Oversikt

Korrelasjon og kovarians maler samvariasjon mellom to variabler. På MET 2920-eksamen beregnes de både for hand (fra data) og leses av R-utskrifter.

Utvalgskovarians

$$s_{xy} = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})$$

Kovariansen har enheter (produkt av X- og Y-enhetene) og forteller retningen på sammenhengen:

$s_{xy} > 0$: positiv samvariasjon (når X øker, øker Y)
$s_{xy} < 0$: negativ samvariasjon (når X øker, synker Y)
$s_{xy} = 0$: ingen linear samvariasjon

Utvalgskorrelasjon

$$r_{xy} = \frac{s_{xy}}{s_x \cdot s_y}$$

Korrelasjonen er dimensjonslos og ligger alltid mellom -1 og 1:

$r = 1$: perfekt positiv linear sammenheng
$r = -1$: perfekt negativ linear sammenheng
$r = 0$: ingen linear sammenheng (kan fortsatt vare ikke-linear sammenheng!)

Sammenheng med regresjon

$$\hat{\beta}_1 = r_{xy} \cdot \frac{s_y}{s_x} = \frac{s_{xy}}{s_x^2}$$

$$R^2 = r_{xy}^2$$

Dermed: $r_{xy} = \pm\sqrt{R^2}$, der fortegnet er det samme som $\hat{\beta}_1$.

Eksempel 1: Beregne kovarians og korrelasjon for hand (H2025)

Oppgave: Datapunktene (1,1), (2,3), (3,2). Beregn utvalgskovariansen og utvalgskorrelasjonen.

$\bar{x} = 2$, $\bar{y} = 2$

$$s_{xy} = \frac{1}{2}[(1-2)(1-2) + (2-2)(3-2) + (3-2)(2-2)]$$

$$= \frac{1}{2}[1 + 0 + 0] = 0.5$$

$$s_x^2 = \frac{1}{2}[(1-2)^2 + (2-2)^2 + (3-2)^2] = 1 \Rightarrow s_x = 1$$

$$s_y^2 = \frac{1}{2}[(1-2)^2 + (3-2)^2 + (2-2)^2] = 1 \Rightarrow s_y = 1$$

$$r_{xy} = \frac{0.5}{1 \cdot 1} = 0.5$$

Kontroll: Fra R-utskriften er $R^2 = 0.25$, og $\sqrt{0.25} = 0.5 = r_{xy}$. Stemmer!

Kilde: Eksamen H2025, Oppgave 4c-d

Eksempel 2: Finne korrelasjon fra R-utskrift (H2024, V2025)

Oppgave: Regresjonsutskrift viser: Multiple R-squared: 0.8449, og $\hat{\beta}_1 = 107552$ (positiv).

$$r = +\sqrt{0.8449} = +0.9192$$

Vi bruker positivt fortegn fordi $\hat{\beta}_1 > 0$.

Kilde: Eksamen H2024 / V2025, Oppgave 5

Eksempel 3: Korrelasjon for diskrete tilfeldige variabler (H2023)

Oppgave: Fra simultanfordelingen fant vi $\text{Cov}(X,Y) = -0.15$, $\text{Var}(X) = 0.80$, $\text{Var}(Y) = 0.24$. Finn $\text{Cor}(X,Y)$.

$$\rho_{XY} = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sigma_X \cdot \sigma_Y} = \frac{-0.15}{\sqrt{0.80} \cdot \sqrt{0.24}} = \frac{-0.15}{0.8944 \cdot 0.4899} = \frac{-0.15}{0.4382} = -0.342$$

Moderat negativ korrelasjon: når $X$ øker, tenderer $Y$ til å synke.

Kilde: Eksamen H2023, Oppgave 1f

Viktige tolkningsnyanser

Korrelasjon maler bare linear sammenheng. To variabler kan ha en sterk ikke-linear sammenheng (f.eks. kvadratisk) og likevel ha korrelasjon naer 0. Når eksamen spor om 'sammenhengen mellom X og Y', tenk på om det er en linear trend.

Korrelasjon er symmetrisk: $r_{xy} = r_{yx}$. Det spiller ingen rolle hvilken variabel som er 'forklarende' og hvilken som er 'respons' -- korrelasjonen er den samme. Derimot er regresjonskoeffisienten $\hat{\beta}_1$ IKKE symmetrisk.

Tommelfingerregler for styrke:

$|r| < 0.3$: svak
$0.3 \le |r| < 0.7$: moderat
$|r| \ge 0.7$: sterk

På eksamen H2024 hadde regresjonen Prom på Byggeår $R^2 = 0.057$, dvs. $r = -0.24$ -- en svak sammenheng. Regresjonen TotalSalgspris på Prom hadde $R^2 = 0.845$, dvs. $r = 0.92$ -- en sterk sammenheng. Slike sammenligninger er viktige i tolkningen.

Studieguide: Korrelasjon