Oversikt

Matriser brukes til å løse lineære likningssystemer, som opptrer både i rene matematikkoppgaver og i økonomiske modeller (Leontief input-output). På eksamen er dette typisk Oppgave 6, og den tester systematisk regning -- her er det ingen snarveier, bare presisjon.

Grunnleggende operasjoner

Matrisemultiplikasjon: For matriser $A$ ($m \times n$) og $B$ ($n \times p$) er produktet $C = A \cdot B$ en $m \times p$-matrise der:

$$c_{ij} = \sum_{k=1}^n a_{ik} \cdot b_{kj}$$

Hvert element er prikkproduktet av rad $i$ i $A$ og kolonne $j$ i $B$. Merk: $A \cdot B \neq B \cdot A$ generelt!

Determinanter

2x2:

$$\det\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc$$

3x3 (Sarrus' regel): Utvid matrisen med de to første kolonnene til høyre, og beregn summen av produktene langs de tre diagonalene fra venstre minus summen langs de tre diagonalene fra høyre.

Eksempel: Determinant 3x3 med Sarrus' regel

Oppgave: Beregn determinanten til $A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 1 & 2 & -1 \\ 3 & 1 & -2 \end{pmatrix}$.

Løsning: Skriv matrisen og kopier de to første kolonnene til høyre:

$$\begin{array}{ccc|cc} 2 & -1 & 3 & 2 & -1 \\ 1 & 2 & -1 & 1 & 2 \\ 3 & 1 & -2 & 3 & 1 \end{array}$$

Diagonaler ned-til-høyre (positive ledd): $2 \cdot 2 \cdot (-2) + (-1) \cdot (-1) \cdot 3 + 3 \cdot 1 \cdot 1 = -8 + 3 + 3 = -2$

Diagonaler ned-til-venstre (negative ledd): $3 \cdot 2 \cdot 3 + 1 \cdot (-1) \cdot 2 + (-2) \cdot 1 \cdot (-1) = 18 - 2 + 2 = 18$

$$\det(A) = -2 - 18 = -20$$

Dersom $\det(A) = 0$, har systemet enten ingen løsning eller uendelig mange løsninger.

Invers matrise (2x2)

$$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$$

Inversen eksisterer kun når $\det(A) \neq 0$.

Cramers regel

For systemet $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$:

$$x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)}$$

der $A_i$ er matrisen der kolonne $i$ i $A$ er erstattet med $\mathbf{b}$.

Gauss-eliminasjon

Systematisk metode for å løse lineære systemer ved radoperasjoner på totalmatrisen $[A|\mathbf{b}]$:

Sett opp totalmatrisen
Bruk radoperasjoner ($R_i \leftarrow R_i - kR_j$) for å få trappeform
Los ved tilbakesubstitusjon

Tillatte radoperasjoner: bytte to rader, multiplisere en rad med en konstant ($\neq 0$), legge til et multiplum av en rad til en annen.

Leontief input-output-modell

En økonomisk anvendelse av matriser. Flere sektorer (f.eks. industri og landbruk) bruker hverandres produkter som innsatsfaktorer. La $\mathbf{x}$ være produksjonsvektoren (hvor mye hver sektor må produsere), $A$ teknologimatrisen ($a_{ij}$ = enheter fra sektor $i$ som trengs for å produsere en enhet i sektor $j$) og $\mathbf{d}$ sluttetterspørselen (det forbrukerne ønsker). Sammenhengen $\mathbf{x} = A\mathbf{x} + \mathbf{d}$ gir:

$$\mathbf{x} = (I - A)^{-1} \cdot \mathbf{d}$$

der $I$ er identitetsmatrisen.

Eksempel: Leontief-modell med to sektorer

Oppgave: En økonomi har to sektorer med teknologimatrise $A = \begin{pmatrix} 0.2 & 0.3 \\ 0.4 & 0.1 \end{pmatrix}$ og sluttetterspørsel $\mathbf{d} = \begin{pmatrix} 50 \\ 60 \end{pmatrix}$. Finn produksjonsvektoren $\mathbf{x}$.

Løsning:

$$I - A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0.2 & 0.3 \\ 0.4 & 0.1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.8 & -0.3 \\ -0.4 & 0.9 \end{pmatrix}$$

$$\det(I-A) = 0.8 \cdot 0.9 - (-0.3)(-0.4) = 0.72 - 0.12 = 0.60$$

$$(I-A)^{-1} = \frac{1}{0.60}\begin{pmatrix} 0.9 & 0.3 \\ 0.4 & 0.8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1.5 & 0.5 \\ 0.667 & 1.333 \end{pmatrix}$$

$$\mathbf{x} = (I-A)^{-1} \mathbf{d} = \begin{pmatrix} 1.5 \cdot 50 + 0.5 \cdot 60 \\ 0.667 \cdot 50 + 1.333 \cdot 60 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 105 \\ 113.3 \end{pmatrix}$$

Sektor 1 må produsere 105 enheter og sektor 2 ca. 113 enheter for å dekke både sluttetterspørselen og det interne forbruket mellom sektorene.

Lineære vs. ikke-lineære systemer

Et lineært system har kun ledd av typen $ax + by + cz = d$. Uttrykk som $(x+y)^2$ eller $xy$ gjør systemet ikke-lineært. På eksamen H2025 ble det spurt: 'Er dette systemet lineært?' fordi den tredje likningen var $(x+y)^2 = -3$.

Parameteroppgaver

En vanlig hovedeksamensvariant er: «For hvilke verdier av parameteren $a$ har systemet ingen entydig løsning?» Svaret er: når $\det(A) = 0$. Sett opp determinanten med $a$ som ukjent, og los likningen $\det(A) = 0$.

Eksempel: Parameteroppgave -- finn a slik at det(A) = 0

Oppgave: For hvilke verdier av $a$ har systemet $(a-1)x + 2y = 5$, $4x + (a+1)y = 7$ ingen entydig løsning?

Løsning:

Koeffisientmatrise: $A = \begin{pmatrix} a-1 & 2 \\ 4 & a+1 \end{pmatrix}$

$$\det(A) = (a-1)(a+1) - 2 \cdot 4 = a^2 - 1 - 8 = a^2 - 9$$

Systemet har ingen entydig løsning når $\det(A) = 0$: $$a^2 - 9 = 0 \Rightarrow a = \pm 3$$

Konklusjon: Systemet har ingen entydig løsning når $a = 3$ eller $a = -3$. For alle andre verdier av $a$ har systemet nøyaktig en løsning.

Eksempel: Gauss-eliminasjon av 3x3-system

Oppgave: Los likningssystemet: $x - y + z = 0$, $x + y + z = 2$, $x + y = 3$.

Løsning:

Totalmatrise: $\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 0 & 3 \end{array}\right)$

$R_2 \leftarrow R_2 - R_1$: $\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 0 & 3 \end{array}\right)$

$R_3 \leftarrow R_3 - R_1$: $\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & -1 & 3 \end{array}\right)$

$R_3 \leftarrow R_3 - R_2$: $\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \end{array}\right)$

Tilbakesubstitusjon: Rad 3: $-z = 1 \Rightarrow z = -1$

Rad 2: $2y = 2 \Rightarrow y = 1$

Rad 1: $x - 1 + (-1) = 0 \Rightarrow x = 2$

Prove: $2 - 1 + (-1) = 0$ $\checkmark$, $2 + 1 + (-1) = 2$ $\checkmark$, $2 + 1 = 3$ $\checkmark$

Eksempel: Cramers regel for 2x2-system

Oppgave: Los systemet $3x + y = 7$, $2x + 4y = 14$ med Cramers regel.

Løsning:

Koeffisientmatrisen: $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$, $\mathbf{b} = \begin{pmatrix} 7 \\ 14 \end{pmatrix}$

$$\det(A) = 3 \cdot 4 - 1 \cdot 2 = 12 - 2 = 10$$

$$\det(A_x) = \det\begin{pmatrix} 7 & 1 \\ 14 & 4 \end{pmatrix} = 7 \cdot 4 - 1 \cdot 14 = 28 - 14 = 14$$

$$\det(A_y) = \det\begin{pmatrix} 3 & 7 \\ 2 & 14 \end{pmatrix} = 3 \cdot 14 - 7 \cdot 2 = 42 - 14 = 28$$

$$x = \frac{\det(A_x)}{\det(A)} = \frac{14}{10} = 1.4 \qquad y = \frac{\det(A_y)}{\det(A)} = \frac{28}{10} = 2.8$$

Prove: $3(1.4) + 2.8 = 4.2 + 2.8 = 7$ $\checkmark$, $2(1.4) + 4(2.8) = 2.8 + 11.2 = 14$ $\checkmark$

Studieguide: Matriser