Generell vs. eksempelbasert begrunnelse

En eksempelbasert begrunnelse sjekker noen utvalgte tilfeller. Den kan overbevise og illustrere, men den beviser ikke en «alltid»-påstand, fordi den ikke dekker alle tall. En generell begrunnelse argumenterer for et vilkårlig (representativt) tilfelle, slik at konklusjonen automatisk gjelder for alle tall. På nasjonal deleksamen gir generell begrunnelse full uttelling, mens et godt eksempel typisk gir halv.

Definisjoner og representasjoner:

Partall: $2n$, der $n\in\mathbb{Z}$ (delelig med 2). Oddetall: $2n+1$. Tall delelig med 3: $3n$. Tosifret tall: $10t+e$ (tierfsiffer $t$, enersiffer $e$). Tresifret tall: $100h+10t+e$.

Bevisstrategi: Definer variabelen, skriv det vilkårlige tallet på riktig form, regn om, og faktoriser slik at egenskapen (f.eks. delelighet med 2) blir synlig.

Påstander om partall og oddetall

Skill mellom påstandstyper: «alltid» (allkvantor) krever generell begrunnelse; «noen» (eksistens) bevises med ett eksempel; en «alltid»-påstand avkreftes av ett moteksempel.

Eksempel 1: Bevis at produktet av to oddetall er et oddetall.

La oddetallene være $2a+1$ og $2b+1$, der $a,b\in\mathbb{Z}$.

$(2a+1)(2b+1)=4ab+2a+2b+1$

$=2(2ab+a+b)+1$

Dette er på formen $2k+1$, altså et oddetall. Gjelder for alle oddetall. $\square$

Sum av påfølgende tall og figurillustrasjon

Velg smart oppskriving. For tre påfølgende tall lønner det seg å la det midterste være $n$: $n-1,\,n,\,n+1$, slik at summen blir $3n$ direkte. Figurbevis er fullverdige generelle begrunnelser når strukturen (ikke antallet prikker) bærer argumentet.

Eksempel 2: Bevis at summen av tre påfølgende partall er delelig med 6.

La de tre påfølgende partallene være $2n,\ 2n+2,\ 2n+4$, der $n\in\mathbb{Z}$.

Sum: $2n+(2n+2)+(2n+4)=6n+6$

$=6(n+1)$

Dette er $6\cdot(\text{helt tall})$, altså delelig med 6. Kontroll: $4+6+8=18=6\cdot 3$. $\square$

Multiplikasjonsmønstre og arealmodell

$3\cdot n=2n+n$ begrunnes med et $3\times n$-rektangel delt i et $2\times n$- og et $1\times n$-rektangel – distributiv lov $(2+1)n=2n+n$. Kvadratsetningene vises med arealmodell: et kvadrat med side $a+b$ deles i $a^2$, $b^2$ og to $ab$-rektangler, som gir $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$. Konjugatsetningen $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ forklarer hoderegning som $19\cdot 21=20^2-1=399$.

Tall som slutter på 5, kvadrert: $(10a+5)^2=100a^2+100a+25=100a(a+1)+25$. De to siste sifrene blir alltid 25, fordi $100a(a+1)$ er delelig med 100.

Dekomponering i enere og tiere

Posisjonssystemet er nøkkelen til delelighets- og sifferbevis. Et tosifret tall er $10t+e$. Differansen til det sifferombyttede tallet $10e+t$ blir $9(t-e)$ – alltid delelig med 9. Sifferssummen avgjør delelighet med 3 fordi $10t+e=9t+(t+e)$.

Didaktiske poenger

Relasjonell forståelse av likhetstegnet (to uttrykk er like) er en forutsetning for å forstå identiteter som $2a+2b=2(a+b)$; en rent operasjonell forståelse («svaret kommer etter =») er en hindring. På tidlige trinn løses «tenk på et tall»-oppgaver med bar modeling – det ukjente tegnes som en boks – ikke med bokstavlikning. Når en elev generaliserer fra ett eksempel, stillasbygg ved å spørre «gjelder dette for ALLE tall?» og be eleven bytte det konkrete tallet med en boks/figur eller bokstav.

Studieguide: Generelle begrunnelser og bevis om talls egenskaper