Oversikt

ANOVA (Analysis of Variance) brukes til a teste om gjennomsnittene i tre eller flere grupper er like. Pa MET 2920-eksamen har ANOVA i ren form ikke vaert et hovedtema, men prinsippet bygger pa samme logikk som t-test for to gjennomsnitt -- bare utvidet til flere grupper.

Grunnprinsippet

Vi deler den totale variasjonen i dataene i to deler:

$$SST = SSB + SSW$$

$SST$ = Total variasjon (Sum of Squares Total)
$SSB$ = Variasjon mellom gruppene (Between)
$SSW$ = Variasjon innad i gruppene (Within)

Tanken: Hvis gjennomsnittene er like, vil mesteparten av variasjonen vaere innad i gruppene. Hvis gjennomsnittene er ulike, vil det vaere mye variasjon mellom gruppene.

Hypoteser

$$H_0: \mu_1 = \mu_2 = \cdots = \mu_k$$

$$H_A: \text{Minst to gjennomsnitt er ulike}$$

F-testobservator

$$F = \frac{MSB}{MSW} = \frac{SSB/(k-1)}{SSW/(n-k)}$$

der $k$ er antall grupper og $n$ er totalt antall observasjoner.

Forkast $H_0$ hvis $F > F_{\alpha, k-1, n-k}$.

Praktisk relevans pa eksamen

Pa MET 2920-eksamen dukker gruppesammenligninger opp regelmessig, men med to grupper (t-test). Prinsippet er det samme: vi sammenligner gjennomsnitt mellom grupper. Nar du har to grupper, er F-testen ekvivalent med en tosidig t-test ($F = t^2$).

F-statistikken dukker ogsa opp i R-utskriften for regresjon, der den tester om regresjonsmodellen totalt sett har forklaringskraft (dvs. om $R^2 > 0$).

Eksempel 1: F-statistikk i R-utskrift (H2025)

Oppgave: Fra R-utskriften:

F-statistic: 0.3333 on 1 and 1 DF, p-value: 0.6667

Tolkning: F-testen tester om regresjonsmodellen som helhet har forklaringskraft, dvs. $H_0: \beta_1 = 0$. Med p-verdi = 0.6667 forkaster vi IKKE $H_0$. Modellen har ingen signifikant forklaringskraft.

Merk: Med kun en forklaringsvariabel er F-testens p-verdi identisk med den tosidige p-verdien for $\beta_1$ (her 0.667).

Kilde: Eksamen H2025, Oppgave 4f

Eksempel 2: To grupper -- ekvivalens med t-test (H2024)

Oppgave: Sammenligne gjennomsnittlig prom for leiligheter bygget for/etter 1920:

	For/i 1920	Etter 1920
Gjennomsnitt	104.6	72.5
Standardavvik	54.6	48.9
Antall	113	78

$H_0: \mu_1 = \mu_2$, $H_A: \mu_1 \neq \mu_2$ (tosidig)

$$t = \frac{104.6 - 72.5}{\sqrt{\frac{54.6^2}{113} + \frac{48.9^2}{78}}} = \frac{32.1}{\sqrt{26.37 + 30.66}} = \frac{32.1}{7.553} = 4.25$$

$df = \min(112, 77) = 77$. Kritisk verdi: $t^*_{0.005} = 2.64$ (99% KI)

Siden $|4.25| > 2.64$ forkaster vi $H_0$ pa 1% signifikansniva.

Tolkning: Det er en statistisk signifikant forskjell pa gjennomsnittlig prom mellom leiligheter bygget for/i 1920 og leiligheter bygget etter 1920.

Kilde: Eksamen H2024, Oppgave 2d-f

Eksempel 3: Sammenhengen mellom gruppetest og ANOVA

Oppgave (V2025): Selveierleiligheter med balkong har gjennomsnittlig TotalSalgspris 11 745 070 kr (s=5 806 306, n=116) vs. uten balkong: 8 245 689 kr (s=6 688 699, n=75). Test om leiligheter med balkong er dyrere.

$H_0: \mu_1 = \mu_2$, $H_A: \mu_1 > \mu_2$ (ensidig ovre)

$$SE = \sqrt{\frac{5806306^2}{116} + \frac{6688699^2}{75}} = \sqrt{\frac{3.37 \times 10^{13}}{116} + \frac{4.47 \times 10^{13}}{75}}$$

$$= \sqrt{2.903 \times 10^{11} + 5.964 \times 10^{11}} = \sqrt{8.867 \times 10^{11}} = 941 648$$

$$t = \frac{11745070 - 8245689}{941648} = \frac{3499381}{941648} = 3.716$$

$df = \min(115, 74) = 74$. P-verdi $\approx 0.0002$.

Forkast $H_0$ pa 7% (og mye lavere) signifikansniva.

Men vaar: Oppgaven fortsetter med a advare om at denne konklusjonen kan vaere misvisende. Leiligheter med balkong er i gjennomsnitt storre, og storrelse er den egentlige driveren av pris. Balkong er en konfunderende variabel!

Kilde: Eksamen V2025, Oppgave 3d-g

Sentralgrenseteoremet (SGT) som fundament

Hele inferensapparatet (KI, t-test, z-test) forutsetter at utvalgsgjennomsnittet er tilnaermet normalfordelt. Sentralgrenseteoremet sikrer dette for store nok utvalg:

For store $n$ vil $\bar{X} \sim N(\mu, \sigma/\sqrt{n})$ tilnaermet, uavhengig av fordelingen til $X$.

Nar $\sigma$ er ukjent og vi bruker $s$ i stedet, blir $T = \frac{\bar{X} - \mu}{s/\sqrt{n}}$ t-fordelt med $df = n-1$. Denne t-fordelingen har tyngre haler enn normalfordelingen (storre usikkerhet), men narmer seg $N(0,1)$ nar $n \to \infty$.

Pa eksamen H2024 (Oppgave 1) var det flervalgsoppgaver om SGT og t-fordeling -- typisk 2-3 poeng.

Studieguide: Variansanalyse (ANOVA)

Studieguide: Variansanalyse (ANOVA)