Oversikt

Lagranges metode brukes til a optimere en funksjon $f(x,y)$ under en bibetingelse $g(x,y) = c$. Pa eksamen dukker dette opp nar en bedrift har en kapasitetsbegrensning (f.eks. $x + y = 115$) eller en konsument har et budsjett (f.eks. $2x + 4y = 100$). Det er en direkte forlengelse av to-vare-optimeringen fra Oppgave 5.

Metoden

Problem: Maksimer (eller minimer) $f(x,y)$ gitt $g(x,y) = c$.

Steg 1: Sett opp Lagrange-funksjonen:

$$L(x, y, \lambda) = f(x, y) - \lambda \cdot (g(x, y) - c)$$

Steg 2: Deriver partielt og sett lik null:

$$L'_x = f'_x - \lambda \cdot g'_x = 0 \quad \text{...(I)}$$

$$L'_y = f'_y - \lambda \cdot g'_y = 0 \quad \text{...(II)}$$

$$L'_\lambda = -(g(x,y) - c) = 0 \quad \text{...(III)}$$

Steg 3: Los likningssystemet (tre likninger, tre ukjente: $x$, $y$, $\lambda$).

Fra (I) og (II) kan du ofte eliminere $\lambda$: Del (I) pa (II) for a fa et uttrykk som knytter $x$ og $y$ sammen. Sett dette inn i (III) for a finne de numeriske verdiene.

Tolkning av lambda

Lagrange-multiplikatoren $\lambda$ angir skyggeprisen pa bibetingelsen: Dersom bibetingelsen endres med en liten enhet (f.eks. budsjettet oker med 1 kr), endres den optimale funksjonsverdien med cirka $\lambda$. Denne tolkningen gir ofte poeng pa eksamen!

Typiske eksamensoppgaver

Profittmaksimering under kapasitetsbegrensning: Maks $\pi(x,y)$ gitt $x + y = K$
Nyttemaksimering under budsjettbetingelse: Maks $U(x,y)$ gitt $p_x \cdot x + p_y \cdot y = M$
Kostnadsminimering under produksjonsbetingelse: Min $C(L,K)$ gitt $Q(L,K) = \bar{Q}$

Eksempel: Profittmaksimering med kapasitetsbegrensning

Oppgave: Profittfunksjonen er $f(x,y) = -5x^2 - 5xy - 5y^2 + 400x + 500y$. Bedriften ma produsere noyaktig 115 enheter til sammen: $x + y = 115$. Finn optimalt antall av vare A og B.

Losning:

$L(x,y,\lambda) = -5x^2 - 5xy - 5y^2 + 400x + 500y - \lambda(x + y - 115)$

$L'_x = -10x - 5y + 400 - \lambda = 0$ ... (I)

$L'_y = -5x - 10y + 500 - \lambda = 0$ ... (II)

$L'_\lambda = -(x + y - 115) = 0 \Rightarrow x + y = 115$ ... (III)

Trekk (II) fra (I): $-10x - 5y + 400 - (-5x - 10y + 500) = 0$

$-5x + 5y - 100 = 0 \Rightarrow y = x + 20$

Sett inn i (III): $x + (x + 20) = 115 \Rightarrow 2x = 95 \Rightarrow x = 47.5$

$y = 47.5 + 20 = 67.5$

Fra (I): $\lambda = -10(47.5) - 5(67.5) + 400 = -475 - 337.5 + 400 = -412.5$

Optimalt: Produser 47.5 enheter av A og 67.5 enheter av B. $\lambda = -412.5$ betyr at om kapasitetsgrensen oker fra 115 til 116 enheter, synker profitten med ca. 412.5 kr (fordi tvangsproduks{on ut over optimalt punkt er kostbart).

Kilde: Eksamen H2025, Oppgave 5f (tilsvarende type)

Eksempel: Nyttemaksimering med budsjettbetingelse

Oppgave: En konsument har nyttefunksjonen $U(x,y) = x^{1/2} \cdot y^{1/2}$ og budsjettet $2x + 4y = 100$. Finn optimal fordeling.

Losning:

$L = x^{1/2} y^{1/2} - \lambda(2x + 4y - 100)$

$L'_x = \frac{1}{2} x^{-1/2} y^{1/2} - 2\lambda = 0 \Rightarrow \frac{y^{1/2}}{2x^{1/2}} = 2\lambda$ ... (I)

$L'_y = \frac{1}{2} x^{1/2} y^{-1/2} - 4\lambda = 0 \Rightarrow \frac{x^{1/2}}{2y^{1/2}} = 4\lambda$ ... (II)

Del (I) pa (II): $\frac{y^{1/2}/x^{1/2}}{x^{1/2}/y^{1/2}} = \frac{2\lambda}{4\lambda}$

$$\frac{y}{x} = \frac{1}{2} \Rightarrow x = 2y$$

Sett inn i budsjettbetingelsen: $2(2y) + 4y = 100 \Rightarrow 8y = 100 \Rightarrow y = 12.5$

$x = 2(12.5) = 25$

Optimal fordeling: 25 enheter av gode x og 12.5 enheter av gode y. Konsumenten bruker halvparten av budsjettet pa hvert gode ($2 \cdot 25 = 50$ og $4 \cdot 12.5 = 50$).

Kilde: Standard Lagrange-oppgave som gar igjen i eksamensform

Studieguide: Lagrange