Oversikt

Kji-kvadrat-testen brukes nar begge variablene er kategoriske (kvalitative). Den tester om det er en sammenheng mellom variablene (uavhengighetstest) eller om fordelingen folger angitte sannsynligheter (goodness-of-fit).

Test for uavhengighet (krysstabell)

Gitt en krysstabell med $r$ rader og $k$ kolonner:

$$H_0: \text{Variablene er uavhengige}$$

$$H_A: \text{Variablene er ikke uavhengige}$$

Forventede verdier:

$$\text{Forv}_{ij} = \frac{(\text{sum rad } i) \cdot (\text{sum kolonne } j)}{\text{totalsum}}$$

Testobservator:

$$\chi^2 = \sum_{\text{alle celler}} \frac{(\text{observert} - \text{forventet})^2}{\text{forventet}}$$

Frihetsgrader: $df = (r-1)(k-1)$

Forkast $H_0$ dersom $\chi^2 > \chi^2_\alpha$ (kritisk verdi fra tabellen).

Test for sannsynligheter (goodness-of-fit)

$m$ kategorier med $n$ observasjoner:

$$\chi^2 = \sum_{i=1}^{m} \frac{(\text{obs}_i - n \cdot p_i)^2}{n \cdot p_i}, \quad df = m - 1$$

Eksempel 1: Kji-kvadrat uavhengighetstest (H2023)

Oppgave: Test om MorVGS og MorArbeid er uavhengige. Gitt krysstabell med observerte og forventede verdier (i parentes):

	MorArbeid=1	MorArbeid=2	MorArbeid=3	MorArbeid=4	Sum
MorVGS=0	33 (16.5)	23 (20.6)	11 (12)	26 (43.9)	93
MorVGS=1	44 (60.5)	73 (75.4)	45 (44)	179 (161.1)	341
Sum	77	96	56	205	434

Sjekk forventet verdi: $\text{Forv}(1,1) = \frac{93 \cdot 77}{434} = 16.5$ $\checkmark$

$$\chi^2 = \frac{(33-16.5)^2}{16.5} + \frac{(23-20.6)^2}{20.6} + \frac{(11-12)^2}{12} + \frac{(26-43.9)^2}{43.9}$$

$$+ \frac{(44-60.5)^2}{60.5} + \frac{(73-75.4)^2}{75.4} + \frac{(45-44)^2}{44} + \frac{(179-161.1)^2}{161.1}$$

$$= 16.50 + 0.28 + 0.08 + 7.30 + 4.50 + 0.076 + 0.023 + 1.99 = 30.75$$

$df = (2-1)(4-1) = 3$. Kritisk verdi pa 1%: $\chi^2_{0.01, 3} = 11.34$

Siden $30.75 > 11.34$ forkaster vi $H_0$.

Konklusjon: Pa 1% signifikansniva er det en statistisk signifikant sammenheng mellom morens utdanningsniva (MorVGS) og morens arbeidssituasjon (MorArbeid) i det forste aret av barnets liv.

Kilde: Eksamen H2023, Oppgave 3

Eksempel 2: Beregne forventede verdier

Huskeregel: Forventet verdi i celle $(i,j)$ = (radsum $\times$ kolonnesum) / totalsum.

I eksempelet over: Forventet antall for MorVGS=1 og MorArbeid=2:

$$\text{Forv} = \frac{341 \cdot 96}{434} = \frac{32736}{434} = 75.4$$

Stemmer med oppgitt verdi i parentes.

Forutsetninger for kji-kvadrat-testen

For at kji-kvadrat-testen skal vaere gyldig, ma alle forventede verdier vaere minst 5. Hvis dette ikke er oppfylt, bor man sla sammen kategorier. Pa eksamen H2023 var denne forutsetningen oppfylt, og det ble eksplisitt spurt om det.

Tolkning av resultat

Nar vi forkaster $H_0$ i en uavhengighetstest, betyr det at variablene er statistisk assosierte. Men dette betyr ikke nodvendigvis arsakssammenheng. For a se hvordan variablene henger sammen, ma du se pa hvilke celler som bidrar mest til $\chi^2$-verdien -- det er der avviket mellom observert og forventet er storst.

I eksempelet over bidrar cellene MorVGS=0/MorArbeid=1 (16.50) og MorVGS=0/MorArbeid=4 (7.30) klart mest. Det betyr at modre uten VGS i mye storre grad enn forventet er i kategori 1 (arbeidet ikke) og i mye mindre grad enn forventet i kategori 4 (arbeidet fulltid).

Studieguide: Kji-kvadrat-test

Studieguide: Kji-kvadrat-test