1. Divisjon av brøk: beskrive vs. begrunne

Regelen «snu og gang» er $\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}$. Å beskrive regelen er operasjonelt; å begrunne den er relasjonelt og kreves for full uttelling. To gode begrunnelser: (1) Målingstolkning — divisjon spør «hvor mange ganger får divisor plass?»; (2) Invers-argument — å gange med $\frac{d}{c}$ virker fordi $\frac{c}{d}\cdot\frac{d}{c}=1$, så vi utvider den sammensatte brøken til nevner 1.

Brøkdivisjon: $\dfrac{a}{b}\div\dfrac{c}{d}=\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{d}{c}$ for $b,c,d\neq 0$. Måletolkning: «hvor mange $\frac{c}{d}$ i $\frac{a}{b}$?»

Eksempel: Per har $\frac{3}{4}$ L saft og glass på $\frac{1}{8}$ L. Hvor mange glass?

Måletolkning: hvor mange $\frac{1}{8}$ får plass i $\frac{3}{4}$?

$\frac{3}{4}=\frac{6}{8}$, altså 6 åttedeler

Algoritme: $\frac{3}{4}\div\frac{1}{8}=\frac{3}{4}\cdot\frac{8}{1}=\frac{24}{4}=6$ glass

2. Felles nevner og brøkers verdi

En brøk endrer ikke verdi når man utvider eller forkorter, fordi det tilsvarer å gange med 1 ($\frac{n}{n}=1$). For å addere/subtrahere trengs felles nevner — gjerne minste felles nevner (MFN = minste felles multiplum av nevnerne).

Ekvivalente brøker: $\dfrac{a}{b}=\dfrac{a\cdot k}{b\cdot k}$ for $k\neq 0$. Likhetstegnet leses relasjonelt: «like mye på begge sider».

Eksempel: Regn ut $\frac{3}{8}+\frac{5}{12}$.

$8=2^3,\ 12=2^2\cdot3\Rightarrow \text{MFN}=2^3\cdot3=24$

$\frac{3}{8}=\frac{9}{24},\quad \frac{5}{12}=\frac{10}{24}$

$\frac{9}{24}+\frac{10}{24}=\frac{19}{24}$

3. Potensregler via potensdefinisjonen

Potens er gjentatt multiplikasjon: $a^n=\underbrace{a\cdot a\cdots a}_{n}$. Alle potensreglene følger av dette. Sentral eksamensoppgave: vis $(a\cdot b)^n=a^n b^n$. Skriv ut $n$ faktorer av $(ab)$ og bruk at multiplikasjon er kommutativ/assosiativ for å samle $a$-ene og $b$-ene.

$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$, $\ \dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$, $\ (a^m)^n=a^{mn}$, $\ (ab)^n=a^n b^n$, $\ a^0=1$, $\ a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}$ (alle for $a\neq 0$).

Eksempel: Vis $(2\cdot3)^2=2^2\cdot 3^2$ fra definisjonen.

$(2\cdot3)^2=(2\cdot3)(2\cdot3)$

$=2\cdot2\cdot3\cdot3$ (kommutativ/assosiativ)

$=2^2\cdot3^2=4\cdot9=36$

4. Vanlige potensfeil hos elever

Klassikeren er $2\cdot 3^2$: mange elever skriver 36 fordi de tolker det som $(2\cdot3)^2$. Uten parentes gjelder eksponenten bare grunntallet 3, så $2\cdot3^2=2\cdot9=18$. Andre vanlige feil: $3^2\cdot3^4=3^8$ (ganger eksponentene i stedet for å addere), $(-3)^2$ forvekslet med $-3^2$, og $2^{-3}=-8$ i stedet for $\frac{1}{8}$.

Elevanalyse: En elev skriver $2\cdot 3^2=36$. Hva er misoppfatningen, og hvordan rette?

Eleven regner $(2\cdot3)^2=6^2=36$ — eksponenten oppfattes å gjelde hele $2\cdot 3$

Riktig: $2\cdot 3^2=2\cdot(3\cdot3)=2\cdot9=18$

Didaktisk grep: skriv ut faktorene og marker hva som er grunntall

5. Sammensatte brøkuttrykk

Forenkle teller og nevner hver for seg til enkeltbrøker, og bruk så «snu og gang». Variabler som $x$ forkortes når de står i både teller og nevner (oppgi forutsetning $x\neq 0$).

Eksempel: Forenkle $\dfrac{\frac{3}{4}-\frac{1}{6}}{\frac{2}{3}}$.

Teller: $\frac{3}{4}-\frac{1}{6}=\frac{9}{12}-\frac{2}{12}=\frac{7}{12}$

$\frac{7}{12}\div\frac{2}{3}=\frac{7}{12}\cdot\frac{3}{2}=\frac{21}{24}$

$=\frac{7}{8}$

6. Prosent med riktig grunnlag

Prosent er en brøk med nevner 100. Den vanligste feilen er feil grunnlag. Prosentvis endring regnes ALLTID av utgangsverdien, og sammensatte endringer regnes multiplikativt med vekstfaktorer — de kan ikke legges sammen.

Prosentvis endring $=\dfrac{\text{ny}-\text{gammel}}{\text{gammel}}\cdot100\%$. Vekstfaktor: $+p\%\Rightarrow(1+\frac{p}{100})$, $-p\%\Rightarrow(1-\frac{p}{100})$.

Eksempel: En genser koster 600 kr, settes ned 25 %, så 20 % av ny pris.

Etter første: $600\cdot0{,}75=450$ kr

Etter andre: $450\cdot0{,}80=360$ kr

Merk: $25\%+20\%=45\%$ er FEIL (gir 330 kr) — ulike grunnlag

Studieguide: Brøk, potenser og prosent (særlig GLU 5–10)

Studieguide: Brøk, potenser og prosent (særlig GLU 5–10)