Oversikt

Matriser brukes til a lose lineaere likningssystemer, som opptrer bade i rene matematikkoppgaver og i okonomiske modeller (Leontief input-output). Pa eksamen er dette typisk Oppgave 6, og den tester systematisk regning -- her er det ingen snarveier, bare presisjon.

Grunnleggende operasjoner

Matrisemultiplikasjon: For matriser $A$ ($m \times n$) og $B$ ($n \times p$) er produktet $C = A \cdot B$ en $m \times p$-matrise der:

$$c_{ij} = \sum_{k=1}^n a_{ik} \cdot b_{kj}$$

Hvert element er prikkproduktet av rad $i$ i $A$ og kolonne $j$ i $B$. Merk: $A \cdot B \neq B \cdot A$ generelt!

Determinanter

2x2:

$$\det\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc$$

3x3 (Sarrus' regel): Utvid matrisen med de to forste kolonnene til hoyre, og beregn summen av produktene langs de tre diagonalene fra venstre minus summen langs de tre diagonalene fra hoyre.

Dersom $\det(A) = 0$, har systemet enten ingen losning eller uendelig mange losninger.

Invers matrise (2x2)

$$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$$

Inversen eksisterer kun nar $\det(A) \neq 0$.

Cramers regel

For systemet $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$:

$$x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)}$$

der $A_i$ er matrisen der kolonne $i$ i $A$ er erstattet med $\mathbf{b}$.

Gauss-eliminasjon

Systematisk metode for a lose lineaere systemer ved radoperasjoner pa totalmatrisen $[A|\mathbf{b}]$:

Sett opp totalmatrisen
Bruk radoperasjoner ($R_i \leftarrow R_i - kR_j$) for a fa trappeform
Los ved tilbakesubstitusjon

Tillatte radoperasjoner: bytte to rader, multiplisere en rad med en konstant ($\neq 0$), legge til et multiplum av en rad til en annen.

Lineaere vs. ikke-lineaere systemer

Et lineaert system har kun ledd av typen $ax + by + cz = d$. Uttrykk som $(x+y)^2$ eller $xy$ gjor systemet ikke-lineaert. Pa eksamen H2025 ble det spurt: 'Er dette systemet lineaert?' fordi den tredje likningen var $(x+y)^2 = -3$.

Eksempel: Gauss-eliminasjon av 3x3-system

Oppgave: Los likningssystemet: $x - y + z = 0$, $x + y + z = 2$, $x + y = 3$.

Losning:

Totalmatrise: $\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 0 & 3 \end{array}\right)$

$R_2 \leftarrow R_2 - R_1$: $\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 0 & 3 \end{array}\right)$

$R_3 \leftarrow R_3 - R_1$: $\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & -1 & 3 \end{array}\right)$

$R_3 \leftarrow R_3 - R_2$: $\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \end{array}\right)$

Tilbakesubstitusjon: Rad 3: $-z = 1 \Rightarrow z = -1$

Rad 2: $2y = 2 \Rightarrow y = 1$

Rad 1: $x - 1 + (-1) = 0 \Rightarrow x = 2$

Prove: $2 - 1 + (-1) = 0$ $\checkmark$, $2 + 1 + (-1) = 2$ $\checkmark$, $2 + 1 = 3$ $\checkmark$

Kilde: Eksamen H2025, Oppgave 6a

Eksempel: Cramers regel for 2x2-system

Oppgave: Los systemet $3x + y = 7$, $2x + 4y = 14$ med Cramers regel.

Losning:

Koeffisientmatrisen: $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$, $\mathbf{b} = \begin{pmatrix} 7 \\ 14 \end{pmatrix}$

$$\det(A) = 3 \cdot 4 - 1 \cdot 2 = 12 - 2 = 10$$

$$\det(A_x) = \det\begin{pmatrix} 7 & 1 \\ 14 & 4 \end{pmatrix} = 7 \cdot 4 - 1 \cdot 14 = 28 - 14 = 14$$

$$\det(A_y) = \det\begin{pmatrix} 3 & 7 \\ 2 & 14 \end{pmatrix} = 3 \cdot 14 - 7 \cdot 2 = 42 - 14 = 28$$

$$x = \frac{\det(A_x)}{\det(A)} = \frac{14}{10} = 1.4 \qquad y = \frac{\det(A_y)}{\det(A)} = \frac{28}{10} = 2.8$$

Prove: $3(1.4) + 2.8 = 4.2 + 2.8 = 7$ $\checkmark$, $2(1.4) + 4(2.8) = 2.8 + 11.2 = 14$ $\checkmark$

Kilde: Standard eksamenstype for 2x2-systemer

Studieguide: Matriser

Studieguide: Matriser