eksamenssett
.no
Tren målrettet
Ungdomsskole/VGS
Høyskole
Ressurser
Privatundervisning
Kontakt
eksamenssett
.no
Tren målrettet
Ungdomsskole/VGS
Høyskole
Ressurser
Privatundervisning
Kontakt
eksamenssett
.no
Tren målrettet
Ungdomsskole/VGS
Høyskole
Ressurser
Privatundervisning
Kontakt
MET1
Cheat Sheet
Formler, begreper og oppsummering
Matematikk for økonomer
eksamenssett.no
Formler
Derivasjon
•
(
x
n
)
′
=
n
x
n
−
1
(x^n)' = nx^{n-1}
(
x
n
)
′
=
n
x
n
−
1
•
(
e
k
x
)
′
=
k
e
k
x
(e^{kx})' = ke^{kx}
(
e
k
x
)
′
=
k
e
k
x
Nøkkelformler per tema
Algebra og funksjoner
•
x
=
−
b
±
b
2
−
4
a
c
2
a
\displaystyle x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
x
=
2
a
−
b
±
b
2
−
4
a
c
Vanlige feil å unngå
Algebra og funksjoner
•
Glemmer å snu ulikhetstegnet ved multiplikasjon med negativt tall
•
Forveksler
ln
(
a
+
b
)
\ln(a+b)
ln
(
a
+
b
)
med
ln
a
+
ln
b
\ln a + \ln b
ln
a
+
ln
b
— logaritmen av en sum kan IKKE forenkles
•
Deler på
x
x
x
uten å sjekke om
x
=
0
x = 0
x
=
0
er en løsning
Eksamenstips
Algebra og funksjoner
•
Sjekk alltid svaret ved å sette inn i opprinnelig likning
•
Forenkling av uttrykk er ofte nødvendig FØR du deriverer eller integrerer
•
Bruk faktorisering for å løse ulikheter med fortegnslinje
•
Behersk logaritmereglene — de dukker opp i nesten alle temaer
Derivasjon
•
Skriv alltid opp hvilken regel du bruker — gir delpoeng
•
Forenkle uttrykket FØR du deriverer der det er mulig
•
Tolkning i økonomisk kontekst gir ekstra poeng på eksamen
•
Øv spesielt på kjerneregelen kombinert med produktregelen
Optimering
•
Vis alltid andreordensbetingelsen — selv om den virker opplagt
•
Husk at optimal mengde kan være et desimaltall — avrund til nærmeste heltall hvis det gir mening i konteksten
•
Forklar økonomisk hva svaret betyr (f.eks. «optimal produksjonsmengde er 13 enheter»)
•
Tegn gjerne en skisse av profittfunksjonen for å underbygge svaret
Integrasjon
•
(
ln
x
)
′
=
1
x
\displaystyle (\ln x)' = \frac{1}{x}
(
ln
x
)
′
=
x
1
•
(
f
g
)
′
=
f
′
g
+
f
g
′
(fg)' = f'g + fg'
(
f
g
)
′
=
f
′
g
+
f
g
′
•
(
f
g
)
′
=
f
′
g
−
f
g
′
g
2
\displaystyle \left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}
(
g
f
)
′
=
g
2
f
′
g
−
f
g
′
•
(
f
(
g
(
x
)
)
)
′
=
f
′
(
g
(
x
)
)
⋅
g
′
(
x
)
(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)
(
f
(
g
(
x
))
)
′
=
f
′
(
g
(
x
))
⋅
g
′
(
x
)
Integrasjon
•
∫
x
n
d
x
=
x
n
+
1
n
+
1
+
C
\displaystyle \int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C
∫
x
n
d
x
=
n
+
1
x
n
+
1
+
C
•
∫
1
x
d
x
=
ln
∣
x
∣
+
C
\displaystyle \int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C
∫
x
1
d
x
=
ln
∣
x
∣
+
C
•
∫
e
k
x
d
x
=
1
k
e
k
x
+
C
\displaystyle \int e^{kx}\,dx = \frac{1}{k}e^{kx} + C
∫
e
k
x
d
x
=
k
1
e
k
x
+
C
•
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
F
(
b
)
−
F
(
a
)
\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
F
(
b
)
−
F
(
a
)
Finansmatematikk
•
F
V
=
P
V
(
1
+
r
)
t
FV = PV(1+r)^t
F
V
=
P
V
(
1
+
r
)
t
•
P
V
=
F
V
(
1
+
r
)
t
\displaystyle PV = \frac{FV}{(1+r)^t}
P
V
=
(
1
+
r
)
t
F
V
•
P
V
annuitet
=
a
⋅
1
−
(
1
+
r
)
−
n
r
\displaystyle PV_{\text{annuitet}} = a \cdot \frac{1-(1+r)^{-n}}{r}
P
V
annuitet
=
a
⋅
r
1
−
(
1
+
r
)
−
n
•
N
P
V
=
−
I
0
+
∑
C
F
t
(
1
+
r
)
t
\displaystyle NPV = -I_0 + \sum \frac{CF_t}{(1+r)^t}
NP
V
=
−
I
0
+
∑
(
1
+
r
)
t
C
F
t
•
P
V
perpetuity
=
C
F
r
\displaystyle PV_{\text{perpetuity}} = \frac{CF}{r}
P
V
perpetuity
=
r
CF
Differensiallikninger
•
y
′
+
a
y
=
b
⇒
y
(
t
)
=
C
e
−
a
t
+
b
a
\displaystyle y' + ay = b \Rightarrow y(t) = Ce^{-at} + \frac{b}{a}
y
′
+
a
y
=
b
⇒
y
(
t
)
=
C
e
−
a
t
+
a
b
•
y
′
=
k
y
⇒
y
(
t
)
=
y
0
e
k
t
y' = ky \Rightarrow y(t) = y_0 e^{kt}
y
′
=
k
y
⇒
y
(
t
)
=
y
0
e
k
t
•
Likevekt
y
∗
=
b
a
\displaystyle y^* = \frac{b}{a}
y
∗
=
a
b
, stabil når
a
>
0
a > 0
a
>
0
Rekker
•
S
n
=
a
⋅
1
−
r
n
1
−
r
\displaystyle S_n = a \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r}
S
n
=
a
⋅
1
−
r
1
−
r
n
•
S
=
a
1
−
r
\displaystyle S = \frac{a}{1 - r}
S
=
1
−
r
a
(uendelig,
∣
r
∣
<
1
|r| < 1
∣
r
∣
<
1
)
•
P
V
=
C
F
r
−
g
\displaystyle PV = \frac{CF}{r - g}
P
V
=
r
−
g
CF
(Gordon)
•
ln
(
a
b
)
=
ln
a
+
ln
b
\ln(ab) = \ln a + \ln b
ln
(
ab
)
=
ln
a
+
ln
b
•
ln
(
a
r
)
=
r
ln
a
\ln(a^r) = r \ln a
ln
(
a
r
)
=
r
ln
a
•
e
ln
a
=
a
e^{\ln a} = a
e
l
n
a
=
a
•
(
a
+
b
)
2
=
a
2
+
2
a
b
+
b
2
(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
(
a
+
b
)
2
=
a
2
+
2
ab
+
b
2
•
a
m
⋅
a
n
=
a
m
+
n
a^m \cdot a^n = a^{m+n}
a
m
⋅
a
n
=
a
m
+
n
Derivasjon
•
ε
=
d
Q
d
p
⋅
p
Q
\displaystyle \varepsilon = \frac{dQ}{dp} \cdot \frac{p}{Q}
ε
=
d
p
d
Q
⋅
Q
p
Optimering
•
π
(
x
)
=
R
(
x
)
−
C
(
x
)
\pi(x) = R(x) - C(x)
π
(
x
)
=
R
(
x
)
−
C
(
x
)
•
M
R
=
M
C
MR = MC
MR
=
MC
(profittmaksimering)
•
A
C
(
x
)
=
C
(
x
)
x
\displaystyle AC(x) = \frac{C(x)}{x}
A
C
(
x
)
=
x
C
(
x
)
•
A
C
=
M
C
AC = MC
A
C
=
MC
(minimert gjennomsnittskostnad)
•
f
′
(
x
)
=
0
f'(x) = 0
f
′
(
x
)
=
0
(nødvendig betingelse)
•
f
′
′
(
x
)
<
0
⇒
f''(x) < 0 \Rightarrow
f
′′
(
x
)
<
0
⇒
maksimum,
f
′
′
(
x
)
>
0
⇒
f''(x) > 0 \Rightarrow
f
′′
(
x
)
>
0
⇒
minimum
Integrasjon
•
K
O
=
∫
0
x
∗
p
(
x
)
d
x
−
p
∗
⋅
x
∗
\displaystyle KO = \int_0^{x^*} p(x)\,dx - p^* \cdot x^*
K
O
=
∫
0
x
∗
p
(
x
)
d
x
−
p
∗
⋅
x
∗
•
P
O
=
p
∗
⋅
x
∗
−
∫
0
x
∗
M
C
(
x
)
d
x
\displaystyle PO = p^* \cdot x^* - \int_0^{x^*} MC(x)\,dx
PO
=
p
∗
⋅
x
∗
−
∫
0
x
∗
MC
(
x
)
d
x
Finansmatematikk
•
F
V
=
P
V
⋅
(
1
+
r
)
t
FV = PV \cdot (1+r)^t
F
V
=
P
V
⋅
(
1
+
r
)
t
•
r
eff
=
(
1
+
r
nom
m
)
m
−
1
\displaystyle r_{\text{eff}} = \left(1 + \frac{r_{\text{nom}}}{m}\right)^m - 1
r
eff
=
(
1
+
m
r
nom
)
m
−
1
•
P
V
annuitet
=
a
⋅
1
−
(
1
+
r
)
−
n
r
\displaystyle PV_{\text{annuitet}} = a \cdot \frac{1 - (1+r)^{-n}}{r}
P
V
annuitet
=
a
⋅
r
1
−
(
1
+
r
)
−
n
•
N
P
V
=
−
I
0
+
∑
t
=
1
n
C
F
t
(
1
+
r
)
t
\displaystyle NPV = -I_0 + \sum_{t=1}^{n} \frac{CF_t}{(1+r)^t}
NP
V
=
−
I
0
+
t
=
1
∑
n
(
1
+
r
)
t
C
F
t
•
F
V
=
P
V
⋅
e
r
t
FV = PV \cdot e^{rt}
F
V
=
P
V
⋅
e
r
t
(kontinuerlig)
Flervariabelanalyse
•
f
x
=
∂
f
∂
x
\displaystyle f_x = \frac{\partial f}{\partial x}
f
x
=
∂
x
∂
f
(partiell derivert)
•
D
=
f
x
x
f
y
y
−
(
f
x
y
)
2
D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2
D
=
f
xx
f
yy
−
(
f
x
y
)
2
(Hesse-determinant)
•
Q
=
A
K
α
L
β
Q = AK^\alpha L^\beta
Q
=
A
K
α
L
β
(Cobb-Douglas)
•
∂
Q
∂
K
=
A
α
K
α
−
1
L
β
\displaystyle \frac{\partial Q}{\partial K} = A\alpha K^{\alpha-1} L^\beta
∂
K
∂
Q
=
A
α
K
α
−
1
L
β
•
D
>
0
,
f
x
x
<
0
⇒
D > 0, f_{xx} < 0 \Rightarrow
D
>
0
,
f
xx
<
0
⇒
maks;
D
>
0
,
f
x
x
>
0
⇒
D > 0, f_{xx} > 0 \Rightarrow
D
>
0
,
f
xx
>
0
⇒
min
Lagrange-optimering
•
L
(
x
,
y
,
λ
)
=
f
(
x
,
y
)
−
λ
(
g
(
x
,
y
)
−
c
)
\mathcal{L}(x, y, \lambda) = f(x, y) - \lambda(g(x, y) - c)
L
(
x
,
y
,
λ
)
=
f
(
x
,
y
)
−
λ
(
g
(
x
,
y
)
−
c
)
•
f
x
=
λ
g
x
f_x = \lambda g_x
f
x
=
λ
g
x
•
f
y
=
λ
g
y
f_y = \lambda g_y
f
y
=
λ
g
y
•
g
(
x
,
y
)
=
c
g(x, y) = c
g
(
x
,
y
)
=
c
(bibetingelsen)
•
λ
\lambda
λ
= skyggepris
•
M
U
x
p
x
=
M
U
y
p
y
\displaystyle \frac{MU_x}{p_x} = \frac{MU_y}{p_y}
p
x
M
U
x
=
p
y
M
U
y
(nyttemaksimering)
Differensiallikninger
•
d
y
d
t
=
k
y
⇒
y
(
t
)
=
y
0
e
k
t
\displaystyle \frac{dy}{dt} = ky \Rightarrow y(t) = y_0 e^{kt}
d
t
d
y
=
k
y
⇒
y
(
t
)
=
y
0
e
k
t
•
y
∗
=
b
a
\displaystyle y^* = \frac{b}{a}
y
∗
=
a
b
(likevekt)
•
Stabil likevekt når
a
>
0
a > 0
a
>
0
(koeffisienten foran
y
y
y
er positiv)
•
t
1
/
2
=
ln
2
k
\displaystyle t_{1/2} = \frac{\ln 2}{k}
t
1/2
=
k
ln
2
(halveringstid)
Rekker og konvergens
•
P
V
=
C
F
r
\displaystyle PV = \frac{CF}{r}
P
V
=
r
CF
(perpetuity)
•
P
V
=
C
F
r
−
g
\displaystyle PV = \frac{CF}{r - g}
P
V
=
r
−
g
CF
(voksende perpetuity)
•
f
(
x
)
≈
∑
k
=
0
n
f
(
k
)
(
a
)
k
!
(
x
−
a
)
k
\displaystyle f(x) \approx \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k
f
(
x
)
≈
k
=
0
∑
n
k
!
f
(
k
)
(
a
)
(
x
−
a
)
k
(Taylor)
•
e
x
=
∑
n
=
0
∞
x
n
n
!
\displaystyle e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}
e
x
=
n
=
0
∑
∞
n
!
x
n
•
Bruker potensregler feil:
(
a
+
b
)
2
≠
a
2
+
b
2
(a+b)^2 \neq a^2 + b^2
(
a
+
b
)
2
=
a
2
+
b
2
Derivasjon
•
Glemmer kjerneregelen —
(
e
2
x
)
′
=
2
e
2
x
(e^{2x})' = 2e^{2x}
(
e
2
x
)
′
=
2
e
2
x
, ikke
e
2
x
e^{2x}
e
2
x
•
Forveksler produktregelen og kjerneregelen
•
Glemmer å sjekke andrederivert for å klassifisere stasjonære punkter
•
Feil fortegn i kvotientregelen — det er
f
′
g
−
f
g
′
f'g - fg'
f
′
g
−
f
g
′
, ikke omvendt
Optimering
•
Glemmer å sjekke andreordensbetingelsen (
f
′
′
f''
f
′′
)
•
Glemmer å sjekke randverdier på et lukket intervall
•
Forveksler totalinntekt
R
(
x
)
=
p
⋅
x
R(x) = p \cdot x
R
(
x
)
=
p
⋅
x
med pris
p
(
x
)
p(x)
p
(
x
)
•
Setter
R
′
(
x
)
=
0
R'(x) = 0
R
′
(
x
)
=
0
i stedet for
π
′
(
x
)
=
0
\pi'(x) = 0
π
′
(
x
)
=
0
ved profittmaksimering
Integrasjon
•
Glemmer integrasjonskonstanten
C
C
C
i ubestemte integraler
•
Bruker feil fortegn i eksponentialintegralet:
∫
e
−
x
d
x
=
−
e
−
x
+
C
\displaystyle \int e^{-x}dx = -e^{-x} + C
∫
e
−
x
d
x
=
−
e
−
x
+
C
, ikke
e
−
x
e^{-x}
e
−
x
•
Glemmer at arealet under
x
x
x
-aksen blir negativt — ta absoluttverdien
•
Forveksler øvre og nedre grense i det bestemte integralet
Finansmatematikk
•
Forveksler nominell og effektiv rente — bruk alltid effektiv rente i nåverdiberegninger
•
Glemmer at annuitetsformelen forutsetter at første betaling kommer om én periode
•
Bruker feil fortegn på initialinvesteringen i NPV-beregningen
•
Feil antall perioder — teller fra 0 i stedet for 1
Flervariabelanalyse
•
Glemmer å holde den andre variabelen konstant ved partiell derivasjon
•
Forveksler
D
>
0
D > 0
D
>
0
og
D
<
0
D < 0
D
<
0
i klassifiseringen
•
Glemmer å sjekke BEGGE betingelser:
D
>
0
D > 0
D
>
0
OG fortegnet til
f
x
x
f_{xx}
f
xx
•
Feil i kryss-deriverte:
f
x
y
f_{xy}
f
x
y
betyr «deriver først m.h.p.
x
x
x
, deretter
y
y
y
»
Lagrange-optimering
•
Feil fortegn i Lagrange-funksjonen — det skal være minus foran
λ
\lambda
λ
•
Glemmer å bruke bibetingelsen (tredje likning) for å finne tallverdier
•
Forveksler Lagrange-metode med fri optimering — sjekk om det er en bibetingelse
•
Glemmer å tolke
λ
\lambda
λ
— det er nesten alltid et delspørsmål
Differensiallikninger
•
Glemmer integrasjonskonstanten og dermed initialbetingelsen
•
Forveksler fortegn —
y
′
+
a
y
=
b
y' + ay = b
y
′
+
a
y
=
b
vs.
y
′
−
a
y
=
b
y' - ay = b
y
′
−
a
y
=
b
gir helt ulik oppførsel
•
Glemmer å sjekke stabilitet — er likevekten stabil eller ustabil?
•
Blander separable og lineære metoder
Rekker og konvergens
•
Bruker formelen for uendelig rekke når
∣
r
∣
≥
1
|r| \geq 1
∣
r
∣
≥
1
— rekken konvergerer IKKE da
•
Glemmer at Gordon-modellen krever
r
>
g
r > g
r
>
g
•
Forveksler
r
r
r
(kvotient i rekke) med
r
r
r
(rente) — vær tydelig på notasjon
•
Feil i antall ledd i en endelig geometrisk rekke
•
Sjekk alltid svaret ved å derivere — du skal få tilbake integranden
•
Husk å bestemme konstanten
C
C
C
fra initialbetingelser (f.eks. faste kostnader)
•
Konsumentoverskudd er et veldig vanlig eksamenstema — øv mye på dette
•
Ved substitusjon: husk å bytte tilbake til
x
x
x
til slutt
Finansmatematikk
•
Tegn en tidslinje for kontantstrømmene — det hjelper enormt
•
Oppgi alltid om du bruker nominell eller effektiv rente
•
Ved kontinuerlig forrentning brukes
e
r
t
e^{rt}
e
r
t
i stedet for
(
1
+
r
)
t
(1+r)^t
(
1
+
r
)
t
•
NPV-oppgaver er svært vanlige — øv til du kan dem i søvne
•
Husk enheter — rente i desimalform (0,08) ikke prosent (8)
Flervariabelanalyse
•
Sett opp Hesse-matrisen eksplisitt — det viser at du behersker metoden
•
Cobb-Douglas er den vanligste funksjonstypen på eksamen
•
Øv på partiell derivasjon til det sitter automatisk
•
Tolkning av marginalproduktene er vanlig — forklar hva tallene betyr
Lagrange-optimering
•
Skriv alltid opp Lagrange-funksjonen eksplisitt
•
Eliminer
λ
\lambda
λ
ved å dele de to første likningene på hverandre
•
Tolkning av
λ
\lambda
λ
er et vanlig delspørsmål — øv på formuleringen
•
Cobb-Douglas-funksjoner med budsjettbetingelse er det vanligste oppgaveformatet
•
Sjekk at løsningen oppfyller bibetingelsen
Differensiallikninger
•
Identifiser først TYPE differensiallikning — separabel eller lineær
•
Tegn gjerne løsningskurven for å illustrere dynamikken
•
Tolkning av likevekt og stabilitet er viktig — forklar med ord
•
Øv på å sette opp differensiallikninger fra verbale beskrivelser
•
Sjekk løsningen ved å sette inn i den opprinnelige DL
Rekker og konvergens
•
Gjenkjenn geometriske rekker i forkledd form — annuitetsformelen ER en geometrisk rekke
•
Vis alltid at konvergensbetingelsen er oppfylt (
∣
r
∣
<
1
|r| < 1
∣
r
∣
<
1
eller
r
>
g
r > g
r
>
g
)
•
Taylor-tilnærminger er nyttige for å forenkle kompliserte uttrykk
•
Øv på å oversette mellom finansielle begreper og rekkeformler
•
Perpetuity-oppgaver er vanlige og gir raske poeng