MET 2920 · BI

Studieguide for MET 2920 Statistikk for økonomer

Komplett pensumoversikt for statistikk for økonomer ved BI — med forklaringer, sentrale begreper, eksamenstips og vanlige fallgruver. Eksamensoptimalisert basert på tidligere eksamener.

Introduksjon

MET 2920 Statistikk for okonomer er et videregående statistikkemne ved BI som bygger på grunnkurset i statistikk. Eksamen består typisk av 4-5 oppgaver (totalt 35 poeng) og varer 3 timer. Tillatte hjelpemidler er kun BI-godkjent kalkulator. Formelark og statistiske tabeller (Z-tabell, t-tabell, kji-kvadrat-tabell) følger som vedlegg.

Kurset dekker sannsynlighetsregning, viktige fordelinger (binomisk, hypergeometrisk, normal), konfidensintervall, hypotesetesting (for gjennomsnitt, andeler og to grupper), korrelasjon, kovarians og enkel linear regresjon. Et gjennomgående trekk er at eksamen er konteksttung: alle oppgaver er bygd rundt et realistisk datasett (f.eks. boligpriser, bedriftsdata, IQ-studier), og du må kunne tolke resultatene i kontekst.

Viktig: Alle utregninger skal vises med tilstrekkelige mellomregninger. Det er tillatt a bruke kalkulatorens funksjonalitet for Z- og t-fordelinger uten a vise tastetrykkene. Du trenger ikke pugge formler (de star på formelarket), men du må vite når du bruker hvilken formel, sette inn korrekt, og tolke resultatet i kontekst. Praktiske tolkninger gir poeng utover selve utregningen.

Sannsynlighet

Hyppig på eksamen

Grunnleggende sannsynlighetsregler, betinget sannsynlighet, Bayes formel, uavhengighet og simultanfordelinger for diskrete tilfeldige variabler. Fundamentet for all statistisk tenkning i kurset.

Oversikt

Sannsynlighetsregning er grunnlaget for all statistisk inferens. I MET 2920 brukes sannsynlighet både som selvstendige oppgaver (simultanfordelinger, forventning, varians) og som fundament for konfidensintervall og hypotesetesting.

Grunnleggende regler

For to hendelser $A$ og $B$ :

Addisjonsregelen:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

Dersom $A$ og $B$ er disjunkte (kan ikke inntreffe samtidig): $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ .

Komplementregelen:

$P(A^c) = 1 - P(A)$

Ofte enklere a beregne $P(\text{minst en}) = 1 - P(\text{ingen})$ .

Betinget sannsynlighet:

$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$

Multiplikasjonsregelen: $P(A \cap B) = P(A|B) \cdot P(B)$

Uavhengighet: $A$ og $B$ er uavhengige dersom $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ .

Simultanfordeling for to diskrete variabler

En simultanfordeling angir sannsynligheten for alle kombinasjoner av verdier til to variabler $X$ og $Y$ . Fra simultanfordelingen finner vi:

Marginalsannsynligheter ved a summere over den andre variabelen:

$P(X = x) = \sum_{\text{alle } y} P(X = x, Y = y)$

Forventning:

$E(X) = \sum_i x_i \cdot P(X = x_i)$

Varians:

$\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$

der $E(X^2) = \sum_i x_i^2 \cdot P(X = x_i)$ .

Kovarians:

$\text{Cov}(X,Y) = E(XY) - E(X) \cdot E(Y)$

der $E(XY) = \sum_{i,j} x_i \cdot y_j \cdot P(X = x_i, Y = y_j)$ .

Uavhengighetssjekk: $X$ og $Y$ er uavhengige dersom $P(X = x, Y = y) = P(X = x) \cdot P(Y = y)$ for alle kombinasjoner.

Regneregler for forventning og varians

$E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)$

$\text{Var}(aX + b) = a^2 \text{Var}(X)$

$\text{Var}(aX + bY) = a^2\text{Var}(X) + b^2\text{Var}(Y) + 2ab \cdot \text{Cov}(X,Y)$

Eksempel 1: Simultanfordeling (H2023)

Oppgave: Gitt simultanfordelingen til $X$ og $Y$ :

	Y=0	Y=1
X=0	0.20	0.20
X=1	0.05	0.15
X=2	0.35	0.05

Finn marginalsannsynlighetene, $E(X)$ , $E(Y)$ , $\text{Cov}(X,Y)$ og $\text{Cor}(X,Y)$ .

Løsning:

Marginaler for X:

P(X=0) = 0.20 + 0.20 = 0.40

P(X=1) = 0.05 + 0.15 = 0.20

P(X=2) = 0.35 + 0.05 = 0.40

Marginaler for Y:

P(Y=0) = 0.20 + 0.05 + 0.35 = 0.60

P(Y=1) = 0.20 + 0.15 + 0.05 = 0.40

E(X) = 0 \cdot 0.40 + 1 \cdot 0.20 + 2 \cdot 0.40 = 1.0

E(Y) = 0 \cdot 0.60 + 1 \cdot 0.40 = 0.40

E(X^2) = 0^2 \cdot 0.40 + 1^2 \cdot 0.20 + 2^2 \cdot 0.40 = 1.80

\text{Var}(X) = 1.80 - 1.0^2 = 0.80

E(XY) = 0 \cdot 0 \cdot 0.20 + 0 \cdot 1 \cdot 0.20 + 1 \cdot 0 \cdot 0.05 + 1 \cdot 1 \cdot 0.15 + 2 \cdot 0 \cdot 0.35 + 2 \cdot 1 \cdot 0.05 = 0.25

\text{Cov}(X,Y) = 0.25 - 1.0 \cdot 0.40 = -0.15

Negativ kovarians betyr at når $X$ øker, tenderer $Y$ til a synke.

Kilde: Eksamen H2023, Oppgave 1

Eksempel 2: Simultanfordeling med økonomisk kontekst (V2025)

Oppgave: Pris $X$ (100 eller 200 kr) og antall solgte testtimer $Y$ (10 eller 20) har simultanfordeling. Finn $E(X)$ , $E(Y)$ og avgjør om $X$ og $Y$ er uavhengige.

X\Y	10	20
100	0.10	0.40
200	0.30	0.20

P(X=100) = 0.10 + 0.40 = 0.50

P(X=200) = 0.30 + 0.20 = 0.50

P(Y=10) = 0.10 + 0.30 = 0.40

P(Y=20) = 0.40 + 0.20 = 0.60

Sjekk uavhengighet:

P(X=100) \cdot P(Y=10) = 0.50 \cdot 0.40 = 0.20 \neq 0.10 = P(X=100, Y=10)

Konklusjon:

X

Y

er IKKE uavhengige.

Kilde: Eksamen V2025, Oppgave 2

Eksempel 3: Samlet nettogevinst fra to spill (V2024)

Oppgave: Du spiller både Spill A og Spill B en gang. Gitt simultanfordelingen til nettogevinstene $X$ og $Y$ , finn $P(X+Y = 0)$ og $E(X+Y)$ .

Løsning: Summer alle celler i simultanfordelingen der $X + Y = 0$ (f.eks. $X = -500, Y = 500$ eller $X = 500, Y = -500$ ).

For forventning: $E(X+Y) = E(X) + E(Y)$ -- dette gjelder ALLTID, uavhengig av om X og Y er uavhengige eller ikke.

Kilde: Eksamen V2024, Oppgave 2

Nøkkelformler

•$ $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ $ (Addisjonsregelen)
•$ $\displaystyle P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ $ (Betinget sannsynlighet)
•$ $E(X) = \sum x_i \cdot P(X = x_i)$ $ (Forventning)
•$ $\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$ $ (Varians)
•$ $\text{Cov}(X,Y) = E(XY) - E(X) \cdot E(Y)$ $ (Kovarians)
•$ $E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)$ $ (Linearitet)

Vanlige feil

⚠️Glemme at uavhengighetssjekken krever at P(X=x,Y=y) = P(X=x)*P(Y=y) for ALLE kombinasjoner -- det holder ikke a sjekke bare en.
⚠️Forveksle Cov(X,Y) og Cor(X,Y). Kovarians har enheter, korrelasjon er dimensjonslos mellom -1 og 1.
⚠️Glemme at E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y) gjelder ALLTID, men Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) bare når X og Y er uavhengige.
⚠️Summere feil i simultanfordelingstabellen -- kontroller alltid at alle sannsynligheter summerer til 1.

Eksamenstips

💡Simultanfordelingsoppgaver kommer på nesten hver eksamen. Lag marginaler først, beregn deretter E(X), E(Y), E(XY) systematisk.
💡Uavhengighetssjekken er et ja/nei-spørsmål: sjekk EN celle og vis at likheten brytes.
💡Når du finner Var(X+Y) med avhengige variabler, bruk Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) + 2*Cov(X,Y).
💡Eksamensoppgaver (V2024, V2025) kombinerer simultanfordeling med økonomisk tolkning -- forventet nettogevinst, forventet omsetning etc.

Laster...

Laster…

Introduksjon

Y=0

Y=1

X=0

0.20

X=1

0.05

0.15

X=2

0.35

0.05

X\Y

100

0.10

0.40

200

0.30

0.20