Oversikt

MET 2920 bruker tre hovedfordelinger: binomisk (trekking med tilbakelegging), hypergeometrisk (trekking uten tilbakelegging) og normalfordeling (kontinuerlig klokkeformet). Pa eksamen er det svart vanlig a kombinere normalfordeling med binomisk -- forst finner du en sannsynlighet fra normalfordelingen, deretter bruker du den som $p$ i en binomisk fordeling.

Binomisk fordeling

Brukes nar vi har $n$ uavhengige forsok, hvert med sannsynlighet $p$ for suksess. Variabelen $X$ = antall suksesser.

$$P(X = x) = \binom{n}{x} p^x (1-p)^{n-x}$$

$$E(X) = np, \quad \text{Var}(X) = np(1-p)$$

Hypergeometrisk fordeling

Brukes nar vi trekker uten tilbakelegging fra en populasjon med $N$ objekter hvorav $K$ er gunstige. Vi trekker $n$ stykker.

$$P(X = k) = \frac{\binom{K}{k}\binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}$$

$$E(X) = n \cdot \frac{K}{N}, \quad \text{Var}(X) = n \cdot \frac{K}{N} \cdot \frac{N-K}{N} \cdot \frac{N-n}{N-1}$$

Tommelfingerregel: Binomisk = med tilbakelegging. Hypergeometrisk = uten tilbakelegging.

Normalfordeling

Hvis $X \sim N(\mu, \sigma)$, da er den standardiserte variabelen:

$$Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \sim N(0,1)$$

Alle sannsynligheter beregnes ved a standardisere og sla opp i Z-tabellen.

Gjennomsnitt av normalfordelte variabler:

Hvis $X_i \sim N(\mu, \sigma)$ uavhengige, da er:

$$\bar{X} = \frac{1}{n}\sum X_i \sim N\left(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$

Standardisering: $Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}$

Viktig: Forventningen er den samme, men standardavviket krymper med $\sqrt{n}$. Derfor er det lettere a fa et gjennomsnitt naer $\mu$ nar utvalget er stort.

Normalapproksimasjon til binomisk

Nar $n$ er stor og $np$ og $n(1-p)$ begge er over 5-10, kan vi approksimere:

$$X \sim \text{Bin}(n,p) \approx N(np, \sqrt{np(1-p)})$$

Dette brukes pa eksamen nar $n$ er for stor til a beregne binomisk direkte (f.eks. $n = 150$ eller $n = 350$).

Eksempel 1: Normalfordeling -- standardisering (H2025)

Oppgave: Resultat $\sim N(67.9, 10.5)$. Finn sannsynligheten for at en tilfeldig ansatt har resultat over 90.

Standardiser: $Z = \frac{90 - 67.9}{10.5} = \frac{22.1}{10.5} = 2.105$

$P(X > 90) = P(Z > 2.105) = 1 - P(Z \le 2.105)$

Fra Z-tabellen: $P(Z \le 2.10) \approx 0.9821$, slik at $P(Z \le 2.105) \approx 0.9824$

$P(X > 90) \approx 1 - 0.9824 = 0.0176$

Cirka 1.8% av de ansatte har resultat over 90.

Kilde: Eksamen H2025, Oppgave 1a

Eksempel 2: Gjennomsnitt av normalfordelte (H2025)

Oppgave: Resultat $\sim N(67.9, 10.5)$. Hva er sannsynligheten for at gjennomsnittet av 9 tilfeldig valgte ansatte er mindre enn 67.9?

$\bar{X} \sim N(67.9, \frac{10.5}{\sqrt{9}}) = N(67.9, 3.5)$

$P(\bar{X} < 67.9) = P\left(Z < \frac{67.9 - 67.9}{3.5}\right) = P(Z < 0) = 0.50$

Sannsynligheten er noyaktig 0.5 fordi 67.9 er forventningsverdien (symmetripunktet).

Kilde: Eksamen H2025, Oppgave 1d

Eksempel 3: Binomisk + normalfordeling kombinert (H2023/H2025)

Oppgave: Resultat $\sim N(67.9, 10.5)$. Vi trekker 7 tilfeldig ansatte. Finn sannsynligheten for at noyaktig 3 har resultat over 80.

Forst: $p = P(X > 80) = P\left(Z > \frac{80 - 67.9}{10.5}\right) = P(Z > 1.152) \approx 1 - 0.8753 = 0.1247$

La $Y$ = antall med resultat over 80 blant 7. $Y \sim \text{Bin}(7, 0.1247)$

$$P(Y = 3) = \binom{7}{3} \cdot 0.1247^3 \cdot 0.8753^4$$

$$= 35 \cdot 0.001940 \cdot 0.5870 \approx 0.0399$$

For "minst 3": $P(Y \ge 3) = 1 - P(Y \le 2) = 1 - [P(Y=0) + P(Y=1) + P(Y=2)]$

Kilde: Eksamen H2025, Oppgave 1f-g; tilsvarende i H2023 Oppgave 2

Studieguide: Fordelinger