Oversikt

Integrasjon er den inverse operasjonen til derivasjon. På eksamen testes både ubestemte integraler (antideriverte) og bestemte integraler (arealberegning). I tillegg må du beherske to viktige teknikker: substitusjon og delvis integrasjon.

Grunnregler

$$\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \quad n \neq -1$$

$$\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C \qquad \int e^x \, dx = e^x + C$$

$$\int e^{ax} \, dx = \frac{1}{a} e^{ax} + C \qquad \int \frac{1}{x+a} \, dx = \ln|x+a| + C$$

$$\int \ln x \, dx = x \ln x - x + C$$

Bestemt integral

Det bestemte integralet beregnes med analysens fundamentalteorem:

$$\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)$$

der $F(x)$ er en antiderivert til $f(x)$. Geometrisk representerer dette det fortegnede arealet mellom kurven og x-aksen på intervallet $[a,b]$.

Substitusjonsmetoden

Brukes når integranden inneholder en sammensatt funksjon. Velg en passende substitusjon $u = g(x)$, slik at $du = g'(x) \, dx$:

$$\int f(g(x)) \cdot g'(x) \, dx = \int f(u) \, du, \quad u = g(x)$$

For bestemte integraler må du også bytte grensene: når $x = a$, da $u = g(a)$, og når $x = b$, da $u = g(b)$.

Delvis integrasjon

Brukes typisk når integranden er et produkt av en polynomfunksjon og $e^x$ eller $\ln x$:

$$\int u \cdot v' \, dx = u \cdot v - \int u' \cdot v \, dx$$

Tommelfingerregel for valg av u: Velg $u$ som den funksjonen som blir enklere ved derivasjon (typisk polynomer), og $v' = dv$ som den funksjonen som er lett a integrere (typisk $e^x$).

Økonomisk tolkning

Integraler har viktige økonomiske tolkninger:

Konsumentoverskudd (KO): $KO = \int_0^{Q^*} D(q) \, dq - p^* \cdot Q^*$ -- arealet mellom ettersporsels\-kurven og prislinjen
Produsentoverskudd (PO): $PO = p^* \cdot Q^* - \int_0^{Q^*} S(q) \, dq$ -- arealet mellom prislinjen og tilbudskurven
Integralet av grensekostnadsfunksjonen gir totalkostnaden: $C(x) = \int C'(x) \, dx$

Eksempel: Delvis integrasjon

Oppgave: Beregn $\int_1^2 x \ln x \, dx$.

Løsning:

Velg $u = \ln x$ (enklere a derivere) og $v' = x$ (enkel a integrere)

Da er $u' = \frac{1}{x}$ og $v = \frac{x^2}{2}$

$$\int_1^2 x \ln x \, dx = \left[\frac{x^2}{2} \cdot \ln x\right]_1^2 - \int_1^2 \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} \, dx$$

$$= \left[\frac{x^2}{2} \ln x\right]_1^2 - \int_1^2 \frac{x}{2} \, dx$$

$$= \left(\frac{4}{2} \ln 2 - \frac{1}{2} \ln 1\right) - \left[\frac{x^2}{4}\right]_1^2$$

$$= \left(2 \ln 2 - 0\right) - \left(\frac{4}{4} - \frac{1}{4}\right) = 2\ln 2 - \frac{3}{4}$$

Eksempel: Substitusjon i bestemt integral

Oppgave: Beregn $\int 2xe^{x^2+2} \, dx$.

Løsning:

La $u = x^2 + 2$, da $du = 2x \, dx$

Integralet blir: $\int e^u \, du = e^u + C$

Sett tilbake: $e^{x^2+2} + C$

Kontroll: Deriver svaret: $\frac{d}{dx}(e^{x^2+2}) = e^{x^2+2} \cdot 2x = 2xe^{x^2+2}$ $\checkmark$

Tips: Se etter om 'den indre deriverte' star som en faktor i integranden. Her er den indre funksjonen $x^2 + 2$ og dens deriverte $2x$ star allerede foran -- perfekt for substitusjon!

Studieguide: Integrasjon

Studieguide: Integrasjon