Oversikt

Okonomiske anvendelser er der matematikken moter virkeligheten. Pa eksamen utgjor dette typisk en hel oppgave (Oppgave 5) med flere delsporsmal som bygger pa hverandre. Du far oppgitt ettersporsels- og kostnadsfunksjoner og skal sette opp og optimere profittfunksjonen.

Grunnleggende funksjoner

Ettersporselen: $p(x)$ gir prisen som funksjon av mengde (invers ettersporsel), eller $x(p)$ gir mengde som funksjon av pris.

Inntektsfunksjonen: $R(x) = p(x) \cdot x$ -- pris ganger mengde.

Kostnadsfunksjonen: $C(x) = \text{faste kostnader} + \text{variable kostnader}$.

Profittfunksjonen: $\pi(x) = R(x) - C(x)$ -- inntekt minus kostnad.

Profittmaksimering

Profittmaksimering er den vanligste okonomiske eksamensoppgaven. Fremgangsmate:

Sett opp profittfunksjonen: $\pi(x) = R(x) - C(x)$
Deriver og sett lik null: $\pi'(x) = R'(x) - C'(x) = 0$, altsa $MR = MC$
Los for optimal mengde $x^*$
Sjekk at det er maksimum: $\pi''(x^*) < 0$
Beregn optimal profitt: $\pi(x^*)$

Betingelsen $MR = MC$ (marginalinntekt = grensekostnad) er det fundamentale optimalitetskriteriet i okonomi.

Gjennomsnittskostnad

$$AC(x) = \frac{C(x)}{x} = \frac{\text{totalkostnad}}{\text{antall enheter}}$$

Viktig resultat: Gjennomsnittskostnaden er minimal nar $AC(x) = MC(x)$. Bevis: $AC'(x) = \frac{C'(x) \cdot x - C(x)}{x^2} = 0$ gir $C'(x) \cdot x = C(x)$, altsa $C'(x) = C(x)/x = AC(x)$. Dermed er $MC = AC$ i minimumspunktet.

To-vare-optimering

Nar bedriften selger to varer (A og B), far vi en profittfunksjon i to variable: $\pi(x,y)$. Optimering krever partielle deriverte:

$$\frac{\partial \pi}{\partial x} = 0 \quad \text{og} \quad \frac{\partial \pi}{\partial y} = 0$$

Los likningssystemet for a finne det stasjonaere punktet, og bruk AC-B^2-testen (andrederiverte for to variable) til a klassifisere:

$AC - B^2 > 0$ og $A < 0$: lokalt maksimum
$AC - B^2 > 0$ og $A > 0$: lokalt minimum
$AC - B^2 < 0$: sadelpunkt

der $A = f''_{xx}$, $B = f''_{xy}$, $C = f''_{yy}$.

Eksempel: Profittmaksimering med en vare

Oppgave: Ettersporselen etter en vare er $p = 180 - 2x$. Kostnadsfunksjonen er $K(x) = x^2 + 60x + 300$. Finn profittmaksimerende mengde og maksimal profitt.

Losning:

Inntektsfunksjon: $R(x) = p \cdot x = (180 - 2x) \cdot x = 180x - 2x^2$

Profittfunksjon: $\pi(x) = R(x) - K(x) = 180x - 2x^2 - x^2 - 60x - 300$

Forenkle: $\pi(x) = -3x^2 + 120x - 300$

Deriver: $\pi'(x) = -6x + 120 = 0$

Los: $x^* = 20$

Sjekk: $\pi''(x) = -6 < 0$ $\checkmark$ (maksimum)

Profitt: $\pi(20) = -3(400) + 120(20) - 300 = -1200 + 2400 - 300 = 900$

Pris: $p = 180 - 2(20) = 140$

Bedriften bor produsere 20 enheter og selge til pris 140 for a oppna maksimal profitt pa 900.

Kilde: Eksamen V2024, Oppgave 5 (tilsvarende type)

Eksempel: To-vare-profittmaksimering med partielle deriverte

Oppgave: En bedrift selger vare A ($x$ enheter) og vare B ($y$ enheter). Profittfunksjonen er $f(x,y) = -5x^2 - 2xy - 4y^2 + 700x + 900y - 5000$. Finn det stasjonaere punktet og vis at det er et maksimum.

Losning:

$f'_x = -10x - 2y + 700 = 0$ ... (I)

$f'_y = -2x - 8y + 900 = 0$ ... (II)

Fra (I): $10x + 2y = 700 \Rightarrow 5x + y = 350$ $\Rightarrow y = 350 - 5x$

Sett inn i (II): $-2x - 8(350 - 5x) + 900 = 0$

$-2x - 2800 + 40x + 900 = 0 \Rightarrow 38x = 1900 \Rightarrow x = 50$

$y = 350 - 5(50) = 100$

Klassifisering: $A = f''_{xx} = -10$, $B = f''_{xy} = -2$, $C = f''_{yy} = -8$

$AC - B^2 = (-10)(-8) - (-2)^2 = 80 - 4 = 76 > 0$ og $A = -10 < 0$

Konklusjon: Lokalt maksimum. Maks profitt: $f(50, 100) = 57\,500$

Kilde: Eksamen H2025 Oppgave 5 og H2023 Oppgave 5 (noyaktig denne typen)

Studieguide: Økonomiske anvendelser

Studieguide: Økonomiske anvendelser