frac00$ når $x\to0$ . Analysens fundamentalteorem og kjerneregelen gir $F'(x)=g(u(x))\,u'(x)$ , og så brukes L'Hôpital. Når $x\to\infty$ må du først vise at integralet går mot $\infty$ (et overslag på integranden holder).

Eksempel 3 — integralfunksjon i telleren

Regn ut $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1}{x^2}\int_0^{x}(e^{t}-1)\,dt$ .

Telleren er $0$ for $x=0$ , så formen er $\frac00$ .
Fundamentalteoremet: $\frac{d}{dx}\int_0^x(e^t-1)\,dt=e^x-1$ .
L'Hôpital: $\lim_{x\to0}\dfrac{e^x-1}{2x}=\dfrac12\lim_{x\to0}\dfrac{e^x-1}{x}=\dfrac12$ .

Svar: $\frac12$ .

Grafen til (e^x − 1 − x)/x² på [−3, 2] med åpen sirkel i (0; 0,5): uttrykket er ikke definert i x = 0, men grensen er 1/2. — Uttrykket er ikke definert i x = 0 (åpen sirkel), men grafen går mot ½ fra begge sider.

7. Bevis- og forklaringsoppgaver

Skviseteoremet: en begrenset faktor ( $\sin$ , $\cos$ av noe som svinger) ganget med noe som går mot $0$ : skriv ulikheten $-|g(x)|\le g(x)\sin(\dots)\le|g(x)|$ eksplisitt.
At en grense ikke finnes: finn to følger $x_n\to a$ og $y_n\to a$ som gir ulike grenser for $f$ .
Kontinuitet fra definisjonen: for hver $\varepsilon\gt0$ finn $\delta\gt0$ . Til $|f|$ brukes $\big||z|-|y|\big|\le|z-y|$ ; til polynomer begrenser du først $|x-a|\lt1$ .
Forklar et resonnement: navngi regelen bak hver likhet (logaritmeregel, substitusjon, definisjonen av den deriverte, kontinuitet).

Nøkkelformler

• $f$ kontinuerlig i $a$ : $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$
•Skjæringssetningen: $f$ kontinuerlig på $[a,b]$ og $f(a)f(b)\lt0$ gir $c\in(a,b)$ med $f(c)=0$
•L'Hôpital (bare ved $\tfrac00$ eller $\tfrac{\infty}{\infty}$ ): $\displaystyle \lim\frac{f}{g}=\lim\frac{f'}{g'}$
• $\sin x=x-\tfrac{x^3}{6}+O(x^5)$ , $\cos x=1-\tfrac{x^2}{2}+\tfrac{x^4}{24}+O(x^6)$
• $e^x=1+x+\tfrac{x^2}{2}+\tfrac{x^3}{6}+O(x^4)$ , $\ln(1+x)=x-\tfrac{x^2}{2}+\tfrac{x^3}{3}+O(x^4)$
• $\arctan x=x-\tfrac{x^3}{3}+O(x^5)$
• $\displaystyle \frac{d}{dx}\int_0^{u(x)}g(t)\,dt=g(u(x))\,u'(x)$
• $\lim_{n\to\infty}\left(1+\tfrac{a}{n}\right)^n=e^a$
• $\big||z|-|y|\big|\le|z-y|$

Vanlige feil

⚠️Å vise bare fortegnsskiftet når oppgaven sier «nøyaktig én løsning» — det gir bare «minst én»; entydighet krever monotoni.
⚠️Å bruke L'Hôpital på et uttrykk som ikke er $\tfrac00$ eller $\tfrac{\infty}{\infty}$ (for eksempel etter første runde).
⚠️Å ta med for få Taylor-ledd, slik at nevneren blir $0$ og grensen ikke kan leses av.
⚠️Å behandle $|x-a|$ som deriverbar overalt i stedet for å dele opp intervallet.
⚠️Å glemme faktoren $u'(x)$ når øvre grense i integralet er $u(x)$ og ikke $x$ .
⚠️Å skrive $1^\infty=1$ : formen er ubestemt, ta logaritmen.
⚠️Å velge $\delta$ som avhenger av $x$ i et ε–δ-bevis.

Eksamenstips

💡Grenser og kontinuitet var med i 23 av 26 sett 2013–2025 og i 7 av de 8 nyeste.
💡«Bestem konstanten slik at $f$ er kontinuerlig» kom i 4 av 26 sett, og kontinuitet (vis eller bestem) i 11 av 26 — skriv opp Maclaurin-rekkene fra formelarket og del med den laveste potensen.
💡«Nøyaktig én løsning» kom i 10 av 26 sett (3 av de 8 nyeste): skriv eksistens og entydighet som to adskilte trinn.
💡0/0-grenser står i minst 8 av 26 sett: sjekk formen skriftlig før hver L'Hôpital-runde.
💡I de 8 nyeste settene er 22 % av oppgavene bevis og 14 % forklar/drøft — øv på skviseteoremet, ε–δ og på å forklare hver likhet i et resonnement.

Laster...

Laster…